Kalkulator Inklusi-Eksklusi

Hitung ukuran gabungan hingga lima himpunan dengan prinsip inklusi-eksklusi. Masukkan elemen mentah atau kardinalitas setiap irisan untuk mendapatkan ekspansi bertanda, diagram Venn langsung, dan ukuran setiap wilayah terpisah.

Gratis digunakanTidak perlu mendaftarHasil instan

Kalkulator Inklusi-EksklusiCoba sekarang — gratis ▼

Embed Kalkulator Inklusi-Eksklusi Widget

Tentang Kalkulator Inklusi-Eksklusi

Kalkulator Inklusi-Eksklusi menghitung ukuran gabungan dari himpunan hingga, |A₁ ∪ A₂ ∪ … ∪ A_n|, menggunakan prinsip inklusi-eksklusi — salah satu identitas yang paling banyak digunakan dalam kombinatorika dan probabilitas diskrit. Masukkan elemen himpunan mentah, atau cukup kardinalitas yang diketahui dari setiap interseksi, dan kalkulator akan mengembalikan ukuran gabungan, ekspansi bertanda lengkap, ukuran setiap wilayah Venn yang terpisah, dan diagram langsung — untuk 2 hingga 5 himpunan sekaligus.

Prinsip Inklusi-Eksklusi

Untuk dua himpunan hingga A dan B, menjumlahkan ukuran mereka akan menghitung dua kali elemen yang ada di keduanya. Mengurangi interseksi akan memperbaiki penghitungan berlebih tersebut:

|A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|

Untuk tiga himpunan, mengurangi setiap interseksi pasangan akan menghapus penghitungan rangkap tiga sebanyak dua kali, jadi kita menambahkan kembali interseksi rangkap tiga:

|A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| − |A ∩ B| − |A ∩ C| − |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|

Secara umum, untuk n himpunan, tandanya bergantian sesuai dengan ukuran interseksi yang sedang dihitung:

|A₁ ∪ … ∪ A_n| = Σ_{S ≠ ∅} (−1)^|S|+1 · |⋂_{i ∈ S} A_i|

Terdapat 2ⁿ − 1 subset tidak kosong dari {1, …, n}, sehingga rumus tersebut memiliki 3 suku untuk 2 himpunan, 7 untuk 3 himpunan, 15 untuk 4 himpunan, dan 31 untuk 5 himpunan. Kalkulator mengevaluasi setiap suku secara individual dan menunjukkan tandanya sehingga Anda dapat mengikuti derivasinya.

Dua Mode Input

Pilih mode yang sesuai dengan data yang Anda miliki. Sebagian besar soal buku teks memberikan kardinalitas secara langsung; tugas pemrograman biasanya memberikan himpunan itu sendiri.

Mode	Kapan digunakan	Contoh input
Elemen	Anda memiliki item sebenarnya dari setiap himpunan dan ingin setiap interseksi diturunkan secara otomatis.	`A: 1, 2, 3, 4` `B: 3, 4, 5, 6` `C: 4, 6, 7, 8`
Kardinalitas	Anda tahu berapa banyak elemen dalam setiap himpunan dan setiap interseksi tetapi tidak tahu elemennya sendiri.	`\|A\| = 50` `\|B\| = 40` `\|A∩B\| = 15`

Dalam mode Kardinalitas, interseksi apa pun yang Anda lewati diasumsikan nol. Pemisah yang diterima untuk label interseksi meliputi A∩B, A&B, dan AB, dengan pipa opsional di sekitar ekspresi (|A∩B|).

Ukuran Wilayah Terpisah — Inversi Möbius

Selain ukuran gabungan, kalkulator mengembalikan ukuran setiap wilayah terpisah dari diagram Venn. Wilayah berlabel "di A dan B tapi bukan C" menghitung elemen yang termasuk dalam tepat himpunan tersebut. Ukuran semua wilayah terpisah jika dijumlahkan akan menghasilkan ukuran gabungan, memberikan pemeriksaan kewarasan instan.

|wilayah T| = Σ_{S ⊇ T} (−1)^|S|−|T| · |⋂_{i ∈ S} A_i|

Ini adalah dual inversi-Möbius dari inklusi-eksklusi. Sebagai contoh, dengan tiga himpunan:

|hanya A| = |A| − |A∩B| − |A∩C| + |A∩B∩C| |hanya A ∩ B| = |A∩B| − |A∩B∩C|

Jika Anda memasukkan kardinalitas yang tidak konsisten — misalnya |A∩B| > |A| — kalkulator akan menolak input tersebut. Jika ukuran individu lolos tetapi nilai gabungan tetap tidak mungkin berasal dari himpunan nyata, satu atau lebih wilayah akan bernilai negatif, yang ditandai sebagai peringatan.

Contoh Pengerjaan — Survei Kelas 3 Himpunan

Sebuah kelas berisi 100 siswa ditanya olahraga apa yang mereka mainkan. 50 bermain sepak bola (A), 40 bola basket (B), 30 tenis (C). 15 bermain A dan B, 10 bermain A dan C, 8 bermain B dan C, dan 3 bermain ketiganya. Berapa banyak yang memainkan setidaknya satu olahraga?

|A ∪ B ∪ C| = 50 + 40 + 30 − 15 − 10 − 8 + 3 = 120 − 33 + 3 = 90

Jadi 90 dari 100 siswa memainkan setidaknya satu dari olahraga ini; 10 tidak bermain sama sekali. Rincian wilayah mengungkapkan lebih banyak: 28 hanya bermain sepak bola, 20 hanya bola basket, 15 hanya tenis, 12 bermain sepak bola dan bola basket tetapi tidak tenis, dan seterusnya.

Cara Menggunakan Kalkulator Ini

Pilih mode input — Elemen jika Anda memiliki itemnya, Kardinalitas jika Anda hanya memiliki ukurannya.
Masukkan data Anda di area teks, satu baris per himpunan atau satu baris per kardinalitas yang diketahui.
Pilih jumlah himpunan (2 hingga 5) dalam mode Kardinalitas. Dalam mode Elemen jumlahnya dideteksi secara otomatis.
Klik Hitung Gabungan & Wilayah. Hasilnya menunjukkan |⋃ Aᵢ| dalam kartu hero, ekspansi inklusi-eksklusi lengkap dengan setiap suku bertanda, SVG diagram Venn (untuk 2, 3, atau 4 himpunan), dan tabel dengan setiap wilayah terpisah dan ukurannya.
Arahkan kursor ke wilayah Venn atau baris tabel untuk menyorot entri yang cocok — bukti visual cepat bahwa tabel dan diagram mewakili dekomposisi yang sama.

Aplikasi Umum

Kombinatorika — menghitung deransemen, surjeksi, permutasi dengan posisi terlarang.
Probabilitas — P(A ∪ B ∪ C) untuk kejadian, ketidaksamaan Boole, paradoks ulang tahun.
Teori bilangan — menghitung bilangan bulat koprima terhadap suatu produk melalui fungsi totien Euler: rumus φ adalah inklusi-eksklusi murni.
Analisis survei — pertanyaan "berapa banyak responden yang termasuk dalam setidaknya satu kategori".
Kueri basis data — memperkirakan ukuran UNION dari COUNT pada INTERSECT.
Ilmu komputer — algoritme saringan, estimasi kardinalitas indeks bitmap, penghitungan jangkauan GDPR/HIPAA.

Tips & Kesalahan Umum

Jangan lupa untuk menambahkan kembali interseksi rangkap tiga. Kesalahan siswa yang paling umum dalam soal 3 himpunan adalah berhenti setelah mengurangi pasangan, sehingga menghasilkan jawaban yang terlalu kecil.
Hilang ≠ nol ketika himpunan nyata terlibat. Dalam mode Kardinalitas, interseksi yang diabaikan dianggap nol. Jika soal Anda tidak mengatakan interseksi tersebut kosong, Anda mungkin perlu menyertakannya.
Setiap interseksi ≤ setiap himpunan yang mengandungnya. |A ∩ B| tidak pernah bisa melebihi min(|A|, |B|). Kalkulator langsung menolak input yang tidak mungkin.
Gunakan mode Elemen jika memungkinkan. Ini menghilangkan seluruh kelas kesalahan "apakah saya memasukkan setiap interseksi dengan benar" dengan menurunkan interseksi dari himpunan itu sendiri.

Pertanyaan yang Sering Diajukan

Apa itu prinsip inklusi-eksklusi?

Prinsip inklusi-eksklusi adalah identitas penghitungan yang memberikan ukuran gabungan himpunan berdasarkan ukuran himpunan itu sendiri dan interseksinya. Untuk dua himpunan rumusnya adalah |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|. Untuk tiga himpunan, koreksi untuk interseksi rangkap tiga ditambahkan kembali, dan untuk n himpunan tandanya bergantian, menambah himpunan tunggal, mengurangi pasangan, menambah rangkap tiga, dan seterusnya.

Apa perbedaan antara mode Elemen dan mode Kardinalitas?

Mode Elemen mengharapkan elemen sebenarnya dari setiap himpunan, satu baris per himpunan, dan kalkulator menemukan setiap interseksi secara otomatis. Mode Kardinalitas hanya mengharapkan ukuran himpunan dan interseksinya dan ideal saat menyelesaikan soal cerita di mana Anda tahu berapa banyak orang yang menyukai teh, kopi, atau keduanya, tanpa diberikan nama aslinya.

Mengapa kalkulator saya menunjukkan ukuran wilayah negatif?

Ukuran wilayah negatif dalam mode Kardinalitas berarti input Anda tidak konsisten — tidak ada kumpulan himpunan nyata yang dapat memiliki ukuran interseksi tersebut. Biasanya ini terjadi ketika interseksi pasangan atau rangkap tiga lebih besar daripada yang dapat didukung oleh himpunan individu. Periksa kembali angkanya; setiap interseksi harus lebih kecil dari atau sama dengan setiap himpunan yang mengandungnya.

Berapa banyak himpunan yang bisa ditangani kalkulator ini?

Kalkulator ini mendukung 2 hingga 5 himpunan. Diagram Venn dirender untuk 2, 3, dan 4 himpunan; tabel rincian wilayah ditampilkan untuk jumlah himpunan apa pun termasuk 5. Untuk masalah yang lebih besar, ekspansi inklusi-eksklusi menjadi sangat rumit, sehingga sebagian besar soal buku teks maksimal pada 4 atau 5 himpunan.

Apa itu wilayah terpisah?

Wilayah terpisah adalah bagian dari diagram Venn yang dimiliki oleh tepat satu kombinasi himpunan dan tidak ada yang lain. Untuk tiga himpunan A, B, C ada tujuh wilayah tidak kosong: hanya-A, hanya-B, hanya-C, hanya-A∩B, hanya-A∩C, hanya-B∩C, dan A∩B∩C. Jumlah ukurannya adalah |A ∪ B ∪ C|, yang merupakan cara cepat untuk memeriksa ulang perhitungan inklusi-eksklusi.

Dapatkah saya menggunakan kalkulator dengan himpunan tak terbatas atau kontinu?

Kalkulator ini dirancang untuk himpunan hingga yang ukurannya adalah bilangan bulat non-negatif. Untuk masalah probabilitas atau teori ukuran dengan himpunan kontinu, Anda masih dapat menerapkan identitas inklusi-eksklusi secara konseptual, tetapi alat numerik ini mengharapkan kardinalitas yang dapat Anda ketik sebagai bilangan bulat.

Bacaan Lebih Lanjut

Kutip konten, halaman, atau alat ini sebagai:

"Kalkulator Inklusi-Eksklusi" di https://MiniWebtool.com/id/kalkulator-inklusi-eksklusi/ dari MiniWebtool, https://MiniWebtool.com/

oleh tim miniwebtool. Diperbarui: 21 Apr 2026

API developer tersedia: Jalankan alat ini dari aplikasi, otomatisasi, atau agen Anda dengan satu permintaan HTTP JSON. Lihat dokumentasi API

Anda juga dapat mencoba Penyelesai Matematika AI GPT kami untuk menyelesaikan masalah matematika Anda melalui pertanyaan dan jawaban dalam bahasa alami.