Đại số Tuyến tính

Chéo hóa ma trận vuông bằng công cụ Chéo hóa ma trận của MiniWebtool bằng cách tính trị riêng, vectơ riêng và phép phân rã A = PDP⁻¹. Công cụ hỗ trợ ma trận từ 2×2 đến 5×5, với lời giải từng bước, đa thức đặc trưng, phân tích bội số và hình ảnh trực quan tương tác.

Một số ma trận không thể chéo hóa nhưng có thể biểu diễn bằng các khối Jordan. Công cụ tính dạng chuẩn Jordan của MiniWebtool tính J và ma trận chuyển đổi P, giải thích chuỗi vectơ riêng suy rộng và hiển thị cấu trúc khối.

Tìm các hướng bất biến của ma trận bằng công cụ tính trị riêng và vectơ riêng của MiniWebtool. Ma trận 2×2 hoặc 3×3 cho ra trị riêng và vectơ riêng tương ứng, kèm các bước đa thức đặc trưng và hình học phép biến đổi.

Tính góc giữa hai vectơ 2D hoặc 3D bằng công cụ Tính góc giữa hai vectơ của MiniWebtool, sử dụng công thức tích vô hướng cos(θ) = (a·b)/(|a||b|). Nhận lời giải từng bước, kết quả theo độ và radian, sơ đồ vectơ tương tác cùng diễn giải hình học.

Theo dõi từng phép chiếu trong quy trình Gram-Schmidt bằng công cụ tính Gram-Schmidt của MiniWebtool. Nhập các vectơ độc lập tuyến tính để nhận cơ sở trực giao và trực chuẩn, kèm phép tính trung gian và kiểm tra quan hệ giữa các vectơ kết quả.

Dùng hàm mũ ma trận để khảo sát hệ phương trình vi phân tuyến tính. Công cụ tính hàm mũ ma trận của MiniWebtool tính e^(At), có thể áp dụng vào vectơ ban đầu và kèm thông tin phương pháp số cùng hình minh họa trường dòng trên mặt phẳng pha.

Xác định số hàng hoặc cột độc lập bằng công cụ tính hạng ma trận của MiniWebtool. Công cụ xử lý ma trận tối đa 10×10 và hiển thị phép biến đổi dạng bậc thang hàng cùng số chiều không gian cột và không gian không.

Tìm không gian cột của ma trận bằng công cụ tính không gian cột của MiniWebtool. Phép khử hàng xác định các cột trụ, rồi các cột tương ứng trong ma trận ban đầu tạo thành cơ sở; hạng, số khuyết và các phép biến đổi từng bước giải thích kết quả.

Công cụ tính không gian không của MiniWebtool tìm cơ sở cho mọi vectơ thỏa mãn Ax = 0. Phép khử hàng bằng phân số chính xác làm lộ các biến tự do, kèm số khuyết và kiểm tra hạng-không khuyết liên hệ tập nghiệm với kích thước ma trận.

Công cụ tính lũy thừa ma trận của MiniWebtool nâng ma trận vuông lên số mũ nguyên đã chọn. Phép tính trung gian và bối cảnh tính chất ma trận giải thích phép nhân lặp; lũy thừa âm yêu cầu ma trận khả nghịch.

Thực hiện các phép toán ma trận phổ biến bằng công cụ tính ma trận của MiniWebtool. Phép cộng, trừ, nhân, chuyển vị, định thức và nghịch đảo đi kèm cách hiển thị ma trận có cấu trúc cùng các bước giải thích cách tính từng phần tử.

Công cụ tính ma trận Jacobian của MiniWebtool sắp xếp các đạo hàm riêng của hàm vectơ thành ma trận. Nhập tối đa sáu thành phần và biến để xem lời giải từng bước, kèm phép tính định thức và trị riêng khi phù hợp.

Tìm nghịch đảo của ma trận vuông từ 2×2 đến 6×6 bằng công cụ tính ma trận nghịch đảo của MiniWebtool. Phép khử Gauss-Jordan và định thức giải thích tính khả nghịch, còn phép nhân với kết quả kiểm tra ma trận đơn vị.

Theo dõi từng tích vô hướng hàng nhân cột bằng công cụ nhân ma trận của MiniWebtool. Nhập hai ma trận tương thích tối đa 5×5 để xem tích cùng từng phép tính dùng để tạo các phần tử kết quả.

Phân tích ma trận xác định dương đối xứng A = LLᵀ bằng công cụ phân tích Cholesky của MiniWebtool. Ma trận tam giác dưới được lập từng bước, sau đó nhân với chuyển vị để xác minh phép khôi phục ma trận đầu vào.

Công cụ phân rã giá trị kỳ dị (SVD) của MiniWebtool phân tích ma trận thực tối đa 10×10 thành U, Sigma và chuyển vị của V, kèm hạng và số điều kiện để đánh giá cấu trúc số học của ma trận.

Công cụ phân tích ma trận LU của MiniWebtool phân tích ma trận vuông tối đa 8×8 bằng phép chọn trụ từng phần. Ma trận tam giác dưới, tam giác trên và hoán vị cho thấy phép khử cùng đổi hàng kết hợp để khôi phục hệ ban đầu ra sao.

Tách một biểu thức hữu tỷ thành các hạng đơn giản hơn bằng công cụ phân tích phân thức đơn giản của MiniWebtool. Phép tính hệ số và phần trình bày trực quan giải thích cách các phân thức riêng kết hợp lại để tạo thành hàm ban đầu.

Công cụ tính phân rã QR của MiniWebtool dùng phép trực giao hóa Gram–Schmidt để phân tích các ma trận được hỗ trợ từ 2×2 đến 5×5 thành Q và R. Các bước hoạt họa giải thích phép chiếu; phép kiểm tra tính trực giao so sánh QᵀQ với ma trận đơn vị.

Tính hình chiếu vectơ và hình chiếu vô hướng của một vectơ lên vectơ khác bằng công cụ Tính phép chiếu vectơ của MiniWebtool. Công cụ hỗ trợ vectơ 2D và 3D, với công thức từng bước, sơ đồ tương tác và phân tích thành các thành phần trực giao.

Giải hệ tuyến tính hai hoặc ba ẩn bằng định thức với công cụ quy tắc Cramer của MiniWebtool. Hệ số và hằng số tạo ra các bước thay cột và tỷ số định thức khi hệ có nghiệm duy nhất.

Theo dõi phép khử ma trận bằng công cụ tính RREF (dạng bậc thang rút gọn theo hàng) của MiniWebtool. Mỗi phần tử trụ, phép đổi hàng và phép khử dẫn đến dạng bậc thang rút gọn, kèm hạng, số chiều khuyết và thông tin nghiệm cho ma trận bổ sung.

Công cụ tính tích có hướng của MiniWebtool tìm vectơ vuông góc với hai vectơ 3D. Các thành phần cho ra tích có hướng, độ lớn và góc liên quan, kèm khai triển định thức cùng sơ đồ xoay được để xác minh tính vuông góc.

Tính tích Kronecker bằng công cụ tính tích tensor của MiniWebtool. Hai ma trận chữ nhật tạo ra kết quả phân số chính xác, kèm hình minh họa từng khối và đầu ra có thể sao chép, giải thích cách từng phần tử khai triển ma trận thứ hai.

Công cụ tính tích vô hướng của MiniWebtool cộng các tích của từng cặp thành phần vectơ trong 2D, 3D hoặc số chiều cao hơn. Kết quả vô hướng đi kèm độ lớn, góc và hình chiếu khi xác định được, cùng các bước tính và sơ đồ vectơ.

Công cụ tính vectơ đơn vị của MiniWebtool chuẩn hóa vectơ khác không bằng độ lớn của nó. Nhập hai, ba hoặc tối đa 50 thành phần để xem vectơ đơn vị cùng thông tin góc phương hướng áp dụng.

Công cụ Tính vectơ trực tuyến miễn phí của MiniWebtool cung cấp lời giải từng bước cho tích vô hướng, tích có hướng, độ lớn, vectơ đơn vị, góc giữa các vectơ, phép chiếu và nhiều phép khác, cùng hình ảnh trực quan 3D tương tác.

Vết ma trận là tổng các phần tử trên đường chéo chính của ma trận vuông. Công cụ tính vết ma trận của MiniWebtool đánh dấu các phần tử đó trong ma trận tối đa 10×10 và so sánh tổng với tổng các trị riêng.

Tính định thức det(λI − A) bằng công cụ tính đa thức đặc trưng của MiniWebtool. Ma trận vuông từ 2×2 đến 6×6 cho ra đa thức dạng khai triển và phân tích nhân tử, các trị riêng kèm bội số, cùng các bước tính ma trận.

Công cụ tính định thức của MiniWebtool tính giá trị ma trận vuông và giải thích phép khai triển theo phần bù đại số dẫn đến kết quả. Nhập ma trận để xem định thức cùng ý nghĩa đối với các tính chất như tính suy biến.

Tính độ lớn, hay chuẩn Euclid, của vectơ 2D, 3D hoặc n chiều bằng công cụ Tính độ lớn vectơ của MiniWebtool. Xem phép tính từng bước gồm bình phương từng thành phần, tổng dưới dấu căn và căn bậc hai cuối cùng, kèm sơ đồ vectơ.