Kalkulator Distribusi Beta

Hitung probabilitas untuk distribusi beta dengan parameter bentuk α dan β. Dapatkan P(X ≤ x), P(X ≥ x), atau P(a ≤ X ≤ b), dengan grafik PDF/CDF interaktif, wilayah probabilitas yang diarsir, solusi MathJax langkah demi langkah, dan properti distribusi termasuk mean, varians, modus, dan kemiringan (skewness).

Embed Kalkulator Distribusi Beta Widget

Tentang Kalkulator Distribusi Beta

Kalkulator Distribusi Beta menghitung probabilitas, memvisualisasikan fungsi padat probabilitas (PDF) dan fungsi distribusi kumulatif (CDF), serta menampilkan properti distribusi untuk distribusi beta $X \sim \text{Beta}(\alpha, \beta)$. Masukkan parameter bentuk $\alpha$ dan $\beta$ beserta nilai $x \in [0, 1]$ untuk mendapatkan $P(X \leq x)$, $P(X \geq x)$, atau $P(a \leq X \leq b)$, lengkap dengan solusi langkah demi langkah, grafik interaktif, dan statistik utama seperti mean, varians, mode, dan kemiringan (skewness).

Apa Itu Distribusi Beta?

Distribusi beta adalah distribusi probabilitas kontinu yang ditentukan pada interval $[0, 1]$ dengan dua parameter bentuk positif $\alpha$ (alpha) dan $\beta$ (beta). Fungsi padat probabilitasnya (PDF) adalah:

$$f(x;\,\alpha,\beta) = \frac{x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1}}{B(\alpha,\beta)}, \quad 0 \leq x \leq 1$$

di mana $B(\alpha,\beta) = \frac{\Gamma(\alpha)\,\Gamma(\beta)}{\Gamma(\alpha+\beta)}$ adalah fungsi beta. Distribusi beta sangat serbaguna — dengan memvariasikan $\alpha$ dan $\beta$, distribusi ini dapat memodelkan distribusi seragam, berbentuk lonceng, berbentuk-U, atau berbentuk-J, menjadikannya salah satu distribusi paling penting dalam probabilitas dan statistik.

Properti Utama

🔗

Konjugat Bayesian

Prior konjugat untuk distribusi Bernoulli, Binomial, dan Geometrik dalam inferensi Bayesian.

🔄

Keserbagunaan Bentuk

Dapat memodelkan distribusi seragam, bentuk-U, bentuk-J, dan bentuk lonceng tergantung pada α dan β.

📏

Dukungan Terbatas

Ditentukan pada [0, 1], menjadikannya ideal untuk memodelkan probabilitas, proporsi, dan laju.

⚖

Simetri

Ketika α = β, distribusi simetris di sekitar 0.5. Jika tidak, maka miring (skewed).

Galeri Bentuk — Bagaimana α dan β Mempengaruhi Distribusi

Distribusi beta mengambil bentuk yang sangat berbeda bergantung pada parameternya:

Seragam

α = 1, β = 1

Lonceng Simetris

α = 5, β = 5

Bentuk-J (kiri)

α = 0.5, β = 2

Bentuk-U

α = 0.5, β = 0.5

Rumus

Properti	Rumus	Deskripsi
PDF	$f(x) = \frac{x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1}}{B(\alpha,\beta)}$	Kerapatan probabilitas pada x
CDF	$F(x) = I_x(\alpha,\beta)$	Fungsi beta tidak lengkap yang diregulasi
Mean	$\mu = \frac{\alpha}{\alpha+\beta}$	Nilai yang diharapkan
Varians	$\sigma^2 = \frac{\alpha\beta}{(\alpha+\beta)^2(\alpha+\beta+1)}$	Penyebaran distribusi
Mode	$\frac{\alpha-1}{\alpha+\beta-2}$ (jika α, β > 1)	Nilai yang paling mungkin
Kemiringan	$\frac{2(\beta-\alpha)\sqrt{\alpha+\beta+1}}{(\alpha+\beta+2)\sqrt{\alpha\beta}}$	Ukuran asimetri
Fungsi Beta	$B(\alpha,\beta) = \frac{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)}{\Gamma(\alpha+\beta)}$	Konstanta normalisasi

Interpretasi Bayesian

Distribusi beta merupakan pusat dari statistik Bayesian karena ia adalah prior konjugat untuk distribusi Bernoulli dan Binomial. Jika Anda memiliki keyakinan awal (prior) tentang probabilitas $p$ yang dinyatakan sebagai $\text{Beta}(\alpha, \beta)$, dan Anda mengamati $s$ keberhasilan dalam $n$ percobaan, maka keyakinan Anda yang diperbarui (posterior) adalah:

$$p \mid \text{data} \sim \text{Beta}(\alpha + s, \; \beta + n - s)$$

Aturan pembaruan yang elegan ini adalah alasan mengapa distribusi beta menjadi pilihan utama untuk memodelkan ketidakpastian tentang probabilitas. Pilihan umum untuk prior meliputi:

Nama Prior	Parameter	Kapan Digunakan
Seragam (datar)	Beta(1, 1)	Tidak ada informasi awal — semua probabilitas sama mungkinnya
Prior Jeffreys	Beta(0.5, 0.5)	Prior non-informatif dengan properti matematis yang baik
Prior Haldane	Beta(0, 0) (tidak wajar)	Sangat non-informatif — digunakan dalam analisis Bayesian formal
Informatif lemah	Beta(2, 2)	Sedikit preferensi untuk nilai di dekat 0.5

Aplikasi Dunia Nyata

Bidang	Apa yang Dimodelkan X	Contoh
Pengujian A/B	Probabilitas tingkat konversi	Memperkirakan rasio klik-tayang untuk dua varian situs web
Kontrol Kualitas	Proporsi barang cacat	Memodelkan tingkat cacat dari proses manufaktur
Analisis Olahraga	Probabilitas menang / rata-rata pukulan	Memperkirakan rata-rata pukulan sebenarnya dari pemain bisbol
Asuransi	Probabilitas klaim	Memodelkan proporsi pemegang polis yang mengajukan klaim
Genetika	Frekuensi alel	Memodelkan frekuensi varian gen dalam suatu populasi
Pembelajaran Mesin	Kepercayaan model	Distribusi prior untuk parameter probabilitas dalam pengklasifikasi Bayesian

Distribusi Beta vs. Distribusi Lainnya

Fitur	Beta	Normal	Seragam
Dukungan	[0, 1]	(−∞, +∞)	[a, b]
Parameter	α, β (bentuk)	μ, σ (lokasi, skala)	a, b (titik akhir)
Fleksibilitas Bentuk	Sangat tinggi (lonceng, U, J, datar)	Selalu berbentuk lonceng	Selalu datar
Terbaik Untuk	Proporsi, probabilitas	Pengukuran tidak terbatas	Skenario dengan kemungkinan sama
Kegunaan Bayesian	Prior konjugat untuk Bernoulli	Prior konjugat untuk Normal (σ diketahui)	Prior non-informatif

Cara Menggunakan Kalkulator Distribusi Beta

Masukkan parameter bentuk α dan β: Keduanya harus berupa angka positif. α mengontrol seberapa banyak bobot di dekat 1, dan β mengontrol bobot di dekat 0. Untuk distribusi simetris, atur α = β.
Pilih tipe probabilitas: Pilih P(X ≤ x) untuk probabilitas kumulatif, P(X ≥ x) for probabilitas kelangsungan hidup (survival), atau P(a ≤ X ≤ b) untuk probabilitas rentang.
Masukkan nilai x atau rentang: Nilai harus antara 0 dan 1. Untuk probabilitas rentang, masukkan batas bawah a dan batas atas b.
Tinjau hasilnya: Periksa hasil probabilitas, lencana klasifikasi bentuk, grafik PDF dan CDF interaktif dengan wilayah probabilitas yang diarsir, properti distribusi (mean, varians, mode), dan solusi langkah demi langkah yang lengkap.

FAQ

Apa itu distribusi beta?

Distribusi beta adalah distribusi probabilitas kontinu yang ditentukan pada interval [0, 1] dengan dua parameter bentuk alpha dan beta. Distribusi ini sangat serbaguna dan dapat memodelkan proporsi, probabilitas, dan laju. Bergantung pada nilai parameternya, distribusi ini dapat mengambil banyak bentuk termasuk bentuk lonceng, bentuk-U, bentuk-J, atau seragam.

Apa itu parameter bentuk alpha dan beta?

Alpha (α) dan beta (β) adalah bilangan riil positif yang mengontrol bentuk distribusi. Ketika alpha sama dengan beta, distribusi simetris di sekitar 0.5. Ketika alpha lebih besar dari beta, distribusi miring ke arah 1 (miring ke kiri). Ketika alpha kurang dari beta, distribusi miring ke arah 0 (miring ke kanan). Ketika keduanya kurang dari 1, distribusi menjadi berbentuk-U dengan puncak di kedua titik ujung.

Bagaimana distribusi beta digunakan dalam statistik Bayesian?

Distribusi beta adalah prior konjugat untuk distribusi Bernoulli dan binomial. Dalam inferensi Bayesian, jika Anda memulai dengan prior Beta(α, β) untuk parameter probabilitas dan mengamati s keberhasilan dalam n percobaan, distribusi posteriornya adalah Beta(α + s, β + n − s). Hal ini menjadikannya pilihan standar untuk memodelkan ketidakpastian tentang probabilitas, tingkat konversi, proporsi, dan kuantitas serupa yang dibatasi antara 0 dan 1.

Apa perbedaan antara distribusi beta dan distribusi normal?

Distribusi beta dibatasi pada [0, 1] sementara distribusi normal mencakup semua bilangan riil dari minus tak hingga hingga plus tak hingga. Distribusi beta jauh lebih fleksibel dalam bentuknya — bisa berbentuk-U, bentuk-J, bentuk lonceng, atau datar — sementara distribusi normal selalu berbentuk lonceng. Distribusi beta adalah pilihan alami untuk memodelkan proporsi dan probabilitas, sedangkan distribusi normal paling baik untuk pengukuran kontinu yang tidak terbatas.

Bagaimana cara menghitung CDF dari distribusi beta?

CDF dari distribusi beta adalah fungsi beta tidak lengkap yang diregulasi I_x(α, β), didefinisikan sebagai integral dari 0 ke x dari t^(α−1)(1−t)^(β−1) dt, dibagi dengan fungsi beta B(α, β). Integral ini tidak memiliki solusi bentuk tertutup untuk α dan β secara umum, sehingga dihitung secara numerik menggunakan algoritma pecahan berlanjut atau ekspansi seri. Kalkulator ini menangani perhitungan tersebut secara otomatis.

Kutip konten, halaman, atau alat ini sebagai:

"Kalkulator Distribusi Beta" di https://MiniWebtool.com/id// dari MiniWebtool, https://MiniWebtool.com/

oleh tim miniwebtool. Diperbarui: 2026-04-14

Anda juga dapat mencoba Penyelesai Matematika AI GPT kami untuk menyelesaikan masalah matematika Anda melalui pertanyaan dan jawaban dalam bahasa alami.

Properti	Rumus	Deskripsi
PDF	\(f(x) = \frac{x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1}}{B(\alpha,\beta)}\)	Kerapatan probabilitas pada x
CDF	\(F(x) = I_x(\alpha,\beta)\)	Fungsi beta tidak lengkap yang diregulasi
Mean	\(\mu = \frac{\alpha}{\alpha+\beta}\)	Nilai yang diharapkan
Varians	\(\sigma^2 = \frac{\alpha\beta}{(\alpha+\beta)^2(\alpha+\beta+1)}\)	Penyebaran distribusi
Mode	\(\frac{\alpha-1}{\alpha+\beta-2}\) (jika α, β > 1)	Nilai yang paling mungkin
Kemiringan	\(\frac{2(\beta-\alpha)\sqrt{\alpha+\beta+1}}{(\alpha+\beta+2)\sqrt{\alpha\beta}}\)	Ukuran asimetri
Fungsi Beta	\(B(\alpha,\beta) = \frac{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)}{\Gamma(\alpha+\beta)}\)	Konstanta normalisasi

Kalkulator Distribusi Beta

Tentang Kalkulator Distribusi Beta

Apa Itu Distribusi Beta?

Properti Utama

Galeri Bentuk — Bagaimana α dan β Mempengaruhi Distribusi

Rumus

Interpretasi Bayesian

Aplikasi Dunia Nyata

Distribusi Beta vs. Distribusi Lainnya

Cara Menggunakan Kalkulator Distribusi Beta

FAQ

Alat unggulan: