債券コンベクシティ電卓

債券コンベクシティ電卓

債券コンベクシティ電卓は、利回りの変化に対する債券価格の二次感応度を測定します。修正デュレーションが特定の時点における価格・利回り曲線の傾きを示すのに対し、コンベクシティはその曲線がどれだけ曲がっているかを示します。これは利回りの変動が大きくなったときに非常に重要になる数値です。この電卓は、多くのオンラインツールが省略している機能を提供します。デュレーションのみの価格予測、デュレーション＋コンベクシティの予測、および正確に再計算された債券価格を並べて表示できるため、曲率補正の大きさと方向が一目でわかります。

この電卓の特徴

債券コンベクシティ電卓の使い方

1. クイックスタートプリセット（2年物米国債、10年物米国債、30年物社債、5年物ゼロクーポン債）をクリックして各フィールドを自動入力するか、独自の債券詳細を入力します。
2. 債券の額面（パー）、年次クーポン率、現在の最終利回り、および満期までの年数を入力します。
3. クーポンの支払頻度を選択します。米国債の場合は年2回がデフォルトです。欧州債やゼロクーポン債の場合は年1回を、一部の仕組み債の場合は四半期や毎月を選択してください。
4. 利回りショック・スライダーをドラッグして、気になる変化幅（ベーシスポイント）を選択します。100 bpは一般的なストレステストの規模ですが、コンベクシティの効果をはっきり見るには300 bp以上を選択してみてください。
5. 「計算する」をクリックし、判定カード、3者比較ストリップ、ショック曲線チャート、キャッシュフロー・ウォーターフォール、および期間別帰属表を確認します。

計算の仕組み

すべての結果は標準的な現在価値による債券価格式から始まります。各クーポンと最終的な元本償還は、期間利回り \(y = y_{annual}/m\) （\(m\) は1年あたりの期間数、総期間数 \(n = y_{maturity} \cdot m\)）で割り引かれます：

\( P = \displaystyle\sum_{t=1}^{n} \dfrac{\text{CF}_t}{(1+y)^t} \ )

マコーレー・デュレーションはキャッシュフローのPV加重平均時間であり、\(m\) で割ることで年単位で表されます：

\( D_{Mac} = \dfrac{1}{P \cdot m} \displaystyle\sum_{t=1}^{n} \dfrac{t \cdot \text{CF}_t}{(1+y)^t} \ )

修正デュレーションは、マコーレー・デュレーションを期間利回りで調整したもので、利回りが1%変化したときの価格変動率（%）を示します：

\( D_{mod} = \dfrac{D_{Mac}}{1 + y/m} \ )

コンベクシティは、二次的な時間重み付けの価格加重和であり、\(m^2\) で割ることで年の二乗単位に換算されます：

\( C = \dfrac{1}{P \cdot m^2} \displaystyle\sum_{t=1}^{n} \dfrac{t(t+1) \cdot \text{CF}_t}{(1+y)^{t+2}} \ )

これら2つの指標は、利回り変化 \(\Delta y\) に対する価格変動率の二次テイラー近似に組み合わされます：

\( \dfrac{\Delta P}{P} \approx -D_{mod} \cdot \Delta y + \tfrac{1}{2} \cdot C \cdot (\Delta y)^2 \ )

コンベクシティの項は、利回り変化の二乗を用いているため、常に非負となります。これが、コンベクシティの高い債券が「コンベクシティ・ギフト」を享受すると言われる理由です。利回り低下時にはデュレーションの予測よりも大きく上昇し、利回り上昇時には予測よりも下落が小さくなります。

結果の解釈

出力を読む際に覚えておくべきいくつかの目安：

• コンベクシティはおよそ満期の二乗に比例して拡大します。 30年債は、デュレーション比率が近くても、5年債の10倍以上のコンベクシティを持つことがあります。
• クーポンが低いほどコンベクシティは高くなります。 ゼロクーポン債は、すべてのキャッシュフローが最も遠い地点にあるため、その満期において最も高いコンベクシティを持ちます。
• 利回りが高いほどコンベクシティは低くなります。 分母の割引因子 \((1+y)^{t+2}\) により、利回りが上昇すると遠い将来のキャッシュフローの寄与が小さくなるためです。
• コンベクシティ補正の符号は対称的です。 利回りが100 bp上昇しても低下しても、コンベクシティの項は価格予測に同じ正のパーセンテージを加えます。これが曲率によるメリットです。

よくある質問

債券コンベクシティとは何ですか？

コンベクシティとは、債券価格の利回りに対する二階導関数を債券価格でスケールしたものです。価格と利回りの関係は直線ではなく曲線であるため、デュレーション（一階導関数）は利回りが変化したときの価格変動の線形的な推定値しか提供しません。コンベクシティはその曲がり具合を捉える二次補正であり、オプションのない債券の場合は常に正の値となります。

なぜ投資家にとってコンベクシティが重要なのですか？

利回りの変化が小さい場合はデュレーションで十分です。しかし、100ベーシスポイント以上の大きな利回り変化の場合、デュレーションだけでは利回り低下時の価格上昇を過小評価し、利回り上昇時の価格下落を過大評価してしまいます。コンベクシティはこの非対称性を定量化するもので、これは「コンベクシティ・ギフト」とも呼ばれます。同じデュレーションを持つ2つの債券のうち、ボラティリティが高いときはコンベクシティが高い方のパフォーマンスが良くなります。

コンベクシティの公式は何ですか？

年の二乗で表されるコンベクシティは以下の通りです：

\( C = \dfrac{1}{P \cdot m^2} \displaystyle\sum_{t=1}^{n} \dfrac{t(t+1) \cdot \text{CF}_t}{(1+y)^{t+2}} \ )

ここで \(P\) は債券価格、\(m\) は1年あたりのクーポン期間数、\(y\) は期間利回り、\(\text{CF}_t\) は第 \(t\) 期のキャッシュフローです。\(m^2\) の係数は、期間の二乗を年の二乗単位に変換します。

コンベクシティは価格変動の予測にどのように使われますか？

修正デュレーションと組み合わせることで、価格変動率は近似的に以下のようになります：

\( \dfrac{\Delta P}{P} \approx -D_{mod} \cdot \Delta y + \tfrac{1}{2} \cdot C \cdot (\Delta y)^2 \ )

コンベクシティの項は二乗されているため、利回りが上昇しても低下しても正の補正を加え、これがコンベクシティ・ギフトの源泉となります。

どのような債券が最も高いコンベクシティを持っていますか？

満期が長く、クーポンが低い債券が最も高いコンベクシティを持ちます。公式内の \(t(t+1)\) の項により、将来のキャッシュフローほど重みが大きくなるためです。ゼロクーポン債は、すべてのキャッシュフローが最後に集中しているため、通常、特定の満期において最も高いコンベクシティを持ちます。

コンベクシティは高いほど常に良いのですか？

他の条件がすべて同じであれば、イエスです。コンベクシティが高いほど、利回りボラティリティ下でのパフォーマンスが向上します。実際には、投資家がコンベクシティに対してプレミアムを支払うため、高コンベクシティ債券は価格が高く（利回りが低く）設定される傾向があります。そのトレードオフが魅力的かどうかは、ボラティリティとキャリーに対する見方によります。

コンベクシティはデュレーションとどう違うのですか？

デュレーションは一次の指標であり、現在の利回りにおける価格・利回り曲線の傾きです。曲線が局所的に直線であると仮定します。コンベクシティは二次の指標であり、その曲線の曲がり具合です。デュレーション単独では非常に小さな利回り変化に対してのみ正確ですが、利回り変化が大きくなるほど曲線が接線から離れるため、コンベクシティが重要になります。

コンベクシティが負になることはありますか？

バニラ債券（オプションなし）の場合、コンベクシティは常に正です。オプション付き債券、特にコーラブル債（期限前償還条項付き）や住宅ローン担保証券などは、発行体のコールオプションによって上昇余地が制限されるため、特定の利回り領域で負のコンベクシティを示すことがあります。この電卓はオプションのないケースをモデル化しています。

マコーレー・デュレーションと修正デュレーションの違いは何ですか？

マコーレー・デュレーションは、債券保有者がキャッシュフローを受け取るまでのPV加重平均時間（年単位）です。修正デュレーションは、マコーレー・デュレーションを \(1 + y/m\) で割って調整したもので、「利回りが1%変化したときに債券価格が何パーセント動くか」という問いに直接答えるものです。利回りが小さいときは両者はほぼ同じですが、利回りが大きくなるにつれてわずかに乖離します。

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