单摆周期计算器

单摆周期计算器使用经典的简单单摆公式 \( T = 2\pi\sqrt{L/g} \) 来求解周期 \(T\)、长度 \(L\)、局部重力 \(g\) 或固有频率 \(f\)。它包含一键式行星重力预设、使用椭圆积分级数的精确大角度修正、一个能按计算速率真实摆动的实时 SVG 单摆动画，以及在提供摆球质量时输出能量和速度数据。

如何使用此单摆周期计算器

1. 选择要计算的内容：T（周期）、L（长度）、g（重力）或 f（频率）。表单会自动调整，仅询问所需的数值。
2. 选择行星预设 —— 地球、月球、火星、木星、太阳、国际空间站等 —— 或切换到自定义并输入您自己的 g 值。
3. 输入长度、周期或所选模式要求的任何组合。
4. （可选）：输入摆动振幅（度）和摆球质量。计算器随后会报告精确的（非小角度）周期、最大高度、摆动底部的速度以及峰值动能/势能。
5. 点击计算并查看实时 SVG 摆动动画、跨行星对比表、分步计算过程以及每分钟/每小时/每天的循环计数。

本计算器的独特之处

单摆周期公式

对于挂在无质量杆上、在均匀重力场中以小角度摆动的质点摆球：

\[ T \;=\; 2\pi\sqrt{\dfrac{L}{g}} \qquad\Longleftrightarrow\qquad L \;=\; g\left(\dfrac{T}{2\pi}\right)^{\!2} \qquad\Longleftrightarrow\qquad g \;=\; \dfrac{4\pi^{2}L}{T^{2}} \]

其中 \(T\) 是以秒为单位的周期，\(L\) 是从支点到摆球质心的长度（米），\(g\) 是局部重力加速度（m/s²）。固有频率是周期的倒数：\( f = 1/T \)，角频率为 \( \omega = 2\pi/T = \sqrt{g/L} \)。

为什么质量无关紧要

如果为挂在长度为 \(L\)、角度为 \(\theta\) 的杆上的单摆球（质量 \(m\)）编写牛顿第二定律，重力回复力矩为 \(-m g L \sin\theta\)，转动惯量为 \(m L^{2}\)。运动方程为：

\[ m L^{2} \ddot{\theta} \;=\; -m g L \sin\theta \quad\Rightarrow\quad \ddot{\theta} \;=\; -\dfrac{g}{L}\sin\theta. \]

质量被抵消了。两个长度相同的单摆，无论摆球多重，其摆动周期都完全相同。然而，摆球质量会按比例缩放摆动的动能和势能（以及杆中的张力）。

小角度 vs 精确周期

人们熟知的 \( T = 2\pi\sqrt{L/g} \) 只是一个级数的主项。精确周期为：

\[ T_{exact} \;=\; 2\pi\sqrt{\dfrac{L}{g}}\;\left(1 + \tfrac{1}{16}\theta_0^{\,2} + \tfrac{11}{3072}\theta_0^{\,4} + \tfrac{173}{737280}\theta_0^{\,6} + \dots\right) \]

其中 \(\theta_0\) 是以弧度为单位的半振幅。小角度近似值低估周期的程度如下：

秒摆

设定 \(T = 2\) 秒（这样每次半摆为一秒）且 \(g = 9.80665\) m/s²，可以得到著名的“秒摆”长度：

\[ L \;=\; \dfrac{g\,T^{2}}{4\pi^{2}} \;=\; \dfrac{9.80665 \cdot 4}{4\pi^{2}} \;\approx\; 0.9936 \text{ m}. \]

这是所有老爷钟的设计长度，且曾被提议作为国际米的标准。由于单摆的周期取决于局部 \(g\)，在伦敦调校的秒摆在赤道上的跳动会有所不同 —— 历史上，大地测量学家正是通过这种方式绘制地球形状的。

计算实例：地球上的 1 m 单摆

• 长度 \(L = 1.00\) m，重力 \(g = 9.80665\) m/s²。
• \( T = 2\pi\sqrt{1 / 9.80665} = 2.0064\) s（小角度）。
• 频率 \( f = 1/T \approx 0.4984 \) Hz；角频率 \( \omega \approx 3.132 \) rad/s。
• 在 20° 振幅下，精确周期约为 2.022 s —— 长出约 0.77%。
• 如果摆球质量为 0.5 kg 且 θ₀ = 20°，最大高度 \( h = L(1 - \cos 20°) \approx 0.060\) m，峰值动能 = 峰值势能 \(\approx 0.295\) J，峰值速度 \( v = \sqrt{2gh} \approx 1.087\) m/s。

常见问题解答

简单单摆的周期公式是什么？
对于小角度摆动，\( T = 2\pi\sqrt{L/g} \)。周期仅取决于长度和局部重力，而与摆球质量或振幅无关（只要振幅较小）。

摆球质量会影响周期吗？
不会。质量在运动方程中被抵消。同一根弦上挂 1 kg 的摆球和 100 g 的摆球摆动速率相同。但质量会按比例改变动能、势能和绳索张力。

行星如何影响单摆周期？
周期与 \(1/\sqrt{g}\) 成正比。在地球上每 2.01 s 摆动一次的 1 m 单摆，在月球上（\(g \approx 1.62\)）每 4.93 s 摆动一次，而在木星上（\(g \approx 24.79\)）每 1.26 s 摆动一次。结果部分的跨行星表提供了具体数据。

为什么周期会随摆动幅度变大而增加？
小角度公式 \( T = 2\pi\sqrt{L/g} \) 是通过用 \(\theta\) 代替 \(\sin\theta\) 得出的。对于较大的角度，回复“力”比线性近似所建议的要弱，因此摆球在转折点附近停留的时间更长，周期随之增加。精确结果涉及第一类完全椭圆积分。

摆长需要多长才能每秒摆动一次？
如果您的意思是 \(T = 1\) s，则需要 \(L = g (T/2\pi)^2 \approx 0.0248\) m，即约 25 mm —— 非常短！1 m 的“秒摆”周期实际上是 2 s，因为历史上的“秒”指的是每一次“滴”或“答”。

单摆如何测量重力？
将模式切换到求解 g。输入精确测量的长度和周期 —— 计算器将返回 \( g = 4\pi^2 L / T^2 \)。这是经典单摆重力计（以及伽利略最初实验）的基础。

简单单摆和物理摆有什么区别？
简单单摆是挂在无质量绳索上的理想化质点。物理摆（复合摆）是绕支点摆动的任何真实刚体。其周期为 \( T = 2\pi\sqrt{I/(mgd)} \)，其中 \(I\) 是绕支点的转动惯量，\(d\) 是支点到质心的距离。当所有质量集中在一点时，物理摆即退化为简单单摆。