單擺週期計算機

這款單擺週期計算機使用經典的簡單單擺公式 \( T = 2\pi\sqrt{L/g} \) 來求解週期 \(T\)、長度 \(L\)、當地重力 \(g\) 或固有頻率 \(f\)。它包含一鍵行星重力預設、使用橢圓積分級數的精確大角度修正、按計算速率擺動的即時 SVG 單擺，以及在提供擺錘質量時輸出的能量/速度數據。

如何使用單擺週期計算機

1. 選擇要求解的項目：T（週期）、L（長度）、g（重力）或 f（頻率）。表單會自動調整以僅詢問所需的量。
2. 選擇行星預設值 — 地球、月球、火星、木星、太陽、ISS 等 — 或切換到「自定義」並輸入您自己的 g 值。
3. 輸入長度、週期或所選模式要求的任何組合。
4. 選填：輸入擺動振幅（以度為單位）和擺錘質量。計算機隨後會報告精確（非小角度）週期、最大高度、擺動底部的速度以及峰值動能/位能。
5. 點擊計算並查看即時 SVG 擺動、跨行星比較表、逐步計算過程以及每分鐘/每小時/每天的循環次數。

本計算機的特色

單擺週期公式

對於懸掛在無質量擺桿上、在均勻重力場中以小角度擺動的質點擺錘：

\[ T \;=\; 2\pi\sqrt{\dfrac{L}{g}} \qquad\Longleftrightarrow\qquad L \;=\; g\left(\dfrac{T}{2\pi}\right)^{\!2} \qquad\Longleftrightarrow\qquad g \;=\; \dfrac{4\pi^{2}L}{T^{2}} \]

這裡 \(T\) 是以秒為單位的週期，\(L\) 是從支點到擺錘質心的長度（公尺），\(g\) 是當地的重力加速度（m/s²）。固有頻率是週期的倒數：\( f = 1/T \)，角頻率為 \( \omega = 2\pi/T = \sqrt{g/L} \)。

為什麼質量無關緊要

如果您為懸掛在長度為 \(L\)、角度為 \(\theta\) 的擺桿上的擺錘（質量為 \(m\)）寫下牛頓第二定律，重力回覆力矩為 \(-m g L \sin\theta\)，轉動慣量為 \(m L^{2}\)。運動方程為：

\[ m L^{2} \ddot{\theta} \;=\; -m g L \sin\theta \quad\Rightarrow\quad \ddot{\theta} \;=\; -\dfrac{g}{L}\sin\theta. \]

質量會抵消。兩個長度相同的單擺，無論其擺錘多重，擺動週期都完全相同。然而，擺錘質量確實會線性地縮放擺動的動能和位能（以及擺桿中的張力）。

小角度 vs 精確週期

我們熟悉的 \( T = 2\pi\sqrt{L/g} \) 僅是級數的首項。精確週期為：

\[ T_{exact} \;=\; 2\pi\sqrt{\dfrac{L}{g}}\;\left(1 + \tfrac{1}{16}\theta_0^{\,2} + \tfrac{11}{3072}\theta_0^{\,4} + \tfrac{173}{737280}\theta_0^{\,6} + \dots\right) \]

其中 \(\theta_0\) 是以弧度為單位的半振幅。小角度近似會低估週期：

秒擺

設定 \(T = 2\) 秒（因此每次半擺為一秒）且 \(g = 9.80665\) m/s²，可得到著名的「秒擺」長度：

\[ L \;=\; \dfrac{g\,T^{2}}{4\pi^{2}} \;=\; \dfrac{9.80665 \cdot 4}{4\pi^{2}} \;\approx\; 0.9936 \text{ m}. \]

這是所有祖父鐘的設計長度，且曾被提議作為國際公尺。由於單擺週期取決於當地的 \(g\)，在倫敦校準的秒擺在赤道擺動的頻率會有所不同 — 歷史上大地測量學家正是以此繪製地球形狀的。

計算實例：地球上的 1 m 單擺

• 長度 \(L = 1.00\) m，重力 \(g = 9.80665\) m/s²。
• \( T = 2\pi\sqrt{1 / 9.80665} = 2.0064\) 秒（小角度）。
• 頻率 \( f = 1/T \approx 0.4984 \) Hz；角頻率 \( \omega \approx 3.132 \) rad/s。
• 在 20° 振幅下，精確週期約為 2.022 秒 — 長了 0.77%。
• 如果擺錘質量為 0.5 kg 且 θ₀ = 20°，最大高度 \( h = L(1 - \cos 20°) \approx 0.060\) m，峰值 KE = 峰值 PE \(\approx 0.295\) J，峰值速度 \( v = \sqrt{2gh} \approx 1.087\) m/s。

常見問題

簡單單擺週期的公式是什麼？
對於小角度擺動，\( T = 2\pi\sqrt{L/g} \)。週期僅取決於長度和當地重力，而不取決於擺錘的質量或振幅（只要振幅較小）。

擺錘質量會影響週期嗎？
不會。質量會從運動方程中抵消。同根繩子上 1 kg 的擺錘和 100 g 的擺錘擺動速率相同。不過，質量會縮放動能、位能和繩索張力。

行星如何影響單擺週期？
週期與 \(1/\sqrt{g}\) 成正比。一個在地球上每 2.01 秒擺動一次的 1 m 單擺，在月球（\(g \approx 1.62\)）上每 4.93 秒擺動一次，在木星（\(g \approx 24.79\)）上則每 1.26 秒擺動一次。結果部分的跨行星表具體說明了這一點。

為什麼週期會隨擺動振幅變大而增加？
小角度公式 \( T = 2\pi\sqrt{L/g} \) 是通過將 \(\sin\theta\) 替換為 \(\theta\) 得到的。對於較大角度，回覆「力」比線性近似暗示的要弱，因此擺錘在轉向點附近停留的時間更長，週期隨之增加。精確結果涉及第一類完全橢圓積分。

單擺需要多長才能每秒擺動一次？
如果您是指「每秒循環一次」（\(T = 1\) 秒），您需要 \(L = g (T/2\pi)^2 \approx 0.0248\) m，即約 25 mm — 非常短！1 m 的「秒擺」實際上週期為 2 秒，因為歷史上的「秒」指的是每次滴答聲。

單擺如何測量重力？
將模式切換為「求解 g」。輸入精確測量的長度和週期 — 計算機會返回 \( g = 4\pi^2 L / T^2 \)。這是經典擺式重力儀（以及伽利略最初實驗）的基礎。

簡單單擺和物理單擺有什麼區別？
簡單單擺是無質量繩上的理想質點。物理（複擺）是繞支點擺動的任何真實剛體。其週期為 \( T = 2\pi\sqrt{I/(mgd)} \)，其中 \(I\) 是繞支點的轉動慣量，\(d\) 是支點到質心的距離。簡單單擺公式是質量全部集中在一個點時的極限。