萬花尺圖案產生器

這款萬花尺圖案產生器能模擬經典萬花尺玩具所描繪的曲線 — 當一個小圓形在較大的固定圓形內部（或外部）滾動時，小圓上的畫筆便會留下一道道美麗且完美對稱的玫瑰花窗軌跡。本工具採用了內擺線（Hypotrochoid）與外擺線（Epitrochoid）背後的真實參數方程式，並透過兩個半徑的最大公因數（GCD）精確計算出幾何圖案的閉合週期，甚至支援最多疊加三層畫筆來創造豐富的曼陀羅視覺效果。只需微調三個滑桿，即可即時觀看預覽變化，隨後便能將高解析度的曲線匯出為 SVG 或 PNG 格式。

萬花尺數學幾何的運作原理

參數方程式

這款萬花尺圖案產生器有何獨特之處

花瓣數量計算：快速指南

對於內擺線，花瓣（或當 \( d = r \) 時的尖點）的數量等於 \( R / \gcd(R, r) \)。以下是一些經典範例：

• R = 4, r = 1, d = 1 → 星狀線（4 個尖點）。即經典的「內凹斜邊方鑽形」。
• R = 3, r = 1, d = 1 → 三尖瓣線（3 個尖點）。也被稱為斯坦納（Steiner）曲線。
• R = 96, r = 36, d = 30 → 8 瓣玫瑰花窗。因為 \( \gcd(96, 36) = 12 \)，且 \( 96 / 12 = 8 \)。
• R = 105, r = 30, d = 72 → 7 角星芒。具有長迴圈狀的花瓣（因為 \( d > r \)）。
• R = 120, r = 45, d = 48 → 8 摺鏤空蕾絲。略微短幅的花瓣縱橫交錯。

對於外擺線，完全相同的公式也適用於「外側」幾何結構 — 當 \( d = r \) 時，會產生 \( R / \gcd(R, r) \) 個向外指的尖點。

簡短歷史背景

這項幾何數學最早可追溯至 1525 年的阿爾布雷希特·杜勒（Albrecht Dürer），他在繪製幾何裝飾紋樣時研究了外擺線。隨後，羅默（Roemer，1674 年）與白努利（Bernoulli，1700 年代初期）將其參數方程式正式公式化。而大眾熟知、帶有色彩繽紛塑料齒輪的「萬花尺（Spirograph）」玩具，則是由英國工程師丹尼斯·費雪（Denys Fisher）於 1965 年發明，並於次年由 Kenner 公司發行。它迅速風靡全球，並於 1967 年榮獲英國年度最佳玩具獎。費雪最初研發這套齒輪系統是為了解決複雜的發條機械設計，這款玩具可說是一場美麗的意外。

時至今日，內擺線與外擺線的應用已遠远超出工藝美術範疇：從汪克爾轉子引擎（其轉子外殼軌跡即為外擺線）、鈔票與奢華腕錶上的飾紋雕刻（Guilloché），到利薩如（Lissajous）風格的示波器藝術，以及海報、紡織刺繡、雷射切割等領域的生成藝術（Generative Art）工具，都能見到它們的身影。

匯出檔案的實際應用場景

• 印刷與海報設計：將 8 瓣玫瑰花窗的向量 SVG + 金箔調色盤 + 象牙白紙張結合，能為婚禮請柬增添優雅精緻的圖騰。
• 雷射切割與雕刻：完全閉合的幾何曲線屬於連續單一路徑，非常適合機器刀具路徑。直接匯出 SVG 並導入 LightBurn 或 RDWorks 即可。
• 刺繡數位化：層次綿密的多筆曼陀羅模式，能讓電腦刺繡機順暢走線，減少剪線跳針。
• 數學與美術課堂：將 r 增減 1 就能親眼目睹花瓣數量產生劇烈變化 — 這正是週期函數中最大公因數重要性的直觀視覺證明。
• 生成藝術創作：匯出的 SVG 原始碼可自由二次編輯。拉進 Illustrator 中為閉合路徑填入漸層色，並以「正片疊底」圖層混合模式疊加在照片背景上。
• 品牌識別與標誌：單色調色盤 + 單筆圖層 + 較小的 d 值，能勾勒出纖細精緻的玫瑰徽章，在名片印刷上完美呈現。

打造美麗圖案的實用技巧

• 質數比例 = 繁複密集的線條。 嘗試 R = 113, r = 30（GCD 為 1，產生 113 個花瓣 — 呈細緻交織的網狀蕾絲）。再試試 R = 120, r = 30（GCD 為 30，僅有 4 個花瓣 — 線條乾淨俐落）。
• 將 d 調整得比 r 更大以製造迴圈。 當 \( d > r \) 時，花瓣會自我交叉重疊 — 嘗試 R = 90, r = 36, d = 80，能繪製出花瓣相互交織的幾何花朵。
• 將 d 設定為小於 r 以獲得柔和花瓣。 相對較小的 d 值會帶來柔和、神似「圓潤雛菊」的視覺感，非常適合卡片與禮品吊牌。
• 多層畫筆增添立體景深。 保持相同的 R、r、d，並將畫筆圖層設為 3，無需額外調整，即可瞬間打造出充滿 3D 視覺深度的同心圓設計。
• 工程藍圖 + 海洋調色盤 = 科技感草圖。 非常適合用於技術插圖、簡報圖表點綴。
• 方格紙 + 單色墨水 = 教科書幾何圖。 製作可列印的數學練習卷時的最佳搭配。

常見問答