O que é o modo mandala multilínguas de canetas?

Selecionar duas ou três camadas de caneta traça novamente a curva com deslocamentos menores de caneta em cores diferentes. Como cada caneta tem seu próprio valor d, as camadas se encaixam como pétalas dentro de pétalas, produzindo um efeito de mandala ou rangoli a partir de um único conjunto de entradas.

Esta ferramenta é gratuita para usar?

Sim. O Gerador de Espirógrafo é gratuito, roda inteiramente no seu navegador, não exige cadastro e nunca adiciona marca d'água na exportação. Os padrões que você gera são seus para usar em projetos pessoais e comerciais.

Gerador de Espirógrafo

Gere padrões clássicos de rosetas de espirógrafo online. Simule as curvas hipotrocóides e epitrocóides que uma caneta traça quando um círculo pequeno rola dentro ou fora de um círculo fixo maior. Sobreponha até três canetas para criar uma mandala, ajuste os três raios, assista à curva se desenhar sozinha e depois exporte como SVG ou PNG nítidos.

Experimente uma predefinição:

Modo de rolagem

Círculo fixo R (30–200)

Círculo rolante r (5–90)

Deslocamento da caneta d (1–100)

Camadas de caneta

Paleta

Plano de fundo

Espessura da linha (0.4–4.0 px)

A visualização é atualizada conforme você altera cada valor. Clique em Gerar para um desenho em alta resolução com animação de repetição.

Embed Gerador de Espirógrafo Widget

● Padrão pronto

Hipotrocóide encurtada de 8 pétalas Hipotrocóide — círculo pequeno rola dentro (clássico) · Simetria de 8 vezes · 1261 pontos amostrados · fecha após 3 voltas

Hipotrocóide encurtada de 8 pétalas — Hipotrocóide — círculo pequeno rola dentro (clássico)

Desenhado a partir de R = 96, r = 36, d = 30, com mdc(R, r) = 12. A curva possui simetria rotacional de 8 vezes e se fecha exatamente após o círculo rolante completar 3 voltas.

Razão R/r: 96:36 1 caneta Arco-íris (espectro completo)

ModoInterno

R / r / d96 / 36 / 30

MDC12

Lobos8

Canetas1

Forma paramétrica da Hipotrocoide — a caneta está no círculo pequeno rolando dentro:
$ x(t) = (R - r)\cos t + d\cos\!\left(\dfrac{R - r}{r}\, t\right) $
$ y(t) = (R - r)\sin t - d\sin\!\left(\dfrac{R - r}{r}\, t\right) $
Com R = 96, r = 36, d = 30, a curva se fecha após $ t \in [0, 2\pi \cdot 3] $.

Gerador de Espirógrafo

O Gerador de Espirógrafo simula as curvas que o clássico brinquedo Espirógrafo traça — rosetas lindas e perfeitamente simétricas formadas quando um círculo pequeno rola dentro (ou fora) de um círculo fixo maior enquanto uma caneta acoplada ao círculo pequeno deixa um rastro. A ferramenta utiliza as equações paramétricas reais por trás das hipotrocoides e epitrocoides, calcula o período exato do ciclo a partir do máximo divisor comum dos dois raios e permite que você sobreponha até três canetas para criar um efeito de mandala. Ajuste os três seletores, observe a atualização da visualização ao vivo em tempo real e depois exporte a curva de alta resolução em SVG ou PNG.

Como Funciona a Matemática do Espirógrafo

O círculo cinza tracejado é o círculo fixo de raio R. O disco violeta rola pela parte interna dele sem deslizar. Uma caneta (laranja) está posicionada no disco rolante a uma distância d de seu centro. À medida que o círculo rolante orbita, a caneta deixa uma curva. A animação aqui mostra um ciclo completo de desenho em loop — seu espirógrafo real abaixo utiliza a mesma física.

O conceito fundamental: a curva se fecha sobre si mesma somente quando o ângulo do parâmetro retorna a um múltiplo de $ 2\pi $ e o círculo rolante também completou um número inteiro de rotações completas. Ambos acontecem simultaneamente após exatamente r / mdc(R, r) órbitas do ângulo maior. É por isso que esta ferramenta calcula o mdc(R, r) primeiro — isso garante que o arquivo exportado esteja matematicamente fechado e sem emendas visíveis.

As Equações Paramétricas

Hipotrocoide (rola por dentro)

$$x(t) = (R - r)\cos t + d\cos\!\left(\frac{R - r}{r}\, t\right)$$

$$y(t) = (R - r)\sin t - d\sin\!\left(\frac{R - r}{r}\, t\right)$$

Se $ d = r $, a curva é uma hipocicloide com bicos pontiagudos (deltoide para 3 bicos, asteroide para 4). Se $ d < r $, a curva tem pétalas arredondadas (curtate). Se $ d > r $, as pétalas formam laços longos (prolate).

Epitrocoide (rola por fora)

$$x(t) = (R + r)\cos t - d\cos\!\left(\frac{R + r}{r}\, t\right)$$

$$y(t) = (R + r)\sin t - d\sin\!\left(\frac{R + r}{r}\, t\right)$$

Se $ d = r $, a curva é uma epicicloide com bicos apontando para fora (cardioide para um bico, nefroide para dois). Se $ d < r $, os laços são curtate; se $ d > r $, são prolate.

O Que Torna Este Gerador de Espirógrafo Diferente

Fechamento exato sem emendas A maioria dos espirógrafos online amostra um número fixo de voltas e torce para que as pontas se encontrem. Esta ferramenta calcula r/mdc(R, r) primeiro para que o intervalo do parâmetro seja matematicamente exato — o último ponto coincide com o primeiro todas as vezes, independentemente de quão incomum seja a proporção.

Visualização ao vivo enquanto você ajusta A mini tela ao lado do formulário redesenha a curva a cada tecla pressionada e a cada alteração nos seletores. Você vê o impacto de mudar R de 96 para 97 imediatamente, antes de realizar a renderização final. Chega de clicar e ficar esperando.

Modo mandala de três canetas Escolha duas ou três camadas de caneta e a mesma proporção R/r será renderizada com deslocamentos menores de caneta em cores empilhadas. As curvas se encaixam como pétalas dentro de pétalas — uma mandala gerada a partir de um único conjunto de entradas, não uma composição colada manualmente.

Revelação com desenho automático O SVG utiliza uma animação de stroke-dashoffset para que a curva se trace diante de você, como uma caneta de verdade em um papel real. Clique em Repetir desenho para assistir de novo — perfeito para salas de aula e apresentações.

Exportação em vetor real A exportação em SVG traz a matemática original — não uma captura de imagem rasterizada. Redimensione para o tamanho de um outdoor, envie para uma cortadora a laser ou máquina de bordar, ou jogue no Illustrator ou Inkscape para edições avançadas. A exportação em PNG conta com 2x–4x DPI para slides e postagens super nítidas.

Contador de lobos integrado Cada resultado exibe o mdc, a simetria rotacional (R/mdc) e o número de voltas completas necessárias para fechar a forma. Você aprende a relação entre os números inteiros e a forma geométrica visível apenas alterando um número de cada vez.

Contando as Pétalas: Um Guia Rápido

Para uma hipotrocoide, o número de lobos (or bicos pontiagudos, quando $ d = r $) é igual a $ R / \text{mdc}(R, r) $. Alguns exemplos clássicos:

R = 4, r = 1, d = 1 → asteroide (4 bicos). O clássico "diamante com lados curvados para dentro".
R = 3, r = 1, d = 1 → deltoide (3 bicos). Também chamada de curva de Steiner.
R = 96, r = 36, d = 30 → roseta de 8 pétalas. Porque $ \text{mdc}(96, 36) = 12 $ e $ 96 / 12 = 8 $.
R = 105, r = 30, d = 72 → estrela de 7 pétalas. Pétalas longas e em laço (porque $ d > r $).

Para uma epitrocoide, a mesma fórmula se aplica com a geometria "externa" — $ R / \text{mdc}(R, r) $ bicos apontando para fora quando $ d = r $.

Uma Breve História

A matemática remonta a Albrecht Dürer em 1525, que estudou as epicicloides ao desenhar ornamentos geométricos. Roemer (1674) e Bernoulli (início dos anos 1700) formalizaram as equações paramétricas. O brinquedo que a maioria das pessoas conhece — as engrenagens de plástico coloridas sob a marca "Spirograph" — foi inventado pelo engenheiro britânico Denys Fisher em 1965 e lançado pela Kenner no ano seguinte. Tornou-se um sucesso mundial e ganhou o prêmio de Brinquedo do Ano (Reino Unido) em 1967. Fisher desenvolveu o sistema de engrenagens inicialmente para projetar mecanismos complexos com molas; o brinquedo foi um feliz acidente.

Hoje, as hipotrocoides e epitrocoides aparecem muito além do artesanato: em motores rotativos Wankel (o rotor traça uma epitrocoide), em gravações guilhochê de cédulas de dinheiro e relógios de luxo, em arte de osciloscópio no estilo Lissajous e em ferramentas de arte generativa para pôsteres, bordados e corte a laser.

Aplicações Reais para o Arquivo Gerado

Impressões e pôsteres: um vetor SVG com uma roseta de 8 pétalas + paleta ouro + papel marfim cria um detalhe elegante para convites de casamento.
Corte e gravação a laser: a curva fechada é um traço contínuo, ideal para caminhos de corte de máquinas. Exporte o SVG e importe no LightBurn ou RDWorks.
Digitalização de bordados: o modo mandala denso com camadas de caneta produz bordados computadores que rodam perfeitamente sem saltos de linha.
Aulas de matemática e arte: mude o r em uma unidade e veja o número de pétalas mudar — uma prova visual de como o mdc importa em funções periódicas.
Arte generativa: o arquivo SVG exportado é totalmente editável. Abra no Illustrator, preencha a curva fechada com um gradiente e aplique um efeito de mesclagem sobre um fundo fotográfico.
Detalhes de logotipos: a paleta monocromática + caneta simples + d pequeno gera uma roseta fina e elegante que fica perfeita em cartões de visita.

Dicas para Criar Designs Lindos

Razões com números primos = alta contagem de lobos. Tente R = 113, r = 30 (mdc 1, resultando em 113 lobos — uma renda densa). Depois tente R = 120, r = 30 (mdc 30, apenas 4 lobos — uma estrela limpa).
Aumente d além de r para criar laços. Quando $ d > r $, as pétalas se sobrepõem — tente R = 90, r = 36, d = 80 para obter uma flor com pétalas que se auto-interseptam.
Reduza d em relação a r para pétalas suaves. Valores pequenos de d em relação a r dão um aspecto suave de "margarida arredondada". Excelente para cartões e etiquetas de presentes.
Camadas de caneta para dar profundidade. Mantendo os mesmos R, r, d mas definindo camadas de caneta = 3, você cria instantaneamente um design concêntrico com sensação 3D sem mudar mais nada.
Papel blueprint + paleta oceano = esboço de engenharia. Use para ilustrações tecnológicas e detalhes de slides.
Papel milimetrado + tinta monocromática = diagrama de livro didático. Perfeito para planilhas escolares de matemática prontas para imprimir.

Perguntas Frequentes

O que é um espirógrafo matematicamente?

Um espirógrafo traça uma hipotrocoide (círculo pequeno rolando dentro de um círculo fixo maior) ou uma epitrocoide (círculo pequeno rolando por fora). As curvas são descritas por equações paramétricas com três raios: R para o círculo fixo, r para o círculo rolante e d para o deslocamento da caneta em relação ao centro do círculo rolante.

O que significam R, r e d exatamente?

R é o raio do círculo grande fixo, r é o raio do círculo pequeno rolante e d é a distância da caneta até o centro do círculo rolante. Se d for igual a r, a caneta fica na borda e a curva forma bicos pontiagudos; um d menor gera pétalas suaves e arredondadas (curtate); um d maior gera pétalas longas em laço que se sobrepõem (prolate).

Por que o padrão sempre se fecha em um ciclo completo?

A ferramenta calcula o máximo divisor comum de R e r. A curva se fecha exatamente após r / mdc(R, r) voltas do círculo rolante, e o resultado exibe R / mdc(R, r) lobos de simetria rotacional. O uso do mdc garante que a caneta retorne ao ponto inicial sem nenhuma emenda visível, não importando se R/r é racional ou não (nós os tratamos como inteiros).

Qual é a diferença entre hipotrocoide e epitrocoide?

A hipotrocoide utiliza um círculo pequeno rolando pelo lado de dentro de um maior — este é o funcionamento do brinquedo Espirógrafo clássico. A epitrocoide utiliza um círculo pequeno rolando pelo lado de fora. As hipotrocoides se assemelham a rosetas apontando para dentro (pétalas voltadas para o centro); as epitrocoides parecem flores ou formas de engrenagem apontando para fora (pétalas se afastando do centro). Os motores rotativos Wankel utilizam uma epitrocoide no formato do alojamento do rotor.

O que é o modo mandala de caneta múltipla?

Selecionar duas ou três camadas de caneta traça a mesma curva com valores de d progressivamente menores usando cores diferentes da paleta. Como cada caneta possui seu próprio deslocamento, as camadas se aninham como pétalas dentro de pétalas, gerando um efeito de mandala ou rangoli a partir de um único conjunto de dados de entrada. Não requer composição de camadas manual — é um único resultado matemático renderizado em múltiplos traços.

Posso exportar o espirógrafo?

Sim. Baixar SVG fornece um arquivo vetorial que continua nítido em qualquer tamanho — perfeito para impressão, digitalização de bordados, corte de vinil ou edições avançadas no Illustrator ou Inkscape. Baixar PNG renderiza o padrão como uma imagem rasterizada de alta resolução, ideal para slides e mídias sociais. Copiar código coloca o código SVG bruto na sua área de transferência para incorporá-lo diretamente em uma página web ou enviar por chat.

A ferramenta é gratuita para usar?

Sim. O Gerador de Espirógrafo é gratuito, funciona inteiramente no seu navegador, não exige registro e nunca aplica marcas d'água nas exportações. Os padrões gerados por você são inteiramente seus para uso em projetos pessoais e comerciais — seja para imprimir, vender, remixar ou costurar em uma colcha.

Por que algumas curvas são pontiagudas e outras são suaves?

A quantidade de pontas vem de R / mdc(R, r) — esse inteiro representa a quantidade de lobos. O formato das pontas vem de d: quando d é igual a r você obtém bicos pontiagudos (uma hipocicloide ou epicicloide), quando d é menor você obtém pétalas arredondadas (curtate) e quando d é maior que r as pétalas formam laços longos que se cruzam (prolate). Altere um número de cada vez para perceber a relação.

Como isso difere de uma curva de Lissajous?

As curvas de Lissajous são geradas por movimentos senoidais independentes nos eixos x e y — x(t) = A sin(at + δ), y(t) = B sin(bt). Os espirógrafos vêm de um círculo pequeno rolando ao redor de um grande sem deslizar. Os padrões de Lissajous se encaixam em uma estrutura retangular; os espirógrafos se moldam em uma estrutura circular. Eles compartilham uma semelhança familiar por serem curvas periódicas em 2D, mas o mecanismo de formação é diferente.

Por que a visualização ao vivo parece um pouco diferente do resultado final?

A visualização ao vivo usa uma quantidade menor de pontos amostrados para se manter rápida e responsiva a cada alteração de comando. O resultado final realiza a amostragem de 900 a 7.200 pontos (escalonados conforme a complexidade da curva) para entregar uma renderização muito mais nítida. Ambos batem matematicamente; a diferença está unicamente na resolução.

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pela equipe MiniWebtool. Atualizado: 2026-05-19

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