Trình vẽ phương trình cực

Trình vẽ phương trình cực vẽ đồ thị bất kỳ biểu thức nào có dạng \( r = f(\theta) \) trực tiếp trong trình duyệt của bạn. Sử dụng công cụ này để vẽ hình hoa hồng cổ điển \( r = \sin(3\theta) \), đường hình tim (cardioid) \( r = 1 + \cos\theta \), các đường xoắn ốc Archimedes và Fermat, đường hình sên limaçon với các vòng lặp bên trong, đường lemniscate, và thậm chí cả đường cong cánh bướm nổi tiếng. Nhập biểu thức của riêng bạn với sự hỗ trợ đầy đủ của các hàm sin, cos, tan, exp, log, sqrt và các hằng số \( \pi \) and \( e \), hoặc nhấp vào một trong chín cài đặt sẵn để vẽ đồ thị ngay lập tức. Phủ tối đa ba phương trình trên cùng một canvas, xem bản xem trước trực tiếp vẽ lại khi bạn nhập, sau đó xuất biểu đồ dưới dạng SVG hoặc PNG sắc nét.

Hệ tọa độ cực hoạt động như thế nào

Bộ sưu tập các đường cong cực nổi tiếng

Điều gì làm nên sự khác biệt của Trình vẽ phương trình cực này

Cú pháp biểu thức — Tham khảo nhanh

Đếm số cánh hoa trên một đường hoa hồng

Đối với đường cong hoa hồng \( r = \sin(k\theta) \) (hoặc \( r = \cos(k\theta) \)) với \( k \) là một số nguyên, số lượng cánh hoa tuân theo một quy luật đẹp đẽ:

• Nếu \( k \) là số lẻ: hình hoa hồng có chính xác \( k \) cánh hoa.
• Nếu \( k \) là số chẵn: hình hoa hồng có \( 2k \) cánh hoa.

Vì vậy, \( \sin(3\theta) \) cho 3 cánh hoa, \( \sin(4\theta) \) cho 8 cánh hoa, và \( \sin(7\theta) \) cho 7 cánh hoa. Lý do rất tinh tế: khi k lẻ, các cánh hoa được vẽ cho giá trị r âm (phản chiếu qua gốc tọa độ) sẽ nằm trùng vào cùng vị trí với các cánh hoa có r dương. Khi k chẵn, các cánh hoa có r âm sẽ lấp đầy khoảng trống giữa các cánh hoa có r dương, làm tăng gấp đôi số lượng. Hãy thử so sánh \( \sin(2\theta) \) (4 cánh hoa) với \( \sin(3\theta) \) (3 cánh hoa) để thấy sự khác biệt về tính đối xứng trực tiếp.

Từ Đường hình tim đến Đường hình sên Limaçon: Họ một tham số

Phương trình tổng quát \( r = a + b\cos\theta \) vạch ra một họ các đường cong được kiểm soát bởi tỷ lệ \( b/a \):

• \( b/a = 0 \): đường tròn bán kính \( a \) — không có sự bất đối xứng.
• \( 0 < b/a < 1 \): đường hình sên limaçon có chỗ lõm nhẹ — một hình bầu dục hơi bị nén.
• \( b/a = 1 \): đường hình tim (cardioid) — hình trái tim hoàn hảo với một điểm nhọn duy nhất.
• \( 1 < b/a < 2 \): đường hình sên limaçon có chỗ lõm sâu hơn.
• \( b/a \geq 2 \): đường hình sên limaçon có vòng lặp bên trong — đường cong tự cắt chính nó.

Hãy thử vẽ đồ thị \( r = 1 + b\cos\theta \) với b = 0.5, 1.0, 1.5, 2.0 trong ba ô lớp phủ để xem hình trái tim nở rộ thành một con ốc sên có vòng lặp.

Ứng dụng trong thực tế

• Lớp học toán: hiệu ứng tự vẽ và bản xem trước trực tiếp giúp các phương trình cực trở nên trực quan sinh động — học sinh có thể nhìn thấy cách bán kính quay vạch ra đường cong.
• Phòng thí nghiệm vật lý: mô hình bức xạ anten, sự sắp xếp lá cây, quỹ đạo hành tinh và vết quỹ đạo con lắc đều tồn tại trong hệ tọa độ cực.
• Kỹ thuật: biên dạng cam, răng bánh răng và sự phân bổ ứng suất của dầm được thiết kế dưới dạng cực. Xuất SVG cho việc cắt laser hoặc máy CNC.
• Thiết kế và trang trí: các đường hoa hồng, lemniscate và cánh bướm tạo nên các biểu trưng, hình mandala và các mẫu họa tiết lặp lại tuyệt đẹp. Xuất sang dạng vector để chỉnh sửa thêm.
• Nghệ thuật tạo hình tự động (Generative art): phủ ba đường cong hoa hồng ở các giá trị k khác nhau trong bảng màu neon để có ngay những áp phích hình học ấn tượng.
• Thiên văn học: các đường conic dưới dạng cực (\( r = p / (1 - e\cos\theta) \) cho hình elip/parabol/hyperbol) mô tả quỹ đạo hành tinh — hãy thử nghiệm với các giá trị độ lệch tâm từ 0.1 đến 0.9.

Mẹo để có đồ thị đẹp

• Chọn đúng phạm vi θ. Các đường hoa hồng và hình tim khép kín ở khoảng từ 0 đến 2π. Các đường hình sên có vòng lặp bên trong có thể cần từ 0 đến 4π. Các đường xoắn ốc Archimedes trông đẹp nhất ở khoảng từ 0 đến 8π hoặc dài hơn. Sử dụng danh sách thả xuống — nó sẽ tự động xử lý các bội số của π cho bạn.
• Sử dụng tính năng lớp phủ để đối chiếu "trước/sau". Vẽ \( \sin(2\theta) \) and \( \sin(3\theta) \) cạnh nhau để xem quy luật cánh hoa chẵn-lẻ. Vẽ \( 1 + \cos\theta \) and \( 1 + 1.5\cos\theta \) để thấy đường hình tim biến thành đường hình sên limaçon có chỗ lõm.
• Tăng độ phân giải cho các đường xoắn ốc. Độ phân giải Trung bình mặc định (1.800 mẫu) là quá đủ cho các đường hoa hồng. Đối với các đường xoắn ốc Archimedes hoặc đường cong cánh bướm dài, hãy chuyển sang Cao hoặc Siêu cao — các mẫu bổ sung sẽ để lộ chi tiết tinh xảo ở các cạnh xoắn ốc.
• Đường Lemniscate cần cả hai nhánh. Vì phương trình \( r^2 = 4\cos 2\theta \) có hai căn bậc hai, hãy vẽ \( \sqrt{4\cos(2\theta)} \) ở phương trình 1 và \( -\sqrt{4\cos(2\theta)} \) ở phương trình 2 để có được cả hai thùy.
• Ẩn lưới đối với các tác phẩm nghệ thuật. Chuyển lưới thành "Không có" cùng với bảng màu Neon trên nền than chì — kết quả mang lại cảm giác như một bản in nghệ thuật số được tạo tự động.

Các câu hỏi thường gặp