Đơn giản hóa quy trình làm việc của bạn: Tìm kiếm miniwebtool.
Thêm
Trang chủ > Toán học > Phép toán toán học nâng cao > Trình Kiểm Tra Đồ Thị Phẳng
 

Trình Kiểm Tra Đồ Thị Phẳng

Kiểm tra xem một đồ thị có phải là đồ thị phẳng (có thể vẽ mà không có các cạnh cắt nhau) hay không bằng định lý Kuratowski. Phát hiện các phân chia K5 và K3,3, xác minh bất đẳng thức Euler m ≤ 3n − 6 và làm nổi bật trực quan các đồ thị con cấm khi đồ thị không phẳng.

Trình Kiểm Tra Đồ Thị Phẳng
Ví dụ nhanh:
K₄ (phẳng) Cube Q₃ (phẳng) K₅ (không phẳng) K₃,₃ (không phẳng) Petersen (không phẳng) Danh sách kề (K₄)
Chấp nhận A-B, A B, A,B, hoặc đối với danh sách kề A: B, C. Các cạnh được xử lý là vô hướng. Nhãn đỉnh có thể là chữ cái, chữ số hoặc dấu gạch dưới. Giới hạn: 16 đỉnh và 60 cạnh.

Embed Trình Kiểm Tra Đồ Thị Phẳng Widget

Giới thiệu về Trình Kiểm Tra Đồ Thị Phẳng

Trình Kiểm tra Đồ thị Phẳng xác định liệu một đơn đồ thị vô hướng có phải là phẳng — có thể vẽ được trên mặt phẳng mà không có hai cạnh nào cắt nhau — và khi đồ thị không vượt qua bài kiểm tra, nó sẽ tìm và trực quan hóa minh chứng Kuratowski: một phân chia của K₅ (đồ thị đầy đủ trên 5 đỉnh) hoặc K₃,₃ (đồ thị hai phía đầy đủ trên 3 + 3 đỉnh). Công cụ này được xây dựng cho việc giảng dạy, khởi động lập trình thi đấu và kiểm tra nhanh các cấu trúc đồ thị nhỏ.

"Phẳng" Nghĩa là Gì?

Một đồ thị G = (V, E) là phẳng nếu nó có thể được nhúng vào mặt phẳng sao cho các cạnh chỉ gặp nhau tại các điểm đầu chung — không có điểm cắt. Tương đương, G có thể được vẽ trên bề mặt của một hình cầu mà không có điểm cắt. Tính phẳng là một thuộc tính thuần túy topo: nó không phụ thuộc vào cách bạn vẽ đồ thị, mà chỉ phụ thuộc vào việc liệu có tồn tại một cách vẽ không có điểm cắt nào hay không.

Đồ thị phẳng xuất hiện ở khắp mọi nơi — mạng lưới đường bộ và tiện ích, định tuyến bảng mạch in, đồ thị cạnh của các khối đa diện và cấu trúc mặt của các khối đa diện. Tuy nhiên, nhiều đồ thị "tự nhiên" lại kiên trì không phẳng: bất cứ khi nào bạn cố gắng kết nối 3 ngôi nhà với 3 tiện ích mà không có điểm cắt, bạn sẽ đụng phải rào cản K₃,₃.

Định Lý Kuratowski — Trái Tim của Trình Kiểm Tra

Kazimierz Kuratowski đã chứng minh vào năm 1930 rằng tính phẳng có một đặc tính tổ hợp thuần túy:

Một đồ thị hữu hạn là phẳng ⇔ nó không chứa phân chia của K₅ và không chứa phân chia của K₃,₃.

Một phân chia của một đồ thị H có được bằng cách thay thế một số cạnh của H bằng các đường đi dài hơn mà các đỉnh nội bộ của chúng đều là các đỉnh bậc 2 mới. Do đó, định lý Kuratowski nói rằng K₅ và K₃,₃ là các vật cản duy nhất đối với tính phẳng — mọi đồ thị không phẳng đều chứa một trong số chúng dưới dạng "kéo dài".

Các Đồ Thị Bị Cấm

Đồ thịSố đỉnhSố cạnhCấu trúcPhẳng?
K₅510Mọi cặp đỉnh được nối bởi một cạnh (đồ thị đầy đủ).Không
K₃,₃69Hai bộ ba A và B; mọi a ∈ A được nối với mọi b ∈ B.Không
K₄46Đồ thị đầy đủ trên 4 đỉnh.Có
K₂,₃56Đồ thị hai phía đầy đủ 2 × 3.Có

Công Thức Euler và Các Điều Kiện Cần Nhanh

Trước khi chạy tìm kiếm phân chia (tương đối tốn kém), trình kiểm tra sẽ áp dụng hai điều kiện cần nhanh được rút ra từ công thức Euler: đối với bất kỳ đồ thị phẳng liên thông nào được vẽ trên mặt phẳng với V đỉnh, E cạnh và F mặt (tính cả mặt ngoài không giới hạn), chúng ta có

V − E + F = 2 (Công thức Euler cho đồ thị phẳng liên thông) V − E + F = 1 + c (cho đồ thị phẳng với c thành phần liên thông)

Kết hợp với nhận xét rằng mọi mặt của một đơn đồ thị phẳng có ít nhất 3 cạnh trên biên, chúng ta có giới hạn trên của số cạnh

m ≤ 3n − 6 (đơn đồ thị phẳng, n ≥ 3) m ≤ 2n − 4 (đơn đồ thị phẳng hai phía, n ≥ 3)

Bất kỳ đồ thị nào vi phạm các bất đẳng thức này đều ngay lập tức không phẳng, không cần tìm kiếm phân chia. K₅ có m = 10, n = 5 ⇒ 3n − 6 = 9, vì 10 > 9 nên vi phạm giới hạn. K₃,₃ có m = 9, n = 6 ⇒ 2n − 4 = 8, vì 9 > 8 nên vi phạm giới hạn hai phía.

Cách Thức Tìm Kiếm Phân Chia Hoạt Động

Sau các bước kiểm tra Euler giá rẻ, trình kiểm tra sẽ tìm kiếm phân chia trực tiếp:

  1. Thắng nhanh — phát hiện K₅ hoặc K₃,₃ dưới dạng đồ thị con đen. Nếu 5 đỉnh kề nhau từng đôi một, đó chính là K₅. Nếu 6 đỉnh chia thành 3 + 3 với tất cả 9 cạnh chéo hiện diện, đó chính là K₃,₃.
  2. Tìm kiếm phân chia K₅. Đối với mỗi tập hợp ứng viên gồm 5 đỉnh "nhánh" (mỗi đỉnh có bậc ≥ 4 trong G), cố gắng tìm 10 đường đi — mỗi đường cho một cặp nhánh — mà chúng không giao nhau tại đỉnh nội bộ (không có đỉnh không phải nhánh nào xuất hiện trong nhiều hơn một đường đi) và tránh sử dụng các nhánh khác làm đỉnh nội bộ. Một kết quả khớp chứng minh tính không phẳng.
  3. Tìm kiếm phân chia K₃,₃. Chọn 6 nhánh (mỗi nhánh có bậc ≥ 3) và một phân hoạch hai phía 3 + 3. Tìm kiếm 9 đường đi cặp chéo với cùng yêu cầu không giao nhau tại đỉnh nội bộ.
  4. Không có minh chứng ⇒ phẳng. Nếu không tìm thấy phân chia nào trong giới hạn kích thước, định lý Kuratowski đảm bảo đồ thị là phẳng.

Tìm kiếm các đường đi không giao nhau tại đỉnh nói chung là bài toán NP-khó, vì vậy trình kiểm tra sử dụng tìm kiếm tham lam ngẫu nhiên có giới hạn: mỗi lần lặp sẽ sắp xếp các cặp yêu cầu theo độ khó, chọn đường đi cho cặp khó nhất trước bằng BFS ngẫu nhiên, loại bỏ các đỉnh nội bộ đó và tiếp tục. Nếu thứ tự cụ thể đó thất bại, nó sẽ thử lại với thứ tự đã xáo trộn — tối đa 40 lần thử cho mỗi cấu hình nhánh. Trên mọi đồ thị nhỏ được kiểm tra (tối đa 16 đỉnh), điều này đủ để xác định minh chứng bất cứ khi nào nó tồn tại.

Cách Sử Dụng Công Cụ Tính Này

  1. Chọn định dạng đầu vào bằng cách sử dụng các tab ở trên cùng: danh sách cạnh hoặc danh sách kề. Cả hai đều mã hóa cùng một đồ thị.
  2. Nhập đồ thị của bạn. Đồ thị được coi là vô hướng, vì vậy A-B và B-A là cùng một cạnh.
  3. Nhấp vào Kiểm tra tính phẳng. Công cụ báo cáo kết quả, hiển thị lập luận từng bước (Euler, hai phía, Kuratowski) và hiển thị đồ thị.
  4. Đối với đồ thị không phẳng, phần trực quan hóa sẽ tô màu phân chia K₅ hoặc K₃,₃ và liệt kê 10 (hoặc 9) đường đi không giao nhau tại đỉnh. Nhấp vào một hàng đường đi để tách biệt nó.
  5. Đối với đồ thị phẳng, số mặt F = m − n + 1 + c được báo cáo cùng với cấu trúc đồ thị.

Ví dụ 1 — K₄ là phẳng

K₄ có n = 4, m = 6. Mọi đồ thị trên ≤ 4 đỉnh đều phẳng, và thực tế K₄ nhúng dưới dạng một hình tam giác với một đỉnh duy nhất bên trong được nối với cả ba góc. Euler nói rằng có F = 6 − 4 + 2 = 4 mặt: ba mặt tam giác bên trong cộng với mặt bên ngoài.

Ví dụ 2 — K₃,₃ không phẳng

K₃,₃ có n = 6, m = 9. Nó là đồ thị hai phía, vì vậy giới hạn hai phía được áp dụng: m = 9 > 2n − 4 = 8. Chỉ riêng điều này đã chứng minh tính không phẳng. Minh chứng rất rõ ràng — bản thân K₃,₃ chính là đồ thị con bị cấm. Công cụ sau đó làm nổi bật phân hoạch 3 + 3 và 9 cạnh trực tiếp.

Ví dụ 3 — Đồ thị Petersen

Đồ thị Petersen có n = 10, m = 15, do đó m ≤ 3n − 6 = 24 và các bước kiểm tra Euler nhanh đã vượt qua. Tuy nhiên, nó nổi tiếng là không phẳng. Trình kiểm tra xác định được một phân chia K₃,₃: chọn sáu đỉnh từ ngũ giác ngoài và ngũ giác trong sao cho mọi cặp chéo có thể được định tuyến qua bốn đỉnh còn lại bằng các đường đi không giao nhau tại đỉnh. Công cụ vẽ minh chứng, làm cho hình học của những năm 1930 trở nên hữu hình.

Ứng Dụng của Tính Phẳng

Câu Hỏi Thường Gặp

Đồ thị phẳng nghĩa là gì?

Một đồ thị là phẳng nếu bạn có thể vẽ nó trên mặt phẳng sao cho không có hai cạnh nào cắt nhau ngoại trừ tại các đỉnh chung. Tương đương, một đồ thị là phẳng nếu và chỉ nếu nó có thể được vẽ trên bề mặt của một hình cầu mà không có điểm cắt. Cây, chu trình, đồ thị khối lập phương và các khối đa diện đều là đồ thị phẳng, trong khi K₅ và K₃,₃ là các ví dụ điển hình về đồ thị không phẳng.

Định lý Kuratowski là gì?

Định lý Kuratowski phát biểu rằng một đồ thị hữu hạn là phẳng nếu và chỉ nếu nó không chứa đồ thị con nào là một phân chia của K₅ hoặc K₃,₃. Một phân chia có được bằng cách thay thế một số cạnh bằng các đường đi dài hơn, mỗi đường đi qua các đỉnh bậc 2 hoàn toàn mới. Điều này cung cấp một minh chứng tổ hợp cụ thể cho tính không phẳng.

Sự khác biệt giữa K₅ và K₃,₃ là gì?

K₅ có 5 đỉnh, mọi cặp đỉnh được nối với nhau bằng một cạnh, tổng cộng có 10 cạnh. K₃,₃ có 6 đỉnh được chia thành hai nhóm mỗi nhóm 3 đỉnh, với mọi đỉnh trong nhóm này được nối với mọi đỉnh trong nhóm kia, tổng cộng có 9 cạnh. Cả hai đều là những đồ thị không phẳng nhỏ nhất cùng loại, và cùng nhau chúng tạo thành các đồ thị con cấm cho tính phẳng.

Bất đẳng thức Euler giúp ích gì?

Công thức Euler V − E + F = 2 cho đồ thị phẳng liên thông kết hợp với thực tế là mỗi mặt của đơn đồ thị phẳng có ít nhất 3 cạnh dẫn đến m ≤ 3n − 6. Bất kỳ đơn đồ thị nào vi phạm giới hạn này đều ngay lập tức không phẳng. Đối với đồ thị phẳng hai phía, mỗi mặt có ít nhất 4 cạnh, đưa ra giới hạn chặt hơn m ≤ 2n − 4. Trình kiểm tra áp dụng cả hai như quy tắc loại bỏ nhanh.

Giới hạn kích thước là bao nhiêu?

Trình kiểm tra xử lý tối đa 16 đỉnh và 60 cạnh. Điều này bao gồm các đồ thị giảng dạy và thi đấu điển hình như đồ thị Petersen, đồ thị Möbius-Kantor, khối siêu lập phương nhỏ và đồ thị đầy đủ K₇. Các đồ thị lớn hơn yêu cầu các bài kiểm tra tính phẳng chuyên biệt thời gian tuyến tính như Hopcroft-Tarjan.

Phân chia minh chứng được vẽ như thế nào?

Khi đồ thị không phẳng, 5 đỉnh nhánh của K₅ được tìm thấy — hoặc 6 đỉnh nhánh của K₃,₃ chia thành hai bộ ba A và B — sẽ được làm nổi bật trên một vòng tròn nội bộ. 10 (hoặc 9) đường đi không giao nhau tại đỉnh được yêu cầu sẽ được vẽ bằng các màu riêng biệt để bạn có thể theo dõi cấu trúc liên kết K₅ hoặc K₃,₃ một cách trực quan. Các đỉnh và cạnh không nằm trong phân chia sẽ bị làm mờ đi.

Đọc Thêm

Tham khảo nội dung, trang hoặc công cụ này như sau:

"Trình Kiểm Tra Đồ Thị Phẳng" tại https://MiniWebtool.com/vi/trinh-kiem-tra-o-thi-phang/ từ MiniWebtool, https://MiniWebtool.com/

bởi đội ngũ miniwebtool. Cập nhật: 22 tháng 4, 2026

Bạn cũng có thể thử AI Giải Toán GPT của chúng tôi để giải quyết các vấn đề toán học của bạn thông qua câu hỏi và trả lời bằng ngôn ngữ tự nhiên.

Các công cụ liên quan khác:

Máy Tính Giá Trị Tuyệt ĐốiMới
Máy Tính Ma Trận KềMới
📊 Công cụ Tạo Biểu đồ CộtMới
Máy Tính Tô Màu Đồ ThịMới
Trình xác thực dãy bậc đồ thị
📈 Công Cụ Tạo Biểu Đồ ĐườngMới
🥧 Công Cụ Tạo Biểu Đồ TrònMới

Phép toán toán học nâng cao:

Công cụ nổi bật:

Máy tính tuổiTrình Trích Xuất Ảnh từ VideoCông cụ đổi Pound sang KilogramCông cụ chuyển đổi kg sang lbsĐổ xúc xắcCông cụ Mã hóa CaesarTrình tạo chuỗi ngẫu nhiênTrình Tạo Mã MorseTra cứu ID người dùng InstagramĐảo ngược văn bảnBộ chuyển đổi thập phân sang nhị phânMáy tính giảm giá phần trămTrình tạo thời gian ngẫu nhiên⏱️ Máy Tính GiờMáy tính thời gianCông cụ chuyển đổi chữ số La MãMáy tính thương và số dưTrình nhân hóa văn bản AICông cụ chuyển đổi nhị phân sang thập phân🖱️ Bộ Đếm ClickCông cụ đếm hàngMáy tính nhị phânTrình tạo bài tây ngẫu nhiênBộ Chuyển Đổi Số Sang ChữBộ chuyển đổi Thập phân sang Thập lục phânMáy tính Phân tích Thừa số Nguyên tốChọn tên ngẫu nhiênTrình tạo số nguyên ngẫu nhiênMáy tính ngày trong năm - Hôm nay là ngày thứ mấy trong nămTrình chuyển đổi SRT sang TXTBộ chuyển đổi Nhị phân sang HexCông cụ chuyển đổi kPa sang psiTrình tạo nhánh giải đấu ngẫu nhiênmáy-tính-số-mũ-độ-chính-xác-caoMáy tính thập phân sang phân sốMáy tính HEXCông cụ chuyển đổi cm sang feet và inchSắp xếp sốTra cứu ID người dùng FacebookMáy tính phân số tối giảnMáy tính Cạnh huyềnBộ chuyển đổi Feet và Inch sang CmThống kê Kênh YouTubeMáy Tính Chu Vi Hình Elip📅 Máy tính ngàyBộ chuyển đổi HEXBộ chuyển đổi hex sang thập phânCông Cụ Vẽ Đồ Thị Hệ Bất Phương TrìnhSo sánh hai chuỗiBộ chuyển đổi FPSBộ lặp MP3Máy tính căn bậc haiMáy Tính Độ Lệch Chuẩn Tương ĐốiTrình trích xuất âm thanhMáy tính giai thừaCông cụ xáo trộn chữ cáiTrình chuyển đổi HTML sang văn bảnCông cụ chuyển đổi centimet sang inchCông cụ chia ảnhTrình tạo mê cungMáy tính tương hợp tình yêuMáy Giải Phương Trình Bậc BaMáy tính bột pizzaXóa dấu cáchtra-cứu-địa-chỉ-MACTrình tạo oẳn tù tìTrình tạo số xổ sốTrình tạo thẻ tín dụng ngẫu nhiênMáy tính ModuloCông cụ loại bỏ dấu câu trực tuyếnCông cụ tính điểm trung bình GPATrình tạo Ma phươngMáy tính bước chân sang khoảng cáchSắp xếp theo thứ tự bảng chữ cáiGhép VideoCông cụ chuyển đổi psi sang kPaCông cụ chuyển đổi hệ thập lục phân sang nhị phânLịch trăng non và trăng trònCông cụ chuyển đổi từ Feet sang MétTrình nén VideoBộ Chuyển Đổi Nhị PhânTrình tạo tên ngẫu nhiênMáy tính Kiểm tra Chia hết⏰ Đồng Hồ Báo Thức Trực TuyếnTrình tạo ngày sinh ngẫu nhiênTung đồng xuTạo Trò Chơi Tìm TừTrình tạo số thập phân ngẫu nhiênCon số may mắn của tôi là gì?Công cụ chuyển đổi Phần trăm sang PPMMáy tính So sánh Phân sốTrình tạo IMEI Ngẫu nhiênDanh sách Dãy số Fibonacci💧 Máy Tính Điểm SươngTạo Ô ChữCông cụ tạo nhóm ngẫu nhiênMáy tính Cung Mặt trời, Mặt trăng & Cung mọc 🌞🌙✨máy-tính-hba1cĐiều chỉnh tốc độ videoBộ Chia Âm ThanhCông cụ chuyển đổi gam sang poundCông cụ chuyển đổi hỗn số thành phân sốMáy tính TổngBộ chuyển đổi RGB sang HexMáy Tính Hồi Quy Tuyến Tínhn chữ số đầu tiên của piTrình phát hiện nội dung AITạo và giải SudokuXoay VideoMáy tính BSAMáy Tính Chia Đa ThứcMáy tính trung bình mẫuBộ giải mã Base64Công cụ chuyển đổi DMS sang độ thập phânCông cụ chuyển đổi Radian sang ĐộMáy tính trung bìnhĐây có phải là Số Nguyên Tố?AI Trình thêm dấu câu🔍 Kiểm tra Đạo vănMáy tính WHtRMáy tính nhiều phân sốMáy Tính Tuổi Theo Văn HóaMáy tính diện tích hình elipMáy tính thể tíchMáy tính VectorMáy tính Độ dốc và CấpChuyển đổi Thời gian SRTCông cụ Giải Bản đồ Karnaugh (K-Map)Máy tính Phân phối PoissonMáy tính độ lệch chuẩn - Độ chính xác caoCông cụ chuyển đổi thập phân sang bát phân⏱️ Đồng Hồ Bấm Giờ Trực Tuyến📷 OCR Chuyển Ảnh Thành Văn BảnCông cụ chuyển đổi bát phân sang thập phânLấy độ dài chuỗiMáy tính biến đổi Laplace ngượcTrình Chuyển Đổi Phát Âm IPAChuyển đổi Kích thước Tập tinBộ Chuyển Đổi Thời Gian Sang Thập PhânMáy tính Cầu thangMáy tính Hình trònMáy tính thứ trong tuần ngày sinhMáy tính định lý PythagoreTrình tạo thẻ BingoBộ chuyển đổi hệ cơ sốMáy tính BitwiseMáy tính Ước số chung lớn nhấtTrình tạo từ ngẫu nhiên tiếng Anh🎮 Bộ Chuyển Đổi Độ Nhạy Game⏱️ Bộ Đếm Ngược Thời GianCông cụ Giải Quy hoạch Tuyến tínhCông cụ chuyển đổi inch sang centimetCông cụ chuyển đổi thời gian phân sốMáy tính số phứcMáy tính Tích phânMáy tính xác suất xúc xắcCông cụ Chuyển đổi Mét sang FeetMáy Tính Chữ Số Có NghĩaTrình tạo ngày ngẫu nhiênMáy Tính Hình Nón CụtMáy Tính Giờ Làm ViệcTrình tạo địa chỉ giả ngẫu nhiênBộ Hẹn Giờ Giữ Tư Thế YogaMáy tính SWOLF bơi lộiMáy tính dự đoán thời gian chạyMáy Tính Lực Đấm BoxingMáy Tính Điểm Bóng Bầu DụcMáy Tính Run Rate CricketMáy tính xG (Bàn thắng kỳ vọng) Bóng đáTrình Theo Dõi Điểm TennisMáy Tính Điểm Wells (DVT/PE)Máy tính Thang điểm Hôn mê GlasgowMáy Tính Chỉ Số APGARMáy Tính FFMIMáy tính Chạy 12 Phút CooperMáy tính Bài kiểm tra Đi bộ Một dặm RockportMáy Tính Khối Lượng Nạc Sang Sức MạnhMáy tính Tỷ lệ Carb-InsulinMáy Tính Hệ Số Nhạy Cảm InsulinCông cụ Chuyển đổi Lịch Do TháiCông cụ Chuyển đổi Lịch HijriBộ Chuyển Đổi Lịch ÂmMáy Tính Bao Lâu TrướcMáy Tính Còn Bao Lâu NữaTrình Tạo Mẫu NgàyMáy Tính Ngày GiữaCộng Ngày Làm Việc Vào NgàyMáy Tính Ngày Làm ViệcBộ Phân Tích Tần Suất TừTrình phân tích phương sai độ dài câuTrình Chỉnh Sửa Khả Năng Đọc Kiểu HemingwayCông cụ Mã hóa VigenèreCông cụ Mã hóa AtbashBộ Mã Hóa và Giải Mã ROT13Trình Xem và Xóa Dữ Liệu EXIFTrình Dịch Pig LatinTrình tạo BackronymTrình Tạo Từ Viết TắtKiểm tra PangramTrình kiểm tra LipogramTrình truy vết ảnh sang SVGTrình chuyển đổi hình ảnh sang nghệ thuật ASCIITrình tạo Lược đồ JSONSân chơi TypeScriptTrình Biên Dịch Less Sang CSSTrình Biên Dịch SCSS Sang CSSBộ chuyển đổi SVG sang React/JSXTrình tạo Chuỗi Truy vấnTrình Phân Tích URLTrình xác thực và Giải mã UUIDTham Khảo Mã Trạng Thái HTTPTrình tạo lệnh cURLTrình tạo tam giác SierpinskiTrình vẽ bề mặt 3DTrình vẽ phương trình cựcTrình tạo Tập hợp JuliaTrình Khám Phá Tập Hợp MandelbrotTrình tạo Fractal L-SystemTrình tạo phân chia tam giác DelaunayTrình tạo Sơ đồ VoronoiTrình tạo SpirographTrình Tạo Lát Hoa TiếtMáy Tính Năng Lực Quá Trình Six SigmaTrình tạo Biểu đồ ParetoMáy tính NPS (Net Promoter Score)Máy tính tỷ lệ giữ chân khách hàng theo nhómMáy Tính Tỷ Lệ Rời Bỏ Khách HàngMáy Tính Chi Phí Thu Hút Khách Hàng CACMáy Tính Giá Trị Vòng Đời Khách Hàng (CLV)Máy tính Tỷ lệ Chuyển đổiMáy tính Kích thước Mẫu Kiểm định A/BMáy Tính Ý Nghĩa Kiểm Định A/BMáy tính Phương trình Thấu kínhMáy tính Từ trường của Dây dẫnMáy Tính Điện TrườngMáy Tính Định Luật CoulombMáy tính Định luật SnellMáy Tính Mô-men Quán TínhMáy tính Vận tốc GócMáy Tính Lực Hướng TâmMáy Tính Chu Kỳ Con LắcMáy tính Hằng số Lò xoMáy Tính Hiệu Ứng DopplerMáy tính Tỷ lệ SortinoMáy tính Tỷ lệ TreynorMáy Tính Hệ Số Beta Cổ PhiếuMáy tính Trái phiếu Kho bạc được Bảo vệ khỏi Lạm phát (TIPS)Máy Tính Tái Tính Lãi Thế ChấpMáy tính Lãi suất Kỳ hạnMáy tính Duration Trái phiếu (Macaulay và Modified)Máy tính Độ lồi Trái phiếuMáy Tính Niên Kim Liên Kết Chỉ Số Cố ĐịnhMáy tính Niên kim Biến đổiMáy Tính Thế Chấp Đảo NgượcMáy Tính Chi Trả Niên KimTrình Mô Phỏng Bàn Tính Soroban NhậtPhép nhân Nông dân NgaMáy Tính Thuật Toán VedaMáy Tính Phép Nhân Ai Cập CổMáy Tính Toán Học Số La MãTrình Luyện Toán NhẩmĐố Vui Bảng Cửu ChươngCông cụ Trực quan hóa Nhớ và MượnTrình Tạo Liên Kết SốTrình Giải Bài Toán Đồng XuMáy tính Tam giác Quãng đường - Vận tốc - Thời gianTrình Giải Bài Toán Năng Suất Làm ViệcTrình giải Bài toán Hỗn hợpTrình Giải Bài Toán TuổiTrình Giải Bài Toán Tàu Gặp NhauMáy Tính Bù NướcMáy Tính Calo Theo Tốc ĐộMáy Tính Liều ThuốcMáy Tính Calo Rượu BiaMáy Tính Tái Tạo Cơ ThểTrình Tạo Chủ Đề Tranh Luận Ngẫu NhiênTrình Tạo Tên Mèo Chó Ngẫu NhiênTrình Tạo Câu Kinh Thánh Ngẫu NhiênTrình Tạo Bài Toán Ngẫu NhiênTrình Tạo Đoạn Văn Ngẫu NhiênTrình Tạo Câu Tiếng Anh Ngẫu NhiênMáy Tính Sỏi, Cát và Đất MặtMáy Tính Trọng Lượng ThépMáy Tính Mô-men Xoắn Bu-lôngMáy Tính Dòng Chảy Trong ỐngMáy Tính Tải Trọng DầmBộ Chuyển Đổi Đô La Sang VàngMáy Tính Xác Suất Quyền ChọnMáy Tính Chia Tách Cổ PhiếuMáy tính ESPPMáy Tính Phí Trễ Hạn Hóa ĐơnMáy Tính Mức Lương Theo Giờ FreelancerMáy Tính Thuê vs MuaCông Cụ Chia Tiền Tip Nâng CaoTrình Tạo Danh Sách Hành LýMáy Tính Jet LagMáy Tính Ngân Sách Du LịchMáy Tính Khoảng Cách Chuyến BayMáy Tính Thất Thoát NhiệtMáy Tính Chi Phí Phát ĐiệnMáy Tính Lượng Nước Sử DụngMáy Tính Chi Phí Điện Năng Thiết Bị Gia DụngMáy Tính Kiểm Toán Năng Lượng Gia ĐìnhMáy Tính ROI Điện Mặt TrờiMáy Tính Tấm Pin Mặt TrờiMáy Tính Phân Ủ Tỷ Lệ C:NMáy Tính Phân Bón Cho Bãi CỏMáy Tính Ngày Sương GiáMáy Tính Đất Cho Luống NângMáy Tính Phân Bón NPKMáy Tính Tỷ Lệ Nảy Mầm Của Hạt GiốngMáy Tính Bitrate VideoCông cụ Chuyển Tone NhạcĐo BPM Bằng Cách Gõ NhịpCông cụ Ước tính Kích thước Tệp ẢnhMáy Tính Megapixel Sang Kích Thước InMáy tính Hệ số CropMáy tính Tam giác Phơi sángMáy Tính Khả Năng Kéo Rơ Moóc Của XeMáy Tính Leasing Ô TôMáy Tính 0–60 và Một Phần Tư DặmMáy Tính Thời Gian Sạc Xe ĐiệnMáy Tính Quãng Đường Xe ĐiệnMáy Tính Khoảng Cách 3DMáy Tính Hình XuyếnMáy Tính Diện Tích Đa Giác Bất Quy TắcMáy Tính Đa Giác ĐềuCông cụ Nhận dạng Thiết diện ConicMáy Tính HyperbolMáy Tính Chia DàiĐếm Ký Tự Twitter/XBộ chọn bình luận YouTubeTrích xuất thẻ YouTubeTrình tải hình thu nhỏ YouTubeCông cụ ước tính thu nhập YouTubeTrình tạo nhân vật RPG ngẫu nhiên