Bagaimana cara kerja Pemeriksa Angka Fibonacci?

Alat ini menggunakan teorema Gessel (1972): sebuah bilangan bulat non-negatif n adalah angka Fibonacci jika dan hanya jika 5n^2 + 4 atau 5n^2 - 4 adalah kuadrat sempurna. Ini memberikan hasil O(1) secara instan — tidak perlu menghasilkan seluruh urutan. Alat ini kemudian mengungkap indeks tepat F_n, representasi Zeckendorf, dan analisis konvergensi rasio emas.

Apa itu teorema Zeckendorf?

Teorema Zeckendorf (1972) menyatakan bahwa setiap bilangan bulat positif memiliki representasi unik sebagai jumlah dari angka Fibonacci yang tidak berurutan (menggunakan masing-masing paling banyak satu kali, tanpa ada dua yang berdekatan). Ini juga disebut sistem bilangan Fibonacci atau pengkodean berbasis phi.

Apa 20 angka Fibonacci pertama?

F_0 = 0, F_1 = 1, F_2 = 1, F_3 = 2, F_4 = 3, F_5 = 5, F_6 = 8, F_7 = 13, F_8 = 21, F_9 = 34, F_10 = 55, F_11 = 89, F_12 = 144, F_13 = 233, F_14 = 377, F_15 = 610, F_16 = 987, F_17 = 1597, F_18 = 2584, F_19 = 4181.

Pemeriksa Angka Fibonacci

Q: Apa itu deret Fibonacci?

Deret Fibonacci dimulai dengan 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, ... — di mana setiap suku adalah jumlah dari dua suku sebelumnya. Rasio suku-suku yang berurutan konvergen ke rasio emas phi ~ 1.61803.

Q: Apakah 144 adalah angka Fibonacci?

Ya. 144 adalah F_12. Cek: 5 x 144^2 - 4 = 103,676, dan 322^2 = 103,684 — bukan itu. Tapi 5 x 144^2 + 4 = 103,684 = 322^2, sebuah kuadrat sempurna. Oleh karena itu 144 lulus uji Gessel dan merupakan Fibonacci. 144 juga unik: satu-satunya angka Fibonacci yang lebih besar dari 1 yang merupakan kuadrat sempurna.

Q: Apakah 100 adalah angka Fibonacci?

Tidak. 5 x 100^2 + 4 = 50,004 dan 5 x 100^2 - 4 = 49,996; keduanya bukan kuadrat sempurna (223^2 = 49,729; 224^2 = 50,176). 100 berada di antara F_11 = 89 dan F_12 = 144, tetapi bukan angka Fibonacci itu sendiri.

Cek apakah bilangan bulat positif apa pun termasuk deret Fibonacci. Menggunakan teorema kuadrat sempurna Gessel untuk uji O(1), mengungkap indeks pastinya, menunjukkan representasi Zeckendorf, dan memplot konvergensi rasio emas.

Gratis digunakanTidak perlu mendaftarHasil instan

Pemeriksa Angka FibonacciCoba sekarang — gratis ▼

Embed Pemeriksa Angka Fibonacci Widget

Tentang Pemeriksa Angka Fibonacci

Selamat datang di Pemeriksa Angka Fibonacci — cara instan dan matematis yang ketat untuk menentukan apakah bilangan bulat positif apa pun termasuk dalam deret Fibonacci. Alih-alih menghasilkan deret suku demi suku, alat ini menerapkan teorema kuadrat sempurna Gessel untuk keputusan O(1), kemudian memperkaya jawaban dengan indeks tepat $F_n$, representasi Zeckendorf yang unik, pemeriksaan konvergensi rasio emas, dan gambar spiral Fibonacci.

Apa Itu Deret Fibonacci?

Deret Fibonacci ditentukan oleh hubungan pengulangan sederhana:

Pengulangan Fibonacci

$$F_0 = 0, \quad F_1 = 1, \quad F_n = F_{n-1} + F_{n-2} \; \text{untuk} \; n \geq 2$$

Dua puluh suku pertama adalah: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181. Deret ini tumbuh secara eksponensial — kira-kira dengan faktor rasio emas $\varphi = \frac{1+\sqrt{5}}{2} \approx 1.61803$ pada setiap suku.

Bagaimana Cara Kerja Pemeriksa: Teorema Gessel

Alih-alih membangun deret secara iteratif, alat ini menggunakan hasil luar biasa tahun 1972 oleh Ira Gessel:

Uji Gessel (1972)

$$n \in \{F_k\} \iff 5n^2 + 4 \text{ atau } 5n^2 - 4 \text{ adalah kuadrat sempurna.}$$

Jadi untuk memeriksa apakah, misalnya, 144 adalah Fibonacci, hitung $5 \times 144^2 + 4 = 103{,}684 = 322^2$ — sebuah kuadrat sempurna. Selesai. Tidak diperlukan pembuatan deret. Pengujian ini dilakukan dalam waktu konstan modulo akar kuadrat presisi arbitrer, membuat pemeriksa ini sangat cepat bahkan pada input 30 digit.

Rumus Binet: Bentuk Tertutup

Rasio emas yang sama juga memberikan ekspresi bentuk tertutup untuk angka Fibonacci apa pun:

Rumus Binet (1843)

$$F_n = \frac{\varphi^n - \psi^n}{\sqrt{5}}, \quad \varphi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}, \quad \psi = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$$

Karena $|\psi| < 1$, suku $\psi^n$ meluruh dengan cepat dan $F_n \approx \varphi^n / \sqrt{5}$ dibulatkan ke bilangan bulat terdekat. Inilah sebabnya mengapa rasio $F_{n+1} / F_n$ konvergen ke $\varphi$.

Teorema Zeckendorf

Setiap bilangan bulat positif memiliki representasi unik sebagai jumlah dari angka Fibonacci yang tidak berurutan (tidak termasuk $F_1 = 1$, karena akan berlebihan dengan $F_2 = 1$). Ini adalah representasi Zeckendorf dan membentuk dasar dari sistem bilangan Fibonacci:

100 = 89 + 8 + 3 = $F_{11} + F_6 + F_4$
50 = 34 + 13 + 3 = $F_9 + F_7 + F_4$
1000 = 987 + 13 = $F_{16} + F_7$

Alat ini menghitung representasi ini untuk setiap bilangan bulat positif yang Anda masukkan — bahkan jika angka Anda sendiri bukan Fibonacci, Anda tetap dapat melihat dekomposisinya menjadi atom-atom Fibonacci.

Cara Menggunakan Kalkulator Ini

Masukkan angka: Ketik bilangan bulat non-negatif apa pun hingga $10^{30}$. Alat ini menggunakan Python big-integer, sehingga input besar akan bekerja dengan sempurna.
Klik Periksa Angka Fibonacci: Uji Gessel berjalan secara instan.
Baca spanduk hasil: Emas berarti Fibonacci (dengan indeks tepat $F_n$ yang ditampilkan); abu-abu berarti bukan.
Jelajahi: Tinjau dua hasil uji Gessel, strip urutan yang disorot, spiral emas, rincian Zeckendorf, dan bukti langkah demi langkah.

Fakta Menarik Tentang Angka Fibonacci

144 itu istimewa: Ini adalah angka Fibonacci terbesar yang juga merupakan kuadrat sempurna. Faktanya, 144 = $12^2 = F_{12}$. Satu-satunya kuadrat Fibonacci lainnya adalah 0 dan 1 (Cohn, 1964).
Setiap Fibonacci ke-3 adalah genap: $F_3 = 2, F_6 = 8, F_9 = 34, F_{12} = 144, \ldots$ Pola paritasnya sangat periodik: ganjil, ganjil, genap, ganjil, ganjil, genap, …
Fibonacci dan $\gcd$: $\gcd(F_m, F_n) = F_{\gcd(m,n)}$. Ini adalah identitas Catalan dan menghubungkan deret tersebut dengan teori bilangan.
Fibonacci berturut-turut adalah koprima: $\gcd(F_n, F_{n+1}) = 1$ untuk semua $n$.
Fibonacci di alam: Jumlah kelopak pada banyak bunga (lily 3, buttercup 5, delphinium 8, daisy 21/34/55/89), spiral pada biji pinus, kepala biji bunga matahari, dan cangkang nautilus semuanya menunjukkan angka Fibonacci.
Silsilah lebah madu: Lebah jantan (drone) memiliki 1 orang tua, 2 kakek-nenek, 3 buyut, 5, 8, 13, … Fibonacci.
Hanya ada 4 angka segitiga Fibonacci: 1, 3, 21, 55 (Luo, 1989).

25 Angka Fibonacci Pertama

Indeks	Nilai	Catatan
F₀	0	Berdasarkan konvensi
F₁	1	Benih
F₂	1	Benih (nilai sama dengan F₁)
F₃	2	Fibonacci genap pertama
F₄	3	Prima
F₅	5	Prima
F₆	8	= 2³
F₇	13	Prima
F₈	21	= 3 × 7
F₉	34	= 2 × 17
F₁₀	55	Angka segitiga
F₁₁	89	Prima
F₁₂	144	= 12² (Fibonacci kuadrat terbesar)
F₁₃	233	Prima
F₁₄	377	= 13 × 29
F₁₅	610	= 2 × 5 × 61
F₁₆	987	= 3 × 7 × 47
F₁₇	1,597	Prima
F₁₈	2,584
F₁₉	4,181
F₂₀	6,765	Berdekatan dengan angka segitiga
F₂₁	10,946
F₂₂	17,711
F₂₃	28,657	Prima
F₂₄	46,368

Pertanyaan yang Sering Diajukan

Apakah 0 adalah angka Fibonacci?

Ya. Menurut konvensi standar yang digunakan di sini, $F_0 = 0$. Beberapa buku teks memulai deret dari $F_1 = 1, F_2 = 1$, mengabaikan nol, tetapi OEIS dan sebagian besar referensi modern menyertakan 0 sebagai angka Fibonacci ke-nol.

Apakah 1 adalah angka Fibonacci?

Ya. Faktanya 1 muncul dua kali: $F_1 = F_2 = 1$. Alat ini melaporkan indeks yang lebih rendah (1) berdasarkan konvensi.

Apakah 100 adalah angka Fibonacci?

Tidak. $5 \times 100^2 + 4 = 50{,}004$ dan $5 \times 100^2 - 4 = 49{,}996$; keduanya bukan kuadrat sempurna, sehingga 100 gagal dalam uji Gessel. 100 terletak di antara $F_{11} = 89$ dan $F_{12} = 144$.

Apakah 144 adalah angka Fibonacci?

Ya — dan sangat terkenal. 144 = $F_{12}$, dan ini adalah satu-satunya angka Fibonacci yang lebih besar dari 1 yang juga merupakan kuadrat sempurna ($144 = 12^2$). Uji Gessel: $5 \times 144^2 + 4 = 103{,}684 = 322^2$. ✓

Berapa angka Fibonacci terbesar yang pernah dihitung?

Angka Fibonacci dengan lebih dari satu juta digit telah dihitung. Indeks angka Fibonacci prima terbesar yang diketahui berubah seiring waktu; per tahun 2026, indeksnya adalah $F_{201107}$ dengan lebih dari 42.000 digit, ditemukan melalui pencarian prima kolaboratif yang sedang berlangsung.

Dapatkah saya memasukkan angka yang sangat besar?

Ya, hingga $10^{30}$. Alat ini mengandalkan aritmatika big-integer Python dan akar kuadrat bilangan bulat (isqrt), yang tetap tepat dan cepat bahkan untuk input dengan lusinan digit.

Sumber Daya Tambahan

Kutip konten, halaman, atau alat ini sebagai:

"Pemeriksa Angka Fibonacci" di https://MiniWebtool.com/id/pemeriksa-angka-fibonacci/ dari MiniWebtool, https://MiniWebtool.com/

oleh tim miniwebtool. Diperbarui: 19 Apr 2026

API developer tersedia: Jalankan alat ini dari aplikasi, otomatisasi, atau agen Anda dengan satu permintaan HTTP JSON. Lihat dokumentasi API

Anda juga dapat mencoba Penyelesai Matematika AI GPT kami untuk menyelesaikan masalah matematika Anda melalui pertanyaan dan jawaban dalam bahasa alami.

Operasi dasar matematika:

Kalkulator Nilai Absolut Baru
Pemeriksa Bilangan Bersahabat Baru
Visualisator Menyimpan dan Meminjam Baru
Kalkulator Fungsi Ceiling dan Floor Baru
Kalkulator faktor persekutuan Populer
Kalkulator Perkalian Silang Baru
Kalkulator Kubus dan Akar Kubus
Kalkulator Akar Pangkat Tiga
Kalkulator Akar Digital Baru
Dibagi Menjadi Dua Bagian
Kalkulator Tes yang Dapat Dibagi
Kalkulator Perkalian Mesir Kuno Baru
Kalkulator Estimasi Baru
Pemeriksa Angka Genap atau Ganjil Baru
Kalkulator Faktor Populer
Pemeriksa Angka Fibonacci Baru
Temukan Minimum dan Maksimum
n Digit Pertama dari e
n Digit Pertama Pi
Verifikator Konjektur Goldbach Baru
Kalkulator Faktor Persekutuan Terbesar
Pemeriksa Nomor Perdana
Kalkulator Kelipatan Persekutuan Terkecil
Kalkulator Penjumlahan dan Pengurangan Bersusun Populer
Kalkulator Pembagian Panjang Baru
Kalkulator Perkalian Panjang Baru
Kalkulator Fungsi Möbius Baru
Pelatih Matematika Mental Baru
Pemeriksa Bilangan Prima Mersenne Baru
Kalkulator Modulo Populer
Kalkulator Perkalian Populer
Generator Tabel Perkalian Baru
Kalkulator Akar n Presisi Tinggi
Generator Penguraian Bilangan Baru
Kalkulator Jumlah Digit Populer
Pencari Pola Angka Baru
Kalkulator Urutan Operasi (PEMDAS) Baru
Pemeriksa Bilangan Sempurna Baru
Generator Grafik Nilai Tempat Baru
Kalkulator Faktor Prima Populer
Kalkulator Faktorisasi Prima
Kalkulator hasil bagi dan sisa Populer
Generator Soal Matematika Acak Baru
Kalkulator Rasio Baru
Kalkulator Matematika Angka Romawi Baru
Perkalian Petani Rusia Baru
Generator Hitung Loncat Baru
Simulator Soroban Sempoa Jepang Baru
Urutkan Angka Populer
Kalkulator Akar Kuadrat Populer
Kalkulator Penjumlahan
Kuis Tabel Perkalian Baru
Kalkulator Harga Satuan Baru
Kalkulator Trik Matematika Veda Baru