ベータ分布電卓

ベータ分布電卓

ベータ分布電卓は、ベータ分布 \(X \sim \text{Beta}(\alpha, \beta)\) の確率計算、確率密度関数 (PDF) および累積分布関数 (CDF) の可視化、分布の特性を表示します。形状パラメータ \(\alpha\) と \(\beta\)、および \(x \in [0, 1]\) の値を入力することで、\(P(X \leq x)\)、\(P(X \geq x)\)、または \(P(a \leq X \leq b)\) を取得できます。ステップバイステップの解決策、インタラクティブなグラフ、平均、分散、最頻値、歪度などの主要な統計量も提供されます。

ベータ分布とは何ですか？

ベータ分布は、2つの正の形状パラメータ \(\alpha\) (アルファ) と \(\beta\) (ベータ) を持ち、区間 \([0, 1]\) で定義される連続確率分布です。その確率密度関数 (PDF) は次の通りです。

$$f(x;\,\alpha,\beta) = \frac{x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1}}{B(\alpha,\beta)}, \quad 0 \leq x \leq 1$$

ここで、\(B(\alpha,\beta) = \frac{\Gamma(\alpha)\,\Gamma(\beta)}{\Gamma(\alpha+\beta)}\) はベータ関数です。ベータ分布は非常に汎用性が高く、\(\alpha\) と \(\beta\) を変化させることで、一様分布、ベル型、U型、または J型の分布をモデル化できるため、確率論や統計学において最も重要な分布の1つとなっています。

主な特性

形状ギャラリー — α と β が分布に与える影響

ベータ分布は、パラメータに応じて著しく異なる形状をとります。

数式

ベイズ統計的解釈

ベータ分布は、ベルヌーイ分布および二項分布の共役事前分布であるため、ベイズ統計において中心的役割を果たします。確率 \(p\) についての事前信念を \(\text{Beta}(\alpha, \beta)\) として表現し、\(n\) 回の試行で \(s\) 回の成功を観察した場合、更新された（事後）信念は次のようになります。

$$p \mid \text{データ} \sim \text{Beta}(\alpha + s, \; \beta + n - s)$$

この簡潔な更新ルールこそが、ベータ分布が確率に関する不確実性をモデル化するための標準的な選択肢である理由です。事前分布の一般的な選択肢は以下の通りです。

実世界での応用

ベータ分布 vs. 他の分布

ベータ分布電卓の使い方

1. 形状パラメータ α と β を入力する: 両方とも正の数である必要があります。αは1付近の重みを制御し、βは0付近の重みを制御します。対称な分布にするには、α = β に設定します。
2. 確率のタイプを選択する: 累積確率には P(X ≤ x)、生存確率には P(X ≥ x)、範囲確率には P(a ≤ X ≤ b) を選択します。
3. x の値または範囲を入力する: 値は 0 から 1 の間である必要があります。範囲確率の場合は、下限 a と上限 b の両方を入力します。
4. 結果を確認する: 確率の結果、形状分類バッジ、確率領域が塗りつぶされたインタラクティブな PDF および CDF グラフ、分布の特性（平均、分散、最頻値）、および完全なステップバイステップの解決策を確認します。

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