Máy tính Bao hàm - Loại trừ

Tính kích thước hợp của tối đa năm tập hợp bằng nguyên lý bao hàm-loại trừ. Nhập phần tử thô hoặc số lượng của mọi giao để nhận khai triển có dấu, sơ đồ Venn trực tiếp và kích thước mọi vùng rời nhau.

Sử dụng miễn phíKhông cần đăng kýKết quả tức thì

Máy tính Bao hàm - Loại trừDùng thử ngay — miễn phí ▼

Ví dụ nhanh:

3 tập hợp · phần tử Khảo sát SGK (3 tập) 2 tập hợp · trái cây 4 tập hợp 5 tập hợp · phần tử

❋ Phần tử # Lực lượng

Dữ liệu tập hợp

Chế độ phần tử: mỗi dòng một tập hợp, ví dụ: A: 1, 2, 3. Máy tính tự động phát hiện mọi giao điểm.
Chế độ lực lượng: mỗi dòng một kích thước, ví dụ: |A| = 50 và |A∩B| = 15. Bất kỳ giao điểm nào bạn bỏ qua sẽ được coi là bằng không. Chấp nhận A&B, AB, hoặc |A∩B|.

Số lượng tập hợp

Embed Máy tính Bao hàm - Loại trừ Widget

Giới thiệu về Máy tính Bao hàm - Loại trừ

Máy tính Bao hàm - Loại trừ tính toán kích thước hợp của các tập hợp hữu hạn, |A₁ ∪ A₂ ∪ … ∪ A_n|, bằng cách sử dụng nguyên lý bao hàm - loại trừ — một trong những đồng nhất thức được sử dụng rộng rãi nhất trong tổ hợp xác suất và xác suất rời rạc. Nhập các phần tử tập hợp thô, hoặc chỉ lực lượng tập hợp đã biết của mỗi giao điểm, và máy tính sẽ trả về kích thước hợp, khai triển có dấu đầy đủ, kích thước của mọi vùng Venn rời rạc và sơ đồ trực tiếp — cho 2 đến 5 tập hợp cùng lúc.

Nguyên lý Bao hàm - Loại trừ

Đối với hai tập hợp hữu hạn A và B, việc cộng kích thước của chúng sẽ đếm lặp các phần tử nằm trong cả hai. Việc trừ đi giao điểm sẽ sửa lỗi đếm lặp này:

|A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|

Đối với ba tập hợp, việc trừ đi mọi giao điểm theo cặp sẽ loại bỏ giao điểm bộ ba hai lần, vì vậy chúng ta cộng giao điểm bộ ba trở lại:

|A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| − |A ∩ B| − |A ∩ C| − |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|

Nói chung, đối với n tập hợp, các dấu sẽ luân phiên dựa trên kích thước của giao điểm đang được đếm:

|A₁ ∪ … ∪ A_n| = Σ_{S ≠ ∅} (−1)^|S|+1 · |⋂_{i ∈ S} A_i|

Có 2ⁿ − 1 tập con không rỗng của {1, …, n}, vì vậy công thức có 3 số hạng cho 2 tập hợp, 7 cho 3 tập hợp, 15 cho 4 tập hợp và 31 cho 5 tập hợp. Máy tính đánh giá từng số hạng riêng lẻ và hiển thị dấu của nó để bạn có thể theo dõi quá trình dẫn giải.

Hai chế độ nhập

Chọn chế độ phù hợp với dữ liệu bạn có. Hầu hết các bài toán trong sách giáo khoa cung cấp cho bạn lực lượng tập hợp trực tiếp; các nhiệm vụ lập trình thường cung cấp cho bạn chính các tập hợp đó.

Chế độ	Khi nào sử dụng	Ví dụ nhập
Phần tử	Bạn có các mục thực tế của mỗi tập hợp và muốn mọi giao điểm được tính toán tự động.	`A: 1, 2, 3, 4` `B: 3, 4, 5, 6` `C: 4, 6, 7, 8`
Lực lượng	Bạn biết có bao nhiêu phần tử trong mỗi tập hợp và mỗi giao điểm nhưng không biết chính các phần tử đó.	`\|A\| = 50` `\|B\| = 40` `\|A∩B\| = 15`

Trong chế độ Lực lượng, bất kỳ giao điểm nào bạn bỏ qua đều được coi là bằng không. Các ký hiệu phân tách được chấp nhận cho nhãn giao điểm bao gồm A∩B, A&B và AB, với các dấu gạch đứng tùy chọn xung quanh biểu thức (|A∩B|).

Kích thước vùng rời rạc — Nghịch đảo Möbius

Ngoài kích thước hợp, máy tính còn trả về kích thước của mọi vùng rời rạc trong sơ đồ Venn. Vùng được dán nhãn "trong A và B nhưng không trong C" đếm các phần tử thuộc về chính xác những tập hợp đó. Tổng kích thước của tất cả các vùng rời rạc bằng kích thước hợp, cung cấp một bước kiểm tra tính hợp lý tức thì.

|vùng T| = Σ_{S ⊇ T} (−1)^|S|−|T| · |⋂_{i ∈ S} A_i|

Đây là nghịch đảo Möbius đối ngẫu của bao hàm - loại trừ. Ví dụ, với ba tập hợp:

|chỉ A| = |A| − |A∩B| − |A∩C| + |A∩B∩C| |chỉ A ∩ B| = |A∩B| − |A∩B∩C|

Nếu bạn nhập lực lượng tập hợp không nhất quán — ví dụ |A∩B| > |A| — máy tính sẽ từ chối dữ liệu nhập. Nếu các kích thước riêng lẻ vượt qua bước kiểm tra nhưng các giá trị kết hợp vẫn không thể đến từ các tập hợp thực, một hoặc nhiều vùng sẽ có giá trị âm, và sẽ được gắn cờ cảnh báo.

Ví dụ minh họa — Khảo sát lớp học 3 tập hợp

Một lớp học có 100 học sinh được hỏi họ chơi môn thể thao nào. 50 em chơi bóng đá (A), 40 bóng rổ (B), 30 tennis (C). 15 em chơi cả A và B, 10 em cả A và C, 8 em cả B và C, và 3 em chơi cả ba môn. Có bao nhiêu em chơi ít nhất một môn thể thao?

|A ∪ B ∪ C| = 50 + 40 + 30 − 15 − 10 − 8 + 3 = 120 − 33 + 3 = 90

Như vậy, 90 trên 100 học sinh chơi ít nhất một trong các môn thể thao này; 10 em không chơi môn nào. Phân tích vùng còn tiết lộ thêm: 28 em chỉ chơi bóng đá, 20 em chỉ chơi bóng rổ, 15 em chỉ chơi tennis, 12 em chơi bóng đá và bóng rổ nhưng không chơi tennis, v.v.

Cách sử dụng Máy tính này

Chọn chế độ nhập — Phần tử nếu bạn có các mục, Lực lượng nếu bạn chỉ có kích thước.
Nhập dữ liệu của bạn vào vùng văn bản, mỗi dòng một tập hợp hoặc một dòng cho mỗi lực lượng đã biết.
Chọn số lượng tập hợp (2 đến 5) trong chế độ Lực lượng. Trong chế độ Phần tử, số lượng tập hợp được tự động phát hiện.
Nhấp vào Tính toán Hợp & Vùng. Kết quả hiển thị |⋃ Aᵢ| trong thẻ tiêu điểm, khai triển bao hàm - loại trừ đầy đủ với từng số hạng có dấu, sơ đồ Venn SVG (cho 2, 3 hoặc 4 tập hợp) và một bảng với mọi vùng rời rạc và kích thước của nó.
Di chuột qua một vùng Venn hoặc một hàng trong bảng để làm nổi bật chéo mục tương ứng — một minh chứng trực quan nhanh chóng rằng bảng và sơ đồ đại diện cho cùng một sự phân tách.

Các ứng dụng phổ biến

Tổ hợp — đếm số các xáo trộn (derangements), toàn ánh (surjections), hoán vị với các vị trí bị cấm.
Xác suất — P(A ∪ B ∪ C) cho các biến cố, bất đẳng thức Boole, nghịch lý ngày sinh.
Lý thuyết số — đếm các số nguyên nguyên tố cùng nhau với một tích thông qua hàm phi của Euler: công thức φ thuần túy là bao hàm - loại trừ.
Phân tích khảo sát — các câu hỏi kiểu "có bao nhiêu người trả lời thuộc ít nhất một danh mục".
Truy vấn cơ sở dữ liệu — ước tính kích thước của các phép UNION từ lệnh COUNT của các phép INTERSECT.
Khoa học máy tính — thuật toán sàng, ước tính lực lượng chỉ mục bitmap, đếm phạm vi tiếp cận GDPR/HIPAA.

Mẹo & Sai lầm thường gặp

Đừng quên cộng lại giao điểm bộ ba. Sai lầm phổ biến nhất của học sinh trong các bài toán 3 tập hợp là dừng lại sau khi trừ các cặp, dẫn đến câu trả lời quá nhỏ.
Thiếu dữ liệu không đồng nghĩa với bằng không khi liên quan đến các tập hợp thực. Trong chế độ Lực lượng, một giao điểm bị bỏ qua sẽ được coi là bằng không. Nếu bài toán của bạn không nói rằng một giao điểm là rỗng, bạn có thể cần phải đưa nó vào.
Mọi giao điểm ≤ mọi tập hợp chứa nó. |A ∩ B| không bao giờ có thể vượt quá min(|A|, |B|). Máy tính sẽ từ chối các dữ liệu nhập bất khả thi ngay lập tức.
Hãy sử dụng chế độ Phần tử khi có thể. Nó loại bỏ hoàn toàn các lỗi kiểu "liệu tôi đã nhập mọi giao điểm chính xác chưa" bằng cách tự tính toán các giao điểm từ chính các tập hợp đó.

Câu hỏi thường gặp

Nguyên lý bao hàm - loại trừ là gì?

Nguyên lý bao hàm - loại trừ là một đồng nhất thức đếm cho biết kích thước của hợp các tập hợp dựa trên kích thước của chính các tập hợp đó và các giao điểm của chúng. Đối với hai tập hợp, nó có dạng |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|. Đối với ba tập hợp, một sự hiệu chỉnh cho giao điểm bộ ba được cộng ngược lại, và đối với n tập hợp, các dấu luân phiên nhau, cộng các tập hợp đơn lẻ, trừ các cặp, cộng các bộ ba, v.v.

Sự khác biệt giữa chế độ Phần tử và chế độ Lực lượng là gì?

Chế độ Phần tử yêu cầu các phần tử thực tế của mỗi tập hợp, một dòng mỗi tập hợp, và máy tính sẽ tự động tìm mọi giao điểm. Chế độ Lực lượng chỉ yêu cầu kích thước của các tập hợp và các giao điểm của chúng, lý tưởng khi giải các bài toán đố nơi bạn biết có bao nhiêu người thích trà, cà phê hoặc cả hai mà không được cung cấp tên cụ thể.

Tại sao máy tính của tôi hiển thị kích thước vùng âm?

Kích thước vùng âm trong chế độ Lực lượng có nghĩa là dữ liệu nhập của bạn không nhất quán — không có tập hợp thực tế nào có thể có các kích thước giao điểm như vậy. Thông thường điều này xảy ra khi giao điểm cặp hoặc bộ ba lớn hơn mức các tập hợp riêng lẻ có thể chứa. Hãy kiểm tra lại các con số; mọi giao điểm phải nhỏ hơn hoặc bằng mỗi tập hợp chứa nó.

Máy tính này có thể xử lý bao nhiêu tập hợp?

Máy tính hỗ trợ từ 2 đến 5 tập hợp. Sơ đồ Venn được hiển thị cho 2, 3 và 4 tập hợp; bảng phân tích vùng được hiển thị cho bất kỳ số lượng tập hợp nào bao gồm cả 5. Đối với các bài toán lớn hơn, khai triển bao hàm - loại trừ trở nên cồng kềnh, vì vậy hầu hết các bài toán trong sách giáo khoa chỉ dừng lại ở 4 hoặc 5 tập hợp.

Vùng rời rạc là gì?

Vùng rời rạc là một phần của sơ đồ Venn chỉ thuộc về một sự kết hợp cụ thể của các tập hợp và không thuộc về các tập hợp khác. Đối với ba tập hợp A, B, C có bảy vùng không rỗng: chỉ-A, chỉ-B, chỉ-C, chỉ-A∩B, chỉ-A∩C, chỉ-B∩C và A∩B∩C. Tổng kích thước của chúng bằng |A ∪ B ∪ C|, đây là một cách nhanh chóng để kiểm tra lại phép tính bao hàm - loại trừ.

Tôi có thể sử dụng máy tính với các tập hợp vô hạn hoặc liên tục không?

Máy tính được thiết kế cho các tập hợp hữu hạn có kích thước là số nguyên không âm. Đối với các bài toán xác suất hoặc lý thuyết độ đo với các tập hợp liên tục, bạn vẫn có thể áp dụng đồng nhất thức bao hàm - loại trừ về mặt khái niệm, nhưng công cụ số này yêu cầu lực lượng tập hợp mà bạn có thể nhập dưới dạng số nguyên.

Tìm hiểu thêm

Tham khảo nội dung, trang hoặc công cụ này như sau:

"Máy tính Bao hàm - Loại trừ" tại https://MiniWebtool.com/vi/may-tinh-bao-ham-loai-tru/ từ MiniWebtool, https://MiniWebtool.com/

bởi đội ngũ miniwebtool. Cập nhật: 21 tháng 4, 2026

Có API dành cho developer: Chạy công cụ này từ ứng dụng, tự động hóa hoặc agent của bạn bằng một yêu cầu HTTP JSON. Xem tài liệu API

Bạn cũng có thể thử AI Giải Toán GPT của chúng tôi để giải quyết các vấn đề toán học của bạn thông qua câu hỏi và trả lời bằng ngôn ngữ tự nhiên.