萬花尺圖案產生器
線上生成經典的萬花尺玫瑰圖案。模擬當一個小圓在較大的固定圓形內部或外部滾動時，畫筆所追踪的內擺線與外擺線軌跡。最多可疊加三支畫筆來打造曼陀羅圖案、微調三個半徑、觀看曲線自動繪製，然後匯出為清晰的 SVG 或 PNG。
\( x(t) = (R - r)\cos t + d\cos\!\left(\dfrac{R - r}{r}\, t\right) \)
\( y(t) = (R - r)\sin t - d\sin\!\left(\dfrac{R - r}{r}\, t\right) \)
當 R = 96、r = 36、d = 30 時，曲線在 \( t \in [0, 2\pi \cdot 3] \) 後閉合。
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萬花尺圖案產生器
這款萬花尺圖案產生器能模擬經典萬花尺玩具所描繪的曲線 — 當一個小圓形在較大的固定圓形內部（或外部）滾動時，小圓上的畫筆便會留下一道道美麗且完美對稱的玫瑰花窗軌跡。本工具採用了內擺線（Hypotrochoid）與外擺線（Epitrochoid）背後的真實參數方程式，並透過兩個半徑的最大公因數（GCD）精確計算出幾何圖案的閉合週期，甚至支援最多疊加三層畫筆來創造豐富的曼陀羅視覺效果。只需微調三個滑桿，即可即時觀看預覽變化，隨後便能將高解析度的曲線匯出為 SVG 或 PNG 格式。
萬花尺數學幾何的運作原理
灰色虛線圓圈是半徑為 R 的固定圓。紫色的圓盤在不打滑的情況下沿著內側滾動。一支畫筆（橙色）固定在滾動圓盤上，且與滾動圓中心的距離為 d。隨著滾動圓軌道運轉，畫筆便會留下一條曲線。這裡的動畫展示了一個完整循環的繪製過程 — 您在下方使用的真實萬花尺工具也是基於完全相同的物理幾何原理。
核心關鍵在於：只有當參數角度回到 \( 2\pi \) 的倍數，且滾動圓也剛好轉動了整數圈時，曲線才會與自身首尾接合。這兩件事會在滾動圓正好繞行 r / gcd(R, r) 圈之後同時發生。這就是為什麼本工具會優先計算出 gcd(R, r) — 它能確保匯出的圖形在幾何上完全閉合，不留任何肉眼可見的交錯接縫。
參數方程式
$$x(t) = (R - r)\cos t + d\cos\!\left(\frac{R - r}{r}\, t\right)$$
$$y(t) = (R - r)\sin t - d\sin\!\left(\frac{R - r}{r}\, t\right)$$
若 \( d = r \)，該曲線即為帶有尖銳角點的內擺線 / 漸開線（3 個角點為三尖瓣線 Deltoid，4 個角點為星狀線 Asteroid）。若 \( d < r \)，曲線會帶有圓潤的花瓣（短幅）。若 \( d > r \)，花瓣則會形成長迴圈（長幅）。
$$x(t) = (R + r)\cos t - d\cos\!\left(\frac{R + r}{r}\, t\right)$$
$$y(t) = (R + r)\sin t - d\sin\!\left(\frac{R + r}{r}\, t\right)$$
若 \( d = r \)，該曲線即為帶有向外尖點的外擺線（1 個尖點為心臟線 Cardioid，2 個尖點為腎形線 Nephroid）。若 \( d < r \)，迴圈呈短幅狀；若 \( d > r \)，則呈長幅狀。
這款萬花尺圖案產生器有何獨特之處
花瓣數量計算：快速指南
對於內擺線，花瓣（或當 \( d = r \) 時的尖點）的數量等於 \( R / \gcd(R, r) \)。以下是一些經典範例：
- R = 4, r = 1, d = 1 → 星狀線（4 個尖點）。即經典的「內凹斜邊方鑽形」。
- R = 3, r = 1, d = 1 → 三尖瓣線（3 個尖點）。也被稱為斯坦納（Steiner）曲線。
- R = 96, r = 36, d = 30 → 8 瓣玫瑰花窗。因為 \( \gcd(96, 36) = 12 \)，且 \( 96 / 12 = 8 \)。
- R = 105, r = 30, d = 72 → 7 角星芒。具有長迴圈狀的花瓣（因為 \( d > r \)）。
- R = 120, r = 45, d = 48 → 8 摺鏤空蕾絲。略微短幅的花瓣縱橫交錯。
對於外擺線，完全相同的公式也適用於「外側」幾何結構 — 當 \( d = r \) 時，會產生 \( R / \gcd(R, r) \) 個向外指的尖點。
簡短歷史背景
這項幾何數學最早可追溯至 1525 年的阿爾布雷希特·杜勒（Albrecht Dürer），他在繪製幾何裝飾紋樣時研究了外擺線。隨後，羅默（Roemer，1674 年）與白努利（Bernoulli，1700 年代初期）將其參數方程式正式公式化。而大眾熟知、帶有色彩繽紛塑料齒輪的「萬花尺（Spirograph）」玩具，則是由英國工程師丹尼斯·費雪（Denys Fisher）於 1965 年發明，並於次年由 Kenner 公司發行。它迅速風靡全球，並於 1967 年榮獲英國年度最佳玩具獎。費雪最初研發這套齒輪系統是為了解決複雜的發條機械設計，這款玩具可說是一場美麗的意外。
時至今日，內擺線與外擺線的應用已遠远超出工藝美術範疇：從汪克爾轉子引擎（其轉子外殼軌跡即為外擺線）、鈔票與奢華腕錶上的飾紋雕刻（Guilloché），到利薩如（Lissajous）風格的示波器藝術，以及海報、紡織刺繡、雷射切割等領域的生成藝術（Generative Art）工具，都能見到它們的身影。
匯出檔案的實際應用場景
- 印刷與海報設計：將 8 瓣玫瑰花窗的向量 SVG + 金箔調色盤 + 象牙白紙張結合，能為婚禮請柬增添優雅精緻的圖騰。
- 雷射切割與雕刻：完全閉合的幾何曲線屬於連續單一路徑，非常適合機器刀具路徑。直接匯出 SVG 並導入 LightBurn 或 RDWorks 即可。
- 刺繡數位化：層次綿密的多筆曼陀羅模式，能讓電腦刺繡機順暢走線，減少剪線跳針。
- 數學與美術課堂：將 r 增減 1 就能親眼目睹花瓣數量產生劇烈變化 — 這正是週期函數中最大公因數重要性的直觀視覺證明。
- 生成藝術創作：匯出的 SVG 原始碼可自由二次編輯。拉進 Illustrator 中為閉合路徑填入漸層色，並以「正片疊底」圖層混合模式疊加在照片背景上。
- 品牌識別與標誌：單色調色盤 + 單筆圖層 + 較小的 d 值，能勾勒出纖細精緻的玫瑰徽章，在名片印刷上完美呈現。
打造美麗圖案的實用技巧
- 質數比例 = 繁複密集的線條。 嘗試 R = 113, r = 30（GCD 為 1，產生 113 個花瓣 — 呈細緻交織的網狀蕾絲）。再試試 R = 120, r = 30（GCD 為 30，僅有 4 個花瓣 — 線條乾淨俐落）。
- 將 d 調整得比 r 更大以製造迴圈。 當 \( d > r \) 時，花瓣會自我交叉重疊 — 嘗試 R = 90, r = 36, d = 80，能繪製出花瓣相互交織的幾何花朵。
- 將 d 設定為小於 r 以獲得柔和花瓣。 相對較小的 d 值會帶來柔和、神似「圓潤雛菊」的視覺感，非常適合卡片與禮品吊牌。
- 多層畫筆增添立體景深。 保持相同的 R、r、d，並將畫筆圖層設為 3，無需額外調整，即可瞬間打造出充滿 3D 視覺深度的同心圓設計。
- 工程藍圖 + 海洋調色盤 = 科技感草圖。 非常適合用於技術插圖、簡報圖表點綴。
- 方格紙 + 單色墨水 = 教科書幾何圖。 製作可列印的數學練習卷時的最佳搭配。
常見問答
萬花尺在數學上是什麼？
萬花尺描繪的是內擺線（小圓在較大固定圓的內部滾動）或外擺線（小圓在外部滾動）。這些曲線是透過由三個半徑定義的參數方程式來描述：固定圓半徑 R、滾動圓半徑 r，以及畫筆與滾動圓中心的偏移距離 d。
R、r 和 d 究竟代表什麼意思？
R 是大型固定圓的半徑，r 是小型滾動圓的半徑，d 是畫筆與滾動圓中心的距離。如果 d 等於 r，畫筆剛好位於圓周邊緣，曲線會形成尖銳的角點；較小的 d 會帶來圓潤的花瓣（短幅）；較大的 d 則會讓花瓣形成互相重疊的長形迴圈（長幅）。
為什麼圖案每次都能完美閉合成圈？
本計算機工具會先計算 R 和 r 的最大公因數（GCD）。曲線在滾動圓旋轉 r / gcd(R, r) 圈後會精確閉合，且結果形狀具備 R / gcd(R, r) 摺旋轉對稱性。使用最大公因數可以百分之百保證畫筆回到起點，不留任何接縫，無論 R/r 的實際物理比例為何（我們在程式中將其視為整數處理）。
內擺線與外擺線有什麼區別？
內擺線使用一個在較大圓形內側滾動的小圓 — 這正是經典萬花尺玩具的原理。外擺線則是在大圓的外側滾動。外擺線與內擺線的視覺感截然不同：內擺線感覺像是向內指向的玫瑰花窗（花瓣朝向中心）；外擺線感覺則像向外拓展的花朵或齒輪形狀（花瓣背離中心）。例如汪克爾轉子引擎便是利用外擺線作為其轉子外殼的構造。
什麼是多筆曼陀羅模式？
選擇兩個或三個畫筆圖層會以漸次縮小的 d 值與不同的調色盤顏色，重疊描繪同一條幾何曲線。由於每支畫筆的偏移量各自獨立，這些線條圖層會像花瓣般層層相套，僅憑一組參數就能創造出驚艷的曼陀羅或藍果麗（Rangoli）沙畫效果。這純粹是由單一數學幾何演算渲染出的多重線條，無需手動分層合成。
我可以匯出產生的萬花尺圖案嗎？
可以。點擊「下載 SVG」可獲得向量檔案，在任何尺寸下都能保持絕對清晰 — 非常適合大型印刷、紡織刺繡數位化、乙烯基割字，或拉進 Illustrator 與 Inkscape 進行二次設計。點擊「下載 PNG」則會渲染為高解析度的點陣圖，適合直接插入簡報或分享至社群平台。「複製原始碼」則能直接將原始 SVG 程式碼複製到您的剪貼簿，方便嵌入網頁或在對話中傳送。
這個工具需要付費嗎？
完全免費。萬花尺圖案產生器是一款免費網頁計算機工具，完全在您的瀏覽器內端執行，不需要註冊帳號，且匯出圖案時絕對不會加上任何浮水印。您所產生的所有幾何圖案均擁有完整版權，可自由用於個人或商業專案中 — 無論是印刷、販售、重新混編，或是縫製成拼布被單。
為什麼有些曲線很尖銳，有些卻很平滑？
尖點的數量完全取決於 R / gcd(R, r) — 這個整數即為對稱花瓣的數量。而尖點的形態則由 d 決定：當 d 等於 r 時，您會得到極為尖銳的切角點（即標準的內擺線或外擺線）；當 d 小於 r 時，角點會被修圓成平滑花瓣（短幅）；當 d 大於 r 時，花瓣則會向內凹折形成相互交錯的長形迴圈（長幅）。建議每次只更改一個數字來親自感受這種幾何規律。
這和利薩如（Lissajous）曲線有何不同？
利薩如曲線是由 X 軸與 Y 軸上彼此獨立的簡諧運動疊加而成 — 方程式為 x(t) = A sin(at + δ), y(t) = B sin(bt)。而萬花尺圖案則是源於一個圓形沿著另一個圓形不打滑地滾動。在視覺框架上，利薩如圖案通常順應一個長方形邊框；而萬花尺圖案則完全順應圓形邊框。兩者之所以有些神似，是因為它們同屬於二維週期曲線家族，但背後的幾何生成機制完全不同。
為什麼即時預覽和最終產生的圖案看起來有些微差距？
即時預覽功能為了確保在您更改每個數值或敲擊鍵盤時能達到順暢無延遲的反應，採用了較低的採樣點數。而最終產生的圖案則會根據曲線的幾何複雜度，精確取樣 900 至 7,200 個幾何點，以呈現出最極致清晰的線條。兩者在幾何數學上是完全一致的，唯一的差別僅在於解析度。
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由 miniwebtool 團隊製作。更新日期：2026-05-19