เครื่องสร้างสไปโรกราฟ

สร้างลวดลาย spirograph แบบคลาสสิก จำลองเส้นโค้ง hypotrochoid และ epitrochoid ที่ปากกาลากขณะวงกลมเล็กหมุนอยู่ในหรือรอบวงกลมใหญ่ ซ้อนปากกาได้ถึง 3 ด้าม ปรับรัศมี และส่งออกเป็น SVG หรือ PNG

ใช้งานฟรีไม่ต้องสมัครสมาชิกผลลัพธ์ทันที

เครื่องสร้างสไปโรกราฟลองใช้เลย — ฟรี ▼

ลองใช้ค่าสำเร็จรูป:

โหมดการกลิ้ง

วงกลมคงที่ R (30–200)

วงกลมที่กลิ้ง r (5–90)

ระยะออฟเซ็ตของปากกา d (1–100)

ชั้นปากกา

จานสี

พื้นหลัง

ความหนาของเส้น (0.4–4.0 px)

ตัวอย่างจะอัปเดตทันทีเมื่อคุณปรับเปลี่ยนแต่ละค่า คลิก สร้าง เพื่อวาดภาพความละเอียดสูงพร้อมแอนิเมชันการวาดซ้ำ

Embed เครื่องสร้างสไปโรกราฟ Widget

● แพทเทิร์นพร้อมแล้ว

ไฮโปโทรคอยด์แบบสั้นกลีบดอกไม้ 8 กลีบ ไฮโปโทรคอยด์ — วงกลมเล็กหมุนอยู่ภายใน (คลาสสิก) · สมมาตร 8 แฉก · สุ่มตัวอย่าง 1261 จุด · ปิดวงหลังจาก 3 รอบ

ไฮโปโทรคอยด์แบบสั้นกลีบดอกไม้ 8 กลีบ — ไฮโปโทรคอยด์ — วงกลมเล็กหมุนอยู่ภายใน (คลาสสิก)

วาดจาก R = 96, r = 36, d = 30, โดยมี ห.ร.ม.(R, r) = 12 เส้นโค้งนี้มีความสมมาตรในการหมุน 8 แฉก และปิดวงอย่างแม่นยำหลังจากวงกลมที่กลิ้งหมุนครบรอบ 3 รอบ

อัตราส่วน R/r: 96:36 ปากกา 1 ด้าม เรนโบว์ (สเปกตรัมเต็ม)

โหมดด้านใน

R / r / d96 / 36 / 30

ห.ร.ม. (GCD)12

แฉก8

ปากกา1

รูปแบบสมการอิงพารามิเตอร์ของไฮโพโทรคอยด์ — ปากกาอยู่บนวงกลมเล็กที่กลิ้งอยู่ ด้านใน:
$ x(t) = (R - r)\cos t + d\cos\!\left(\dfrac{R - r}{r}\, t\right) $
$ y(t) = (R - r)\sin t - d\sin\!\left(\dfrac{R - r}{r}\, t\right) $
จากค่า R = 96, r = 36, d = 30 เส้นโค้งนี้จะปิดวงหลังจากที่ $ t \in [0, 2\pi \cdot 3] $

เกี่ยวกับ เครื่องสร้างสไปโรกราฟ

เครื่องสร้างสไปโรกราฟ นี้จำลองเส้นโค้งที่เกิดจากของเล่นสไปโรกราฟสุดคลาสสิก — ลวดลายกุหลาบที่สวยงามและสมมาตรอย่างสมบูรณ์แบบ ซึ่งจะเกิดขึ้นเมื่อวงกลมขนาดเล็กกลิ้งอยู่ภายใน (หรือภายนอก) วงกลมคงที่ขนาดใหญ่ขึ้น ในขณะที่ปากกาบนวงกลมเล็กจะทิ้งลายเส้นเอาไว้ เครื่องมือนี้ใช้สมการอิงพารามิเตอร์จริงที่อยู่เบื้องหลังเส้นโค้งไฮโพโทรคอยด์และเอพิโทรคอยด์ คำนวณระยะเวลาการวนลูปที่แน่นอนจากตัวหารร่วมมาก (ห.ร.ม.) ของรัศมีทั้งสอง และให้คุณวางซ้อนปากกาได้สูงสุดสามชั้นเพื่อให้ได้เอฟเฟกต์แบบแมนดาลา เพียงปรับตัวเลื่อนสามตัว ดูการอัปเดตตัวอย่างสดแบบเรียลไทม์ จากนั้นส่งออกเส้นโค้งความละเอียดสูงเป็นไฟล์ SVG หรือ PNG

คณิตศาสตร์ของสไปโรกราฟทำงานอย่างไร

วงกลมเส้นประสีเทาคือ วงกลมคงที่ที่มีรัศมี R แผ่นดิสก์สีม่วงจะกลิ้งอยู่รอบๆ ด้านในโดยไม่มีการลื่นไถล ปากกา (สีส้ม) ติดอยู่บนแผ่นดิสก์ที่กำลังกลิ้งที่ระยะห่าง d จากจุดศูนย์กลาง เมื่อวงกลมที่กลิ้งเคลื่อนที่ไปรอบๆ ปากกาก็จะทิ้งเส้นโค้งไว้ แอนิเมชันที่นี่แสดงการวาดหนึ่งรอบแบบวนซ้ำ — สไปโรกราฟจริงของคุณด้านล่างก็ใช้หลักฟิสิกส์แบบเดียวกัน

ข้อคิดสำคัญ: เส้นโค้งจะ ปิดวงเข้าหากันพอดี ก็ต่อเมื่อมุมพารามิเตอร์กลับมาเป็นจำนวนเท่าของ $ 2\pi $ และวงกลมที่กลิ้งได้หมุนเป็นจำนวนรอบเต็มที่เป็นเลขจำนวนเต็มด้วย ทั้งสองอย่างนี้จะเกิดขึ้นพร้อมกันหลังจากผ่านไปเป็นจำนวนรอบวงโคจรของมุมใหญ่ที่พอดีเท่ากับ r / gcd(R, r) นั่นคือเหตุผลที่เครื่องมือนี้ต้องคำนวณค่า gcd(R, r) ก่อน — ซึ่งจะช่วยรับประกันได้ว่าไฟล์ที่ส่งออกจะปิดวงทางคณิตศาสตร์อย่างสมบูรณ์แบบโดยไม่มีรอยต่อให้เห็น

สมการอิงพารามิเตอร์

ไฮโพโทรคอยด์ (กลิ้งด้านใน)

$$x(t) = (R - r)\cos t + d\cos\!\left(\frac{R - r}{r}\, t\right)$$

$$y(t) = (R - r)\sin t - d\sin\!\left(\frac{R - r}{r}\, t\right)$$

ถ้า $ d = r $ เส้นโค้งจะเป็นรูป hypocycloid ที่มีจุดยอดแหลม (รูปเดลตอยด์สำหรับ 3 จุดแหลม, รูปแอสเทอรอยด์สำหรับ 4 จุดแหลม) ถ้า $ d < r $ เส้นโค้งจะมีกลีบมน (curtate) ถ้า $ d > r $ กลีบจะกลายเป็นห่วงยาว (prolate)

เอพิโทรคอยด์ (กลิ้งด้านนอก)

$$x(t) = (R + r)\cos t - d\cos\!\left(\frac{R + r}{r}\, t\right)$$

$$y(t) = (R + r)\sin t - d\sin\!\left(\frac{R + r}{r}\, t\right)$$

ถ้า $ d = r $ เส้นโค้งจะเป็นรูป epicycloid ที่มีจุดยอดแหลมชี้ออกด้านนอก (รูปคาร์ดิออยด์สำหรับ 1 จุดแหลม, รูปเนฟรอยด์สำหรับ 2 จุดแหลม) ถ้า $ d < r $ ห่วงจะเป็นแบบสั้นลง (curtate) ถ้า $ d > r $ ห่วงจะเป็นแบบยาวขึ้น (prolate)

สิ่งที่ทำให้เครื่องสร้างสไปโรกราฟนี้แตกต่าง

การปิดวงอย่างแม่นยำโดยไม่มีรอยต่อ สไปโรกราฟออนไลน์ส่วนใหญ่ใช้วิธีสุ่มตัวอย่างจำนวนรอบที่คงที่แล้วหวังให้ปลายสองด้านมาบรรจบกัน แต่เครื่องมือนี้จะคำนวณค่า r/gcd(R, r) ก่อน เพื่อให้ช่วงพารามิเตอร์มีความแม่นยำทางคณิตศาสตร์ — จุดสุดท้ายจะลงจอดที่จุดแรกเสมอไม่ว่าอัตราส่วนจะแปลกแค่ไหนก็ตาม

แสดงตัวอย่างแบบสดขณะที่คุณปรับแต่ง ผืนผ้าใบขนาดเล็กข้างแบบฟอร์มจะวาดใหม่ทุกครั้งที่มีการกดแป้นพิมพ์และทุกครั้งที่เปลี่ยนตัวเลื่อน คุณจะเห็นผลกระทบของการเปลี่ยนค่า R จาก 96 เป็น 97 ได้ในทันทีก่อนที่จะกดเรนเดอร์แบบเต็มรูปแบบ ไม่ต้องคลิกแล้วรอ คลิกแล้วรออีกต่อไป

โหมดแมนดาลาแบบปากกาสามด้าม เลือกชั้นปากกาสองหรือสามชั้น และอัตราส่วน R/r เดียวกันจะแสดงผลด้วยระยะออฟเซ็ตปากกาที่เล็กลงในสีที่ซ้อนกัน เส้นโค้งจะเรียงซ้อนกันเหมือนกลีบดอกไม้ซ้อนในกลีบดอกไม้ — เกิดเป็นแมนดาลาจากชุดข้อมูลนำเข้าเพียงชุดเดียว ไม่ใช่การเอาภาพมาปะติดปะต่อกันเอง

การเผยรูปภาพแบบวาดด้วยตัวเอง ไฟล์ SVG ใช้แอนิเมชัน stroke-dashoffset เพื่อให้เส้นโค้งลากเส้นด้วยตัวเองต่อหน้าคุณ ราวกับปากกาจริงบนกระดาษจริง คลิก วาดซ้ำ เพื่อดูอีกครั้ง — เหมาะสำหรับใช้ในห้องเรียนและการนำเสนอผลงาน

การส่งออกไฟล์เวกเตอร์ที่แท้จริง การส่งออกเป็นไฟล์ SVG จะยึดตามหลักคณิตศาสตร์ดั้งเดิม — ไม่ใช่ภาพถ่ายแรสเตอร์ที่ถูกจำกัดความละเอียด คุณสามารถขยายขนาดมันให้ใหญ่เท่าป้ายโฆษณา ส่งไปยังเครื่องตัดเลเซอร์หรือเครื่องปักผ้าคอมพิวเตอร์ หรือลากเข้าไปใน Illustrator หรือ Inkscape เพื่อแก้ไขเพิ่มเติมได้ ส่วนการส่งออกไฟล์ PNG จะให้ DPI สูงกว่าปกติ 2x–4x เพื่อความคมชัดบนสไลด์และโพสต์ต่างๆ

ตัวนับแฉกในตัว ทุกผลลัพธ์จะแสดงค่า ห.ร.ม. (gcd), ความสมมาตรในการหมุน (R/gcd) และจำนวนรอบเต็มที่จำเป็นในการปิดวง คุณจะได้เรียนรู้ความสัมพันธ์ระหว่างตัวเลขจำนวนเต็มกับรูปร่างที่มองเห็นได้เพียงแค่เปลี่ยนตัวเลขทีละตัว

คำแนะนำสั้นๆ ในการนับกลีบดอกไม้

สำหรับไฮโพโทรคอยด์ จำนวนแฉก (หรือจุดยอดแหลม เมื่อ $ d = r $) จะเท่ากับ $ R / \gcd(R, r) $ ตัวอย่างคลาสสิกบางส่วน:

R = 4, r = 1, d = 1 → รูปแอสเทอรอยด์ (asteroid) (4 จุดแหลม) รูปทรง "เพชรที่มีสี่ด้านเว้าเข้าด้านใน" สุดคลาสสิก
R = 3, r = 1, d = 1 → รูปเดลตอยด์ (deltoid) (3 จุดแหลม) หรือที่เรียกว่าเส้นโค้งสไตเนอร์ (Steiner curve)
R = 96, r = 36, d = 30 → ลวดลายกุหลาบ 8 กลีบ เนื่องจาก $ \gcd(96, 36) = 12 $ และ $ 96 / 12 = 8 $
R = 105, r = 30, d = 72 → ดาว 7 แฉก กลีบดอกจะยาวและเป็นห่วงซ้อนกัน (เนื่องจาก $ d > r $)
R = 120, r = 45, d = 48 → ลายลูกไม้ 8 แฉก กลีบดอกแบบสั้นมนถักทอสลับกันไปมา

สำหรับเอพิโทรคอยด์ สูตรเดียวกันนี้จะใช้กับเรขาคณิต "ด้านนอก" — จะได้จุดยอดแหลมชี้ออกด้านนอกจำนวน $ R / \gcd(R, r) $ จุด เมื่อ $ d = r $

ประวัติความเป็นมาโดยย่อ

คณิตศาสตร์เรื่องนี้ย้อนกลับไปถึง Albrecht Dürer ในปี 1525 ผู้ศึกษาเรื่อง epicycloid ขณะวาดลวดลายประดับทางเรขาคณิต ต่อมา Roemer (1674) และ Bernoulli (ช่วงต้นทศวรรษ 1700) ได้กำหนดรูปแบบสมการอิงพารามิเตอร์อย่างเป็นทางการ ของเล่นที่คนส่วนใหญ่รู้จักกันดีในชื่อ "Spirograph" ซึ่งเป็นเฟืองพลาสติกสีสันสดใส ได้รับการคิดค้นโดยวิศวกรชาวอังกฤษชื่อ Denys Fisher ในปี 1965 และวางจำหน่ายโดยบริษัท Kenner ในปีถัดมา มันกลายเป็นของเล่นที่ฮิตไปทั่วโลกและได้รับรางวัล Toy of the Year (สหราชอาณาจักร) ในปี 1967 แรกเริ่มเดิมที Fisher พัฒนาระบบเฟืองนี้ขึ้นมาเพื่อออกแบบกลไกสปริงที่ซับซ้อน ส่วนของเล่นชิ้นนี้เป็นเพียงความบังเอิญที่น่ายินดี

ในปัจจุบัน เส้นโค้งไฮโพโทรคอยด์และเอพิโทรคอยด์ปรากฏให้เห็นไกลกว่างานฝีมือ: ใน เครื่องยนต์โรตารีแบบแวนเกล (Wankel rotary engine) (โรเตอร์จะลากเส้นโค้งเอพิโทรคอยด์), ใน การแกะสลักลวดลายกิโยเช่ (guilloché) บนธนบัตรและนาฬิกาหรู, ใน ศิลปะบนออสซิลโลสโคปสไตล์ลิสซาจู (Lissajous) และใน เครื่องมือสร้างศิลปะเชิงกำเนิด (generative art) สำหรับโปสเตอร์, งานปักผ้า และการตัดด้วยเลเซอร์

การนำผลลัพธ์ไปใช้งานในโลกแห่งความเป็นจริง

งานพิมพ์และโปสเตอร์: ไฟล์เวกเตอร์ SVG ที่ลวดลายกุหลาบ 8 กลีบ + จานสีทอง + กระดาษสีงาช้าง สามารถนำไปทำเป็นลายประดับการ์ดแต่งงานที่ดูหรูหราสะอาดตาได้
การตัดและการแกะสลักด้วยเลเซอร์: เส้นโค้งที่ปิดสนิทนี้เป็นลายเส้นที่ต่อเนื่องกันเส้นเดียว ซึ่งเหมาะอย่างยิ่งสำหรับเส้นทางการเดินของเครื่องจักร ส่งออกเป็นไฟล์ SVG แล้วนำเข้าสู่ LightBurn หรือ RDWorks ได้เลย
การทำบล็อกปักผ้าคอมพิวเตอร์: โหมดแมนดาลาแบบใช้ปากกาหลายชั้นที่มีความหนาแน่นสูงจะช่วยให้เครื่องปักผ้าทำงานได้อย่างราบรื่นโดยไม่มีการกระโดดของเส้นด้าย
ห้องเรียนคณิตศาสตร์และศิลปะ: เปลี่ยนค่า r ไปทีละหนึ่งตัวเลขแล้วดูจำนวนกลีบที่เปลี่ยนไป — เป็นข้อพิสูจน์ที่เห็นภาพชัดเจนว่าทำไม ห.ร.ม. ถึงมีความสำคัญในฟังก์ชันเป็นคาบ
ศิลปะเชิงกำเนิด (Generative Art): ไฟล์ SVG ที่ส่งออกสามารถนำไปแก้ไขต่อได้ เปิดใน Illustrator เทสีไล่ระดับสี (gradient) ลงในเส้นโค้งที่ปิดสนิท แล้วใช้โหมด multiply-blend ซ้อนทับบนภาพพื้นหลัง
ตราสัญลักษณ์และโลโก้: จานสีขาวดำ + ปากกาชั้นเดียว + ค่า d ขนาดเล็ก จะให้ลวดลายกุหลาบที่บางเบาและสง่างาม ย่อขยายขนาดได้สมบูรณ์แบบบนนามบัตร

เคล็ดลับสำหรับการออกแบบลวดลายให้สวยงาม

อัตราส่วนจำนวนเฉพาะ = จำนวนแฉกที่สูงมาก ลองตั้งค่า R = 113, r = 30 (ห.ร.ม. คือ 1 จะได้แฉก 113 แฉก — เป็นลายลูกไม้ที่แน่นหนา) จากนั้นลอง R = 120, r = 30 (ห.ร.ม. คือ 30 จะได้เพียง 4 แฉก — เป็นรูปดาวที่สะอาดตา)
ดันค่า d ให้เกินค่า r เพื่อสร้างห่วงซ้อน เมื่อ $ d > r $ กลีบดอกไม้จะซ้อนทับตัวเอง — ลองตั้งค่า R = 90, r = 36, d = 80 เพื่อสร้างดอกไม้ที่มีกลีบตัดกันเองด้านใน
ลดค่า d ให้ต่ำกว่า r สำหรับกลีบที่นุ่มนวล ค่า d ที่น้อยเมื่อเทียบกับ r จะให้ลุคแบบ "ดอกเดซี่ขอบมน" ที่นุ่มนวล เหมาะสำหรับการ์ดและป้ายของขวัญ
ซ้อนชั้นปากกาเพื่อเพิ่มมิติ ใช้ค่า R, r, d เดียวกันแต่ตั้งค่าชั้นปากกา = 3 จะสร้างการออกแบบศูนย์ร่วมที่ให้ความรู้สึกแบบ 3D ได้ในทันทีโดยไม่ต้องเปลี่ยนค่าอื่นๆ เลย
พิมพ์เขียว + จานสีมหาสมุทร = ภาพร่างทางวิศวกรรม ใช้สำหรับภาพประกอบแนวเทคโนโลยีและลายประดับสไลด์
กระดาษกราฟ + หมึกขาวดำ = แผนภาพในหนังสือเรียน เหมาะสำหรับใบงานคณิตศาสตร์ที่พิมพ์ออกมาใช้งาน

คำถามที่พบบ่อย (FAQ)

สไปโรกราฟคืออะไรในทางคณิตศาสตร์?

สไปโรกราฟจะลากเส้นโค้งไฮโพโทรคอยด์ (วงกลมเล็กกลิ้งอยู่ภายในวงกลมคงที่ที่ใหญ่กว่า) หรือเอพิโทรคอยด์ (วงกลมเล็กกลิ้งอยู่ด้านนอก) เส้นโค้งเหล่านี้อธิบายได้ด้วยสมการอิงพารามิเตอร์ที่มีรัศมีสามค่า: R สำหรับวงกลมคงที่, r สำหรับวงกลมที่กลิ้ง และ d สำหรับระยะออฟเซ็ตของปากกาจากจุดศูนย์กลางของวงกลมที่กลิ้ง

R, r และ d หมายถึงอะไรกันแน่?

R คือรัศมีของวงกลมคงที่ขนาดใหญ่, r คือรัศมีของวงกลมเล็กที่กลิ้ง และ d คือระยะห่างของปากกาจากจุดศูนย์กลางของวงกลมที่กลิ้ง ถ้า d เท่ากับ r ปากกาจะอยู่ที่ขอบพอดีและเส้นโค้งจะเกิดจุดยอดแหลมคม ค่า d ที่เล็กกว่าจะให้กลีบมนที่นุ่มนวล (curtate) ค่า d ที่ใหญ่กว่าจะให้กลีบที่เป็นห่วงยาวและซ้อนทับกัน (prolate)

ทำไมลวดลายถึงปิดวงเป็นลูปเสมอ?

เครื่องมือนี้จะคำนวณตัวหารร่วมมาก (ห.ร.ม.) ของ R และ r เส้นโค้งจะปิดวงอย่างแม่นยำหลังจากวงกลมที่กลิ้งหมุนไป r / gcd(R, r) รอบ และผลลัพธ์ที่ได้จะมีความสมมาตรในการหมุน R / gcd(R, r) แฉก การใช้ ห.ร.ม. ช่วยรับประกันว่าปากกาจะกลับมายังจุดเริ่มต้นโดยไม่มีรอยต่อให้เห็น ไม่ว่าอัตราส่วน R/r จะเป็นเศษส่วนแบบไหนก็ตาม (เราจะปฏิบัติกับมันในฐานะเลขจำนวนเต็ม)

ไฮโพโทรคอยด์กับเอพิโทรคอยด์แตกต่างกันอย่างไร?

ไฮโพโทรคอยด์จะใช้วงกลมเล็กกลิ้งอยู่ด้านในของวงกลมที่ใหญ่กว่า — นี่คือของเล่นสไปโรกราฟแบบคลาสสิก ส่วนเอพิโทรคอยด์จะใช้วงกลมเล็กกลิ้งอยู่ด้านนอก ไฮโพโทรคอยด์จะให้ความรู้สึกเหมือนลวดลายกุหลาบที่ชี้เข้าด้านใน (กลีบชี้เข้าหาศูนย์กลาง) เอพิโทรคอยด์จะให้ความรู้สึกเหมือนรูปทรงดอกไม้หรือฟันเฟืองที่ชี้ออกด้านนอก (กลีบชี้ออกจากศูนย์กลาง) ทั้งนี้ เครื่องยนต์โรตารีแบบแวนเกลใช้เส้นโค้งเอพิโทรคอยด์เป็นตัวเสื้อสูบโรเตอร์

โหมดแมนดาลาแบบหลายปากกาคืออะไร?

การเลือกชั้นปากกาสองหรือสามชั้นจะวาดเส้นโค้งเดิมซ้ำอีกครั้งด้วยค่า d ที่เล็กลงเรื่อยๆ ในสีของจานสีที่แตกต่างกัน เนื่องจากปากกาแต่ละด้ามมีระยะออฟเซ็ตของตัวเอง ชั้นต่างๆ จึงซ้อนกันเหมือนกลีบดอกไม้ซ้อนกลีบดอกไม้ ทำให้เกิดเอฟเฟกต์แบบแมนดาลาหรือรังโกลีจากชุดข้อมูลนำเข้าเพียงชุดเดียว โดยไม่ต้องใช้วิธีนำภาพมาซ้อนเลเยอร์เองในโปรแกรมอื่น — มันคือผลลัพธ์ทางคณิตศาสตร์รายการเดียวที่แสดงผลออกมาเป็นเส้นสายหลายเส้น

ฉันสามารถส่งออกลายสไปโรกราฟได้หรือไม่?

ได้ การดาวน์โหลด SVG จะให้ไฟล์เวกเตอร์ที่ยังคงคมชัดในทุกขนาด — เหมาะสำหรับงานพิมพ์, การทำบล็อกปักผ้า, การตัดสติกเกอร์ไลน์ หรือนำไปแก้ไขต่อใน Illustrator หรือ Inkscape การดาวน์โหลด PNG จะแสดงผลลัพธ์ของลวดลายเป็นภาพแรสเตอร์ความละเอียดสูง ซึ่งเหมาะสำหรับสไลด์และโพสต์โซเชียล การคัดลอกโค้ดจะนำมาร์กอัป SVG ดิบไปไว้ในคลิปบอร์ดของคุณเพื่อนำไปฝังในหน้าเว็บหรือส่งในแชท

เครื่องมือนี้ใช้งานได้ฟรีหรือไม่?

ใช่ เครื่องสร้างสไปโรกราฟใช้งานได้ฟรี ทำงานทั้งหมดในเบราว์เซอร์ของคุณ ไม่ต้องลงทะเบียน และไม่มีการใส่ลายน้ำในไฟล์ที่ส่งออก ลวดลายที่คุณสร้างขึ้นเป็นสิทธิ์ของคุณในการใช้งานทั้งในโครงการส่วนตัวและเชิงพาณิชย์ — จะพิมพ์ ขาย รีมิกซ์ หรือเย็บลงบนผ้าห่มนวมก็ทำได้เลย

ทำไมเส้นโค้งบางเส้นถึงแหลมคมและเส้นอื่นๆ ถึงเรียบมน?

จำนวนจุดแหลมมาจาก R / gcd(R, r) — ตัวเลขจำนวนเต็มนี่คือจำนวนแฉก ส่วนรูปทรงของจุดแหลมมาจาก d: เมื่อ d เท่ากับ r คุณจะได้จุดยอดแหลมคม (hypocycloid หรือ epicycloid) เมื่อ d เล็กกว่าคุณจะได้กลีบมน (curtate) และเมื่อ d ใหญ่กว่า r กลีบจะก่อตัวเป็นห่วงยาวซ้อนตัดกันเอง (prolate) ลองเปลี่ยนตัวเลขทีละตัวเพื่อจับความสัมพันธ์นี้ดู

สิ่งนี้แตกต่างจากเส้นโค้งลิสซาจู (Lissajous curve) อย่างไร?

เส้นโค้งลิสซาจูเกิดจากการเคลื่อนที่แบบไซนูซอยด์ที่เป็นอิสระต่อกันบนแกน x และ y — x(t) = A sin(at + δ), y(t) = B sin(bt) ส่วนสไปโรกราฟเกิดจากวงกลมขนาดเล็กกลิ้งรอบวงกลมวงใหญ่โดยไม่มีการลื่นไถล แพทเทิร์นของลิสซาจูจะวางอยู่บนกรอบสี่เหลี่ยมผืนผ้า ส่วนสไปโรกราฟจะวางอยู่บนกรอบวงกลม ทั้งสองรูปแบบมีความคล้ายคลึงกันในฐานะที่เป็นเส้นโค้ง 2 มิติที่เป็นคาบเหมือนกัน แต่กลไกการเกิดนั้นแตกต่างกัน

ทำไมการแสดงตัวอย่างแบบสดถึงดูแตกต่างจากผลลัพธ์สุดท้ายเล็กน้อย?

การแสดงตัวอย่างแบบสดจะใช้จำนวนการสุ่มตัวอย่างที่ต่ำกว่าเพื่อให้ตอบสนองได้ทันใจในทุกครั้งที่กดปุ่ม ส่วนผลลัพธ์สุดท้ายจะสุ่มตัวอย่างตั้งแต่ 900 ถึง 7,200 จุด (ขยายตามความซับซ้อนของเส้นโค้ง) เพื่อให้การแสดงผลมีความคมชัดสูงสุด ทั้งสองส่วนสอดคล้องกันทางคณิตศาสตร์อย่างสมบูรณ์แบบ ความแตกต่างมีเพียงเรื่องความละเอียดเท่านั้น

อ้างอิงเนื้อหา หน้าหรือเครื่องมือนี้ว่า:

"เครื่องสร้างสไปโรกราฟ" ที่ https://MiniWebtool.com/th/เครื่องสร้างสไปโรกราฟ/ จาก MiniWebtool, https://MiniWebtool.com/

โดยทีมงาน miniwebtool อัปเดตล่าสุดเมื่อ: 2026-05-19