债券凸性计算器

债券凸性计算器

债券凸性计算器衡量债券价格对收益率变化的二阶敏感性。虽然修正久期告诉你价格-收益率曲线在单一点的斜率，但凸性告诉你该曲线弯曲了多少——这个数值在收益率变动较大时极其重要。本计算器完成了大多数在线工具忽略的功能：它让你并排查看仅久期价格预测、久期加凸性预测以及精确重新定价的债券，从而使曲率修正的大小和方向一目了然。

本计算器的独特之处

如何使用债券凸性计算器

1. 点击快速启动预设（2 年期国债、10 年期国债、30 年期公司债或 5 年期零息债券）以立即填充每个字段，或者输入你自己的债券详细信息。
2. 输入债券的面值（par）、年息票率、当前到期收益率和到期年限。
3. 选择付息频率。美国债券默认为半年付息；欧洲债券或零息债券选择年度，某些结构化票据选择季度或月度。
4. 拖动收益率冲击滑块选择你关心的基点变化。100 bp 是常见的压力测试幅度；选择 300+ bp 可以更真实地看到凸性的影响。
5. 点击“计算”并查看结论卡片、三方对比条、冲击曲线图、现金流瀑布图和每期归因表。

底层数学逻辑

每个结果都始于标准的价格现值公式，其中每笔息票和最终本金偿还都按期间收益率 \(y = y_{annual}/m\) 进行折现，其中 \(m\) 为每年期间数，总期间数 \(n = y_{maturity} \cdot m\)：

\( P = \displaystyle\sum_{t=1}^{n} \dfrac{\text{CF}_t}{(1+y)^t} \)

麦考利久期是现金流以现值为权重的平均时间，通过除以 \(m\) 以年表示：

\( D_{Mac} = \dfrac{1}{P \cdot m} \displaystyle\sum_{t=1}^{n} \dfrac{t \cdot \text{CF}_t}{(1+y)^t} \)

修正久期根据期间收益率对麦考利久期进行调整，并给出每 1% 收益率变化的价格变化百分比：

\( D_{mod} = \dfrac{D_{Mac}}{1 + y/m} \ bond \)

凸性是二阶时间权重的价格加权和，通过除以 \(m^2\) 缩放回年平方：

\( C = \dfrac{1}{P \cdot m^2} \displaystyle\sum_{t=1}^{n} \dfrac{t(t+1) \cdot \text{CF}_t}{(1+y)^{t+2}} \)

这两个指标结合成收益率变动 \(\Delta y\) 时价格变化百分比的二阶泰勒近似：

\( \dfrac{\Delta P}{P} \approx -D_{mod} \cdot \Delta y + \tfrac{1}{2} \cdot C \cdot (\Delta y)^2 \)

由于收益率变化是平方的，凸性项始终为非负。这就是为什么凸性较高的债券被认为享有“凸性获利”——在收益率下降时，它们的上涨幅度超过久期的预测，而在收益率上升时，其下跌幅度小于久期的预测。

解读结果

阅读输出结果时请记住以下几条经验法则：

• 凸性大致随到期期限的平方增长。 在久期比例相似的情况下，30 年期债券的凸性可能是 5 年期债券的 10 倍。
• 低息票率意味着高凸性。 零息债券在其期限内具有最高的凸性，因为所有现金流都位于最远的点。
• 高收益率意味着低凸性。 当收益率上升时，分母中的折现因子 \((1+y)^{t+2}\) 会缩小远期现金流的贡献。
• 凸性修正的符号是对称的。 无论收益率上升还是下降 100 bp，凸性项都会为价格预测增加相同的正百分比——这就是曲率获利。

常见问题解答

什么是债券凸性？

凸性是债券价格对收益率的二阶导数，并由债券价格进行缩放。由于价格与收益率的关系是曲线而非直线，久期（一阶导数）只能给出收益率变化时价格变动的线性估算。凸性是捕捉这种曲率的二阶修正，对于无期权债券，凸性总是正的。

为什么凸性对投资者很重要？

对于较小的收益率变化，久期就足够了。但对于较大的收益率变化（例如 100 个基点或更多），仅凭久期会低估收益率下降时的价格上涨，并高估收益率上升时的价格下跌。凸性量化了这种不对称性，有时被称为凸性获利：在久期相同的两只债券中，当波动性较高时，凸性较高的债券表现更好。

凸性的公式是什么？

以年平方为单位的凸性为：

\( C = \dfrac{1}{P \cdot m^2} \displaystyle\sum_{t=1}^{n} \dfrac{t(t+1) \cdot \text{CF}_t}{(1+y)^{t+2}} \)

其中 \(P\) 是债券价格，\(m\) 是每年的付息次数，\(y\) 是期间收益率，\(\text{CF}_t\) 是第 \(t\) 期的现金流。\(m^2\) 因子将期间平方转换为年平方单位。

如何使用凸性来预测价格变化？

结合修正久期，价格变化的百分比近似为：

\( \dfrac{\Delta P}{P} \approx -D_{mod} \cdot \Delta y + \tfrac{1}{2} \cdot C \cdot (\Delta y)^2 \)

因为凸性项是平方的，无论收益率上升还是下降，它都提供正向修正，这就是凸性获利的来源。

哪些债券的凸性最高？

具有低息票率的长久期债券凸性最高。由于存在 \(t(t+1)\) 因子，公式中对未来更遥远的现金流赋予了更大的权重。在给定到期期限的情况下，零息债券通常具有最高的凸性，因为其所有现金流都集中在最后。

凸性越高总是越好吗？

在其他条件相同的情况下，是的——更高的凸性意味着在收益率波动时表现更好。在实践中，凸性较高的债券价格往往更高（收益率更低），因为投资者为凸性支付了溢价。这种权衡是否具有吸引力取决于你对波动性与票息收益的看法。

凸性与久期有何不同？

久期是一阶衡量指标——当前收益率下价格-收益率曲线的斜率。它假设曲线局部是直的。凸性是二阶衡量指标——该曲线的曲率。仅凭久期只在收益率变化极小时准确；收益率变化越大，凸性就越重要，因为曲线会偏离切线。

凸性可以是负的吗？

对于普通债券（无嵌入期权），凸性总是正的。具有嵌入期权的债券——特别是可赎回债券和抵押贷款支持证券（MBS）——在某些收益率区间内可能表现出负凸性，因为发行人的赎回权限制了价格上涨空间。本计算器模拟的是无期权的情况。

麦考利久期和修正久期有什么区别？

麦考利久期是债券持有人收到现金流的现值加权平均时间，以年为单位衡量。修正久期通过将麦考利久期除以 \(1 + y/m\) 来调整，它直接回答了“当收益率变动 1% 时，我的债券价格变动百分之几？”这个问题。当收益率较低时，两者几乎相同，并随着收益率的增长而略有分歧。

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