Kalkulator Eksponensial Modular

Hitung a^b mod n secara efisien dengan algoritma eksponensial biner. Masukkan basis, eksponen dan modulus untuk hasilnya plus rincian square-and-multiply langkah demi langkah, visual dekomposisi biner dan konteks kriptografi.

Gratis digunakanTidak perlu mendaftarHasil instan

Kalkulator Eksponensial ModularCoba sekarang — gratis ▼

Embed Kalkulator Eksponensial Modular Widget

Tentang Kalkulator Eksponensial Modular

Kalkulator Eksponensial Modular menghitung \(a^b \bmod n\) — menaikkan basis \(a\) ke eksponen \(b\) dan mengambil sisa pembagian saat dibagi oleh modulus \(n\). Alat ini menggunakan algoritma eksponensiasi biner (juga disebut daya cepat atau eksponensiasi dengan pengkuadratan), yang mereduksi operasi dari \(O(b)\) perkalian menjadi hanya \(O(\log b)\). Ini adalah algoritma yang sama yang digunakan dalam implementasi kriptografi dunia nyata seperti RSA, Diffie-Hellman, dan ElGamal.

Aplikasi Eksponensial Modular

🔐

Enkripsi RSA

Mengenkripsi dan mendekripsi pesan menggunakan eksponensial modular dengan produk prima besar

🤝

Diffie-Hellman

Protokol pertukaran kunci yang menghitung g^a mod p untuk rahasia bersama yang aman

✍

Tanda Tangan Digital

DSA, ECDSA, dan EdDSA semuanya bergantung pada eksponensial modular

🧪

Pengujian Primalitas

Tes Fermat dan Miller-Rabin menggunakan a^(n-1) mod n untuk memeriksa primalitas

🏆

Pemrograman Kompetitif

Aritmatika modular dengan perpangkatan cepat sangat penting untuk masalah kontes

🔗

Blockchain

Proof-of-work dan hashing kriptografi bergantung pada aritmatika modular

Cara Kerja Algoritma Eksponensiasi Biner

Wawasan utamanya adalah kita dapat mendekomposisi eksponen apa pun menjadi jumlah pangkat 2 menggunakan representasi binernya. Misalnya, \(b = 13 = 1101_2 = 2^3 + 2^2 + 2^0\), sehingga \(a^{13} = a^{8} \times a^{4} \times a^{1}\).

Algoritma memproses digit biner dari eksponen dari kiri ke kanan:

Langkah 1: Ubah eksponen \(b\) ke biner.

Langkah 2: Inisialisasi hasil = 1 (atau = basis jika bit pertama adalah 1).

Langkah 3: Untuk setiap bit berikutnya: Kuadratkan hasil (mod n). Jika bit bernilai 1, juga kalikan dengan basis (mod n).

Langkah 4: Setelah semua bit diproses, hasilnya adalah \(a^b \bmod n\).

Pseudocode

function modpow(base, exp, mod):

    result = 1

    base = base mod mod

    while exp > 0:

        if exp is odd:        // bit adalah 1

            result = (result × base) mod mod

        exp = exp >> 1        // geser kanan (bagi 2)

        base = (base × base) mod mod

    return result

Formula Utama

Properti	Formula	Deskripsi
Eksponensial Modular	\(a^b \bmod n\)	Sisa dari a^b dibagi n
Teorema Kecil Fermat	\(a^{p-1} \equiv 1 \pmod{p}\)	Untuk p prima dan fpb(a,p)=1
Teorema Euler	\(a^{\phi(n)} \equiv 1 \pmod{n}\)	Untuk fpb(a,n)=1, di mana φ adalah totient Euler
Kompleksitas Metode Biner	\(O(\log b)\) perkalian	Maksimal 2·log₂(b) perkalian modular
Enkripsi RSA	\(c = m^e \bmod n\)	Enkripsi pesan m dengan kunci publik (e, n)
Dekripsi RSA	\(m = c^d \bmod n\)	Dekripsi teks sandi c dengan kunci privat d

Cara Menggunakan Kalkulator Eksponensial Modular

Masukkan basis (a): Ini adalah angka yang ingin Anda pangkatkan. Bisa positif atau negatif. Misalnya, masukkan 7 untuk menghitung 7^256 mod 13.
Masukkan eksponen (b): Ini harus berupa bilangan bulat non-negatif. Ini mewakili pangkat. Untuk aplikasi kriptografi, ini bisa sangat besar (kalkulator mendukung hingga 10^18).
Masukkan modulus (n): Ini harus berupa bilangan bulat positif. Ini adalah angka pembagi untuk mendapatkan sisa. Dalam RSA, ini biasanya merupakan produk dari dua bilangan prima besar.
Klik Hitung: Kalkulator menghitung a^b mod n menggunakan eksponensiasi biner dan menunjukkan hasilnya secara instan.
Tonton animasi: Tekan Putar untuk melihat algoritma eksponensiasi biner dieksekusi langkah demi langkah. Setiap bit eksponen diproses secara berurutan, menunjukkan apakah algoritma menguadratkan, atau menguadratkan dan mengalikan.
Tinjau jejak: Tabel langkah demi langkah menunjukkan setiap komputasi perantara, dan perbandingan efisiensi menunjukkan seberapa jauh lebih cepat eksponensiasi biner dibandingkan perkalian berulang yang naif.

Mengapa Eksponensiasi Biner Cepat

Pertimbangkan menghitung \(2^{1000} \bmod 13\). Pendekatan naif membutuhkan 999 perkalian. Eksponensiasi biner mengubah 1000 ke biner (1111101000), yang memiliki 10 bit. Ia hanya membutuhkan maksimal 9 pengkuadratan ditambah beberapa perkalian untuk setiap bit '1' — totalnya sekitar 15 operasi. Itu berarti sekitar 98,5% lebih sedikit operasi. Untuk eksponen skala kriptografi dengan ratusan digit, perbedaannya sangat besar: metode biner membutuhkan ribuan operasi di mana metode naif akan membutuhkan lebih banyak operasi daripada jumlah atom di alam semesta.

FAQ

Apa itu eksponensial modular?

Eksponensial modular menghitung (a^b) mod n — ia menaikkan basis ke eksponen, lalu mengambil sisa pembagian saat dibagi dengan modulus. Ini adalah operasi inti dalam kriptografi kunci publik (RSA, Diffie-Hellman, ElGamal) dan digunakan secara luas dalam teori bilangan, pemrograman kompetitif, dan ilmu komputer. Metode eksponensiasi biner menghitung ini secara efisien dalam O(log b) perkalian.

Bagaimana cara kerja eksponensiasi biner (eksponensiasi dengan pengkuadratan)?

Eksponensiasi biner mengubah eksponen ke representasi binernya, lalu memproses setiap bit dari kiri ke kanan (atau kanan ke kiri). Untuk setiap bit, ia menguadratkan hasil saat ini modulo n. Jika bit bernilai 1, ia juga mengalikan hasilnya dengan basis modulo n. Ini mengurangi jumlah perkalian dari b−1 (metode naif) menjadi maksimal 2×log₂(b), sehingga memungkinkan penghitungan dengan eksponen yang sangat besar.

Mengapa eksponensial modular penting dalam kriptografi?

Enkripsi RSA menghitung c = m^e mod n untuk enkripsi dan m = c^d mod n untuk dekripsi, di mana n adalah produk dari dua bilangan prima besar dan eksponennya bisa sepanjang ratusan digit. Tanpa eksponensial modular yang cepat, operasi ini secara komputasi tidak mungkin dilakukan. Keamanannya bergantung pada fakta bahwa operasi kebalikannya (menghitung logaritma diskrit) diyakini tidak layak dilakukan secara komputasi.

Bisakah basis bernilai negatif?

Ya, basis negatif didukung sepenuhnya. Kalkulator pertama-tama mereduksi basis modulo n (menggunakan aritmatika modular Python, yang selalu mengembalikan hasil non-negatif untuk n positif). Misalnya, (−3)^2 mod 7 = 9 mod 7 = 2. Hasil negatif tidak pernah terjadi karena reduksi modular selalu menghasilkan nilai dalam rentang [0, n−1].

Apa yang terjadi jika modulusnya adalah 1?

Setiap bilangan bulat modulo 1 sama dengan 0. Ini karena membagi bilangan bulat apa pun dengan 1 memberikan bilangan itu sendiri dengan sisa 0. Jadi a^b mod 1 = 0 untuk semua nilai a dan b. Kalkulator menangani ini sebagai kasus khusus.

Kutip konten, halaman, atau alat ini sebagai:

"Kalkulator Eksponensial Modular" di https://MiniWebtool.com/id/kalkulator-eksponensial-modular/ dari MiniWebtool, https://MiniWebtool.com/

oleh tim miniwebtool. Diperbarui: 2026-04-16

API developer tersedia: Jalankan alat ini dari aplikasi, otomatisasi, atau agen Anda dengan satu permintaan HTTP JSON. Lihat dokumentasi API

Anda juga dapat mencoba Penyelesai Matematika AI GPT kami untuk menyelesaikan masalah matematika Anda melalui pertanyaan dan jawaban dalam bahasa alami.