振り子周期電卓

振り子周期電卓は、典型的な単純振り子の公式 \( T = 2\pi\sqrt{L/g} \) を使用して、周期 \(T\)、長さ \(L\)、局所重力 \(g\)、または固有周波数 \(f\) を算出します。このツールには、ワンクリックで設定できる惑星重力プリセット、楕円積分級数を用いた正確な大角度補正、計算された速度で実際にスイングするライブ SVG 振り子、さらにおもりの質量を指定した場合のエネルギー/速度出力機能が含まれています。

振り子周期電卓の使い方

1. 計算したい項目を選択します：T（周期）、L（長さ）、g（重力）、または f（周波数）。フォームは選択された項目に応じて必要な入力欄のみを表示します。
2. 惑星プリセット（地球、月、火星、木星、太陽、ISSなど）を選択するか、カスタムに切り替えて独自の g を入力します。
3. 長さ、周期、または選択したモードで必要な値の組み合わせを入力します。
4. オプション： スイング振幅（度単位）とおもりの質量を入力します。入力すると、正確な（微小角近似ではない）周期、最大高さ、スイング最下点での速度、および最大運動/位置エネルギーが表示されます。
5. 計算するボタンを押し、ライブ SVG スイング、惑星間比較表、ステップごとの計算、および分/時/日あたりのサイクル数を確認します。

この電卓の特徴

振り子周期の公式

一様な重力場において、質量のない棒に吊るされた点質量のおもりが小さな角度でスイングする場合：

\[ T \;=\; 2\pi\sqrt{\dfrac{L}{g}} \qquad\Longleftrightarrow\qquad L \;=\; g\left(\dfrac{T}{2\pi}\right)^{\!2} \qquad\Longleftrightarrow\qquad g \;=\; \dfrac{4\pi^{2}L}{T^{2}} \]

ここで \(T\) は秒単位の周期、\(L\) は支点からおもりの重心までの長さ（メートル）、\(g\) は局所重力加速度（m/s²）です。固有周波数は周期の逆数 \( f = 1/T \)、角周波数は \( \omega = 2\pi/T = \sqrt{g/L} \) です。

なぜ質量は関係ないのか

長さ \(L\)、質量 \(m\) の振り子のおもりが角度 \(\theta\) にあるとき、ニュートンの第 2 法則を記述すると、重力による復元トルクは \(-m g L \sin\theta\) であり、慣性モーメントは \(m L^{2}\) です。運動方程式は以下の通りです：

\[ m L^{2} \ddot{\theta} \;=\; -m g L \sin\theta \quad\Rightarrow\quad \ddot{\theta} \;=\; -\dfrac{g}{L}\sin\theta. \]

質量 \(m\) は相殺されます。したがって、おもりの重さに関わらず、同じ長さの 2 つの振り子はまったく同じ周期でスイングします。ただし、おもりの質量は、スイングの運動エネルギーや位置エネルギー（および棒の張力）に比例して影響を与えます。

微小角近似 vs 正確な周期

よく知られた \( T = 2\pi\sqrt{L/g} \) は級数の初項に過ぎません。正確な周期は以下の通りです：

\[ T_{exact} \;=\; 2\pi\sqrt{\dfrac{L}{g}}\;\left(1 + \tfrac{1}{16}\theta_0^{\,2} + \tfrac{11}{3072}\theta_0^{\,4} + \tfrac{173}{737280}\theta_0^{\,6} + \dots\right) \]

ここで \(\theta_0\) はラジアン単位の半振幅です。微小角近似による過小評価の割合は以下の通りです：

秒振子

\(T = 2\) 秒（片道 1 秒）とし、\(g = 9.80665\) m/s² とすると、有名な「秒振子」の長さが求められます：

\[ L \;=\; \dfrac{g\,T^{2}}{4\pi^{2}} \;=\; \dfrac{9.80665 \cdot 4}{4\pi^{2}} \;\approx\; 0.9936 \text{ m}. \]

これは多くの振り子時計の設計上の長さであり、かつては国際的な「メートル」の定義案としても提案されました。振り子の周期は局所的な \(g\) に依存するため、ロンドンで調整された秒振子は赤道上では刻みが変わります。歴史的に、測地学者はこれを利用して地球の形状をマッピングしました。

計算例：地球上の 1 m 振り子

• 長さ \(L = 1.00\) m、重力 \(g = 9.80665\) m/s²。
• \( T = 2\pi\sqrt{1 / 9.80665} = 2.0064\) 秒（微小角）。
• 周波数 \( f = 1/T \approx 0.4984 \) Hz、角周波数 \( \omega \approx 3.132 \) rad/s。
• 振幅 20° の場合、正確な周期は約 2.022 秒となり、0.77% 長くなります。
• おもりの質量が 0.5 kg、θ₀ = 20° の場合、最大高さは \( h = L(1 - \cos 20°) \approx 0.060\) m、最大 KE = 最大 PE \(\approx 0.295\) J、最高速度 \( v = \sqrt{2gh} \approx 1.087\) m/s となります。

よくある質問

単純振り子の周期の公式は何ですか？
小さな揺れの場合、\( T = 2\pi\sqrt{L/g} \) です。周期は長さと局所重力にのみ依存し、おもりの質量や振幅（振幅が小さい限り）には依存しません。

おもりの質量は周期に影響しますか？
いいえ。運動方程式から質量は相殺されます。同じ紐の長さであれば、1 kg のおもりも 100 g のおもりも同じ速さでスイングします。ただし、質量は運動エネルギー、位置エネルギー、および紐の張力に影響します。

惑星は振り子の周期にどのように影響しますか？
周期は \(1/\sqrt{g}\) に比例します。地球上で 2.01 秒ごとにスイングする 1 m の振り子は、月（\(g \approx 1.62\)）では 4.93 秒ごと、木星（\(g \approx 24.79\)）では 1.26 秒ごとにスイングします。結果セクションの惑星比較表で具体的な数値を確認できます。

なぜ振幅が大きくなると周期が長くなるのですか？
微小角公式 \( T = 2\pi\sqrt{L/g} \) は、\(\sin\theta\) を \(\theta\) に置き換えることで導出されています。角度が大きくなると、復元「力」が線形近似が示唆するよりも弱くなるため、おもりが折り返し地点付近で過ごす時間が長くなり、周期が増大します。正確な結果には第一種完全楕円積分が必要です。

1 秒間に 1 回スイングするには、振り子の長さはどのくらい必要ですか？
「1 秒間に 1 回」が \(T = 1\) 秒を意味する場合、\(L = g (T/2\pi)^2 \approx 0.0248\) m、つまり約 25 mm という非常に短い長さが必要です。1 m の「秒振子」は、歴史的な「秒」がチクとタクの各刻みを指していたため、実際には 2 秒の周期を持ちます。

振り子で重力を測定するにはどうすればよいですか？
モードを重力 g を求めるに切り替えます。正確に測定した長さと周期を入力すると、電卓が \( g = 4\pi^2 L / T^2 \) を算出します。これは古典的な振り子重力計（およびガリレオの元の実験）の原理です。

単純振り子と物理振り子の違いは何ですか？
単純振り子は、質量のない紐に吊るされた理想的な点質量です。物理振り子（複振子）は、支点の周りをスイングする実在の剛体です。その周期は \( T = 2\pi\sqrt{I/(mgd)} \) です（\(I\) は支点周りの慣性モーメント、\(d\) は支点から重心までの距離）。単純振り子の公式は、すべての質量が一点に集中している場合の極限状態を指します。