Calculadora de Convexidade de Títulos

Calculadora de Convexidade de Títulos

A Calculadora de Convexidade de Títulos mede a sensibilidade de segunda ordem do preço de um título às mudanças no seu rendimento. Enquanto a duração modificada informa a inclinação da curva preço-rendimento em um único ponto, a convexidade informa o quanto essa curva se dobra — um número que importa enormemente quando os movimentos de rendimento se tornam grandes. Esta calculadora faz o que a maioria das ferramentas on-line ignora: permite que você veja, lado a lado, a previsão de preço baseada apenas na duração, a previsão de duração mais convexidade e o título reprecificado exatamente, para que o tamanho e a direção da correção de curvatura fiquem óbvios num relance.

O que torna esta calculadora diferente

Como usar a Calculadora de Convexidade de Títulos

1. Clique em uma predefinição de início rápido (Tesouro de 2 anos, Tesouro de 10 anos, Corporativo de 30 anos ou Cupom zero de 5 anos) para preencher todos os campos instantaneamente ou digite seus próprios detalhes de título.
2. Insira o valor de face do título (par), taxa de cupom anual, rendimento atual até o vencimento e anos até o vencimento.
3. Escolha a frequência do cupom. Semestral é o padrão para títulos dos EUA; escolha anual para títulos europeus ou cupom zero, trimestral ou mensal para algumas notas estruturadas.
4. Arraste o controle deslizante de choque de rendimento para escolher a mudança em pontos-base que você deseja analisar. 100 bp é um tamanho comum de teste de estresse; escolha 300+ bp para realmente ver a convexidade importar.
5. Clique em "Calcular" e leia o cartão de veredito, a faixa de comparação tripla, o gráfico da curva de choque, a cascata de fluxo de caixa e a tabela de atribuição por período.

A matemática por trás

Cada resultado começa com a equação padrão de precificação de títulos por valor presente, onde cada cupom e o pagamento final do principal são descontados pelo rendimento periódico \(y = y_{annual}/m\) com \(m\) períodos por ano e contagem total de períodos \(n = y_{maturity} \cdot m\):

\( P = \displaystyle\sum_{t=1}^{n} \dfrac{\text{CF}_t}{(1+y)^t} \)

A duração de Macaulay é a média ponderada pelo VP do tempo dos fluxos de caixa, expressa em anos dividindo por \(m\):

\( D_{Mac} = \dfrac{1}{P \cdot m} \displaystyle\sum_{t=1}^{n} \dfrac{t \cdot \text{CF}_t}{(1+y)^t} \)

A duração modificada ajusta a Macaulay para o rendimento periódico e fornece a variação percentual do preço por mudança de 1% no rendimento:

\( D_{mod} = \dfrac{D_{Mac}}{1 + y/m} \)

A convexidade é a soma ponderada pelo preço da ponderação de tempo de segunda ordem, escalonada de volta para anos ao quadrado dividindo por \(m^2\):

\( C = \dfrac{1}{P \cdot m^2} \displaystyle\sum_{t=1}^{n} \dfrac{t(t+1) \cdot \text{CF}_t}{(1+y)^{t+2}} \)

As duas métricas combinam-se na aproximação de Taylor de segunda ordem da variação percentual do preço para uma mudança de rendimento \(\Delta y\):

\( \dfrac{\Delta P}{P} \approx -D_{mod} \cdot \Delta y + \tfrac{1}{2} \cdot C \cdot (\Delta y)^2 \)

O termo de convexidade é sempre não negativo por causa da mudança de rendimento ao quadrado. É por isso que se diz que títulos de maior convexidade desfrutam de um "benefício da convexidade" — eles sobem mais em uma queda de rendimento do que a duração prevê e perdem menos em um aumento de rendimento.

Interpretando seus resultados

Algumas regras práticas a ter em mente ao ler o resultado:

• A convexidade escala aproximadamente com o quadrado do vencimento. Um título de 30 anos pode ter 10 vezes a convexidade de um título de 5 anos em proporções de duração semelhantes.
• Cupons mais baixos significam maior convexidade. Um título de cupom zero tem a maior convexidade para o seu vencimento, pois todo o fluxo de caixa está no ponto mais distante.
• Rendimentos mais altos significam menor convexidade. O fator de desconto \((1+y)^{t+2}\) no denominador encolhe a contribuição de fluxos de caixa distantes quando os rendimentos sobem.
• A correção de convexidade é simétrica em sinal. Quer os rendimentos subam ou caiam em 100 bp, o termo de convexidade adiciona o mesmo percentual positivo à previsão de preço — esse é o benefício da curvatura.

Perguntas Frequentes

O que é convexidade de títulos?

A convexidade é a segunda derivada do preço de um título em relação ao seu rendimento, escalonada pelo preço do título. Como a relação preço-rendimento é curva em vez de reta, a duração (a primeira derivada) fornece apenas uma estimativa linear de como o preço se moverá quando os rendimentos mudarem. A convexidade é a correção de segunda ordem que captura a curvatura e é sempre positiva para títulos sem opções embutidas.

Por que a convexidade é importante para os investidores?

Para pequenas mudanças de rendimento, a duração é suficiente. Para grandes mudanças — digamos 100 pontos-base ou mais — a duração sozinha subestima o ganho de preço de uma queda de rendimento e superestima a perda de preço de um aumento de rendimento. A convexidade quantifica essa assimetria, que às vezes é chamada de benefício da convexidade: entre dois títulos com a mesma duração, aquele com maior convexidade supera o desempenho quando a volatilidade é alta.

Qual é a fórmula da convexidade?

A convexidade em anos ao quadrado é:

\( C = \dfrac{1}{P \cdot m^2} \displaystyle\sum_{t=1}^{n} \dfrac{t(t+1) \cdot \text{CF}_t}{(1+y)^{t+2}} \)

onde \(P\) é o preço do título, \(m\) é o número de períodos de cupom por ano, \(y\) é o rendimento periódico e \(\text{CF}_t\) é o fluxo de caixa no período \(t\). O fator \(m^2\) converte o período ao quadrado em unidades de anos ao quadrado.

Como a convexidade é usada para prever uma mudança de preço?

Combinada com a duração modificada, a variação percentual no preço é aproximadamente:

\( \dfrac{\Delta P}{P} \approx -D_{mod} \cdot \Delta y + \tfrac{1}{2} \cdot C \cdot (\Delta y)^2 \)

Como o termo de convexidade é ao quadrado, ele adiciona uma correção positiva independentemente de os rendimentos subirem ou caírem, que é a fonte do benefício da convexidade.

Quais títulos têm a maior convexidade?

Títulos de longo vencimento com cupons baixos têm a maior convexidade. Fluxos de caixa mais distantes no futuro são ponderados mais pesadamente na fórmula devido ao fator \(t(t+1)\). Títulos de cupom zero normalmente têm a maior convexidade para um determinado vencimento, já que todo o seu fluxo de caixa está concentrado no final.

Maior convexidade é sempre melhor?

Tudo o mais igual, sim — maior convexidade significa melhor desempenho sob volatilidade de rendimento. Na prática, títulos de maior convexidade tendem a ser precificados mais caros (rendimento menor) porque os investidores pagam um prêmio pela convexidade. Se a troca é atraente depende da sua visão sobre volatilidade versus carry.

Como a convexidade difere da duração?

A duração é uma medida de primeira ordem — a inclinação da curva preço-rendimento no rendimento atual. Assume-se que a curva é localmente reta. A convexidade é uma medida de segunda ordem — a curvatura dessa curva. A duração sozinha é precisa apenas para mudanças muito pequenas de rendimento; a convexidade torna-se importante quanto maior a mudança de rendimento, porque a curva se afasta da linha tangente.

A convexidade pode ser negativa?

Para títulos simples (sem opções embutidas), a convexidade é sempre positiva. Títulos com opções embutidas — particularmente títulos resgatáveis (callable) e títulos garantidos por hipotecas — podem exibir convexidade negativa em certas regiões de rendimento porque a opção de resgate do emissor limita o potencial de alta. Esta calculadora modela o caso sem opções.

Qual é a diferença entre a duração de Macaulay e a duração modificada?

A duração de Macaulay é a média ponderada pelo valor presente do tempo em que o detentor do título recebe os fluxos de caixa, medida em anos. A duração modificada ajusta a duração de Macaulay dividindo por \(1 + y/m\), e responde diretamente à pergunta "qual a porcentagem que o preço do meu título se move para uma mudança de 1% no rendimento?". As duas são quase idênticas quando o rendimento é pequeno e divergem ligeiramente à medida que o rendimento cresce.

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