채권 볼록성 계산기

채권 볼록성 계산기 정보

채권 볼록성 계산기는 수익률 변화에 대한 채권 가격의 2차 민감도를 측정합니다. 수정 듀레이션이 특정 지점에서의 가격-수익률 곡선의 기울기를 알려주는 반면, 볼록성은 그 곡선이 얼마나 휘어지는지 알려줍니다. 이는 수익률 변동폭이 커질 때 매우 중요한 수치입니다. 이 계산기는 대부분의 온라인 도구가 생략하는 기능을 제공합니다. 즉, 듀레이션 전용 가격 예측, 듀레이션+볼록성 결합 예측, 그리고 정확히 재산정된 채권 가격을 나란히 보여줌으로써 곡률 보정의 크기와 방향을 한눈에 파악할 수 있게 해줍니다.

이 계산기의 차별점

채권 볼록성 계산기 사용 방법

1. 빠른 시작 프리셋(2년물 국채, 10년물 국채, 30년물 회사채 또는 5년물 제로쿠폰)을 클릭하여 모든 필드를 즉시 채우거나, 직접 채권 상세 정보를 입력합니다.
2. 채권의 액면가(par), 연간 이표율, 현재 만기 수익률, 만기까지의 기간을 입력합니다.
3. 이표 지급 주기를 선택합니다. 미국 채권의 경우 반기(Semi-annual)가 기본이며, 유럽 채권이나 제로쿠폰의 경우 연간(Annual)을, 일부 구조화 채권의 경우 분기나 월간을 선택합니다.
4. 수익률 충격 슬라이더를 드래그하여 관심 있는 bp 변화량을 선택합니다. 100 bp는 일반적인 스트레스 테스트 규모이며, 볼록성의 효과를 확실히 보려면 300 bp 이상을 선택해 보세요.
5. "Calculate" 버튼을 누르고 결과 카드, 3원 비교 스트립, 충격 곡선 차트, 현금 흐름 폭포 및 기간별 귀속 표를 확인합니다.

이면의 수학 원리

모든 결과는 표준 현재 가치 채권 가격 책정 방정식에서 시작됩니다. 여기서 각 이표와 최종 원금 상환액은 기간 수익률 \(y = y_{annual}/m\)으로 할인됩니다. 여기서 \(m\)은 연간 기간 수이며 총 기간 수 \(n = y_{maturity} \cdot m\)입니다.

\( P = \displaystyle\sum_{t=1}^{n} \dfrac{\text{CF}_t}{(1+y)^t} \)

맥컬리 듀레이션은 현금 흐름의 PV 가중 평균 시간이며, 이를 \(m\)으로 나누어 연 단위로 표시합니다.

\( D_{Mac} = \dfrac{1}{P \cdot m} \displaystyle\sum_{t=1}^{n} \dfrac{t \cdot \text{CF}_t}{(1+y)^t} \)

수정 듀레이션은 기간 수익률에 맞춰 맥컬리 듀레이션을 조정한 것이며, 수익률 1% 변화당 가격 변동률을 제공합니다.

\( D_{mod} = \dfrac{D_{Mac}}{1 + y/m} \ )

볼록성은 2차 시간 가중치의 가격 가중 합계이며, \(m^2\)으로 나누어 연 단위 제곱으로 환산합니다.

\( C = \dfrac{1}{P \cdot m^2} \displaystyle\sum_{t=1}^{n} \dfrac{t(t+1) \cdot \text{CF}_t}{(1+y)^{t+2}} \)

이 두 지표는 수익률 변화 \(\Delta y\)에 대한 가격 변동률의 2차 테일러 근사치로 결합됩니다.

\( \dfrac{\Delta P}{P} \approx -D_{mod} \cdot \Delta y + \tfrac{1}{2} \cdot C \cdot (\Delta y)^2 \)

수익률 변화의 제곱 때문에 볼록성 항은 항상 0 이상입니다. 이것이 바로 볼록성이 높은 채권이 "볼록성 혜택"을 누린다고 말하는 이유입니다. 이들은 수익률 하락 시 듀레이션 예측보다 더 많이 오르고, 수익률 상승 시에는 더 적게 떨어집니다.

결과 해석하기

출력 결과를 읽을 때 염두에 두어야 할 몇 가지 원칙은 다음과 같습니다.

• 볼록성은 대략 만기의 제곱에 비례하여 커집니다. 30년 만기 채권은 듀레이션 비율이 비슷하더라도 5년 만기 채권보다 10배 더 큰 볼록성을 가질 수 있습니다.
• 이표율이 낮을수록 볼록성은 높아집니다. 제로쿠폰 채권은 모든 현금 흐름이 가장 먼 지점에 있기 때문에 해당 만기에서 가장 높은 볼록성을 가집니다.
• 수익률이 높을수록 볼록성은 낮아집니다. 분모의 할인 요인 \((1+y)^{t+2}\)은 수익률이 상승할 때 먼 미래 현금 흐름의 기여도를 축소시킵니다.
• 볼록성 보정은 부호 면에서 대칭적입니다. 수익률이 100 bp 오르든 내리든, 볼록성 항은 가격 예측에 동일한 양(+)의 백분율을 더해줍니다. 이것이 바로 곡률의 혜택입니다.

자주 묻는 질문

채권 볼록성이란 무엇인가요?

볼록성은 채권 가격을 수익률에 대해 두 번 미분하고 채권 가격으로 나눈 값입니다. 가격과 수익률의 관계는 직선이 아닌 곡선이기 때문에, 듀레이션(1차 미분)은 수익률 변화 시 가격이 어떻게 변할지에 대해 선형적인 추정치만 제공합니다. 볼록성은 곡률을 포착하는 2차 보정치이며, 옵션이 없는 일반 채권의 경우 항상 양수(+)입니다.

왜 투자자에게 볼록성이 중요한가요?

수익률 변화가 작을 때는 듀레이션만으로도 충분합니다. 하지만 100 bp 이상의 큰 변화가 발생할 경우, 듀레이션만으로는 수익률 하락 시의 가격 상승을 과소평가하고 수익률 상승 시의 가격 하락을 과대평가하게 됩니다. 볼록성은 이러한 비대칭성을 수치화하며, 이를 '볼록성 혜택'이라고도 부릅니다. 듀레이션이 같은 두 채권 중 볼록성이 더 높은 채권은 변동성이 높을 때 더 나은 성과를 냅니다.

볼록성 공식은 무엇인가요?

연 단위 볼록성은 다음과 같습니다.

\( C = \dfrac{1}{P \cdot m^2} \displaystyle\sum_{t=1}^{n} \dfrac{t(t+1) \cdot \text{CF}_t}{(1+y)^{t+2}} \)

여기서 \(P\)는 채권 가격, \(m\)은 연간 이표 지급 횟수, \(y\)는 기간 수익률, \(\text{CF}_t\)는 t기의 현금 흐름입니다. \(m^2\) 계수는 기간 단위를 연 단위로 변환합니다.

볼록성을 사용하여 가격 변화를 어떻게 예측하나요?

수정 듀레이션과 결합하여 가격 변동률은 대략 다음과 같이 계산됩니다.

\( \dfrac{\Delta P}{P} \approx -D_{mod} \cdot \Delta y + \tfrac{1}{2} \cdot C \cdot (\Delta y)^2 \)

볼록성 항은 제곱되므로 수익률이 오르든 내리든 항상 양의 보정치를 더해주며, 이것이 볼록성 혜택의 원천입니다.

어떤 채권이 가장 높은 볼록성을 가집니까?

이표율이 낮고 만기가 긴 채권이 가장 높은 볼록성을 가집니다. 공식 내의 \(t(t+1)\) 요인 때문에 먼 미래의 현금 흐름에 더 큰 가중치가 부여되기 때문입니다. 제로쿠폰 채권은 모든 현금 흐름이 마지막에 집중되어 있으므로 동일 만기 대비 일반적으로 가장 높은 볼록성을 갖습니다.

볼록성이 높을수록 항상 좋은가요?

다른 모든 조건이 같다면 그렇습니다. 볼록성이 높다는 것은 수익률 변동성 상황에서 더 나은 성과를 의미합니다. 실제 시장에서 볼록성이 높은 채권은 투자자들이 볼록성에 대해 프리미엄을 지불하기 때문에 더 비싸게(더 낮은 수익률로) 거래되는 경향이 있습니다. 이 기회비용이 매력적인지는 변동성 대 보유 수익(carry)에 대한 투자자의 관점에 달려 있습니다.

볼록성은 듀레이션과 어떻게 다른가요?

듀레이션은 1차 측정 지표로, 현재 수익률에서의 가격-수익률 곡선의 기울기입니다. 곡선이 국지적으로 직선이라고 가정합니다. 볼록성은 2차 측정 지표로, 그 곡선의 곡률입니다. 듀레이션 단독으로는 아주 작은 수익률 변화에만 정확하며, 수익률 변화가 클수록 곡선이 접선에서 벗어나기 때문에 볼록성이 중요해집니다.

볼록성이 음수(-)일 수 있나요?

일반 채권(내재 옵션 없음)의 경우 볼록성은 항상 양수입니다. 하지만 콜옵션부 채권(callable bonds)이나 모기지 담보부 증권(MBS)처럼 옵션이 내재된 채권은 특정 수익률 구간에서 발행자의 콜 옵션이 가격 상승을 제한하기 때문에 음의 볼록성을 나타낼 수 있습니다. 이 계산기는 옵션이 없는 경우를 모델링합니다.

맥컬리 듀레이션과 수정 듀레이션의 차이는 무엇인가요?

맥컬리 듀레이션은 채권자가 현금 흐름을 받는 시점의 PV 가중 평균 시간(년 단위)입니다. 수정 듀레이션은 맥컬리 듀레이션을 \(1 + y/m\)으로 나눈 값이며, "수익률 1% 변화 시 채권 가격이 몇 퍼센트 변하는가?"라는 질문에 직접적으로 답합니다. 수익률이 낮을 때는 두 수치가 거의 동일하며, 수익률이 높아질수록 약간씩 차이가 벌어집니다.

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