極方程式プロッター
極方程式をインタラクティブにプロット — 調整可能な θ 範囲、サンプリング解像度、カラーパレット、極座標グリッドを使用して、r = sin(3θ)、r = θ (アルキメデスの渦巻線)、カージオイド、リマソン、レムニスケート、バタフライ曲線をグラフ化します。同じキャンバスに最大3つの方程式を重ね合わせ、鮮明な SVG または PNG としてチャートをエクスポートできます。
\( x = r \cos\theta, \quad y = r \sin\theta \)
上のチャートは、θ ∈ [0 から 2π] の範囲で等間隔に配置された 1800 個の θ 値で各数式をサンプリングし、曲線ごとに1本の連続したSVGパスを描画することによってレンダリングされました。
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極方程式プロッター
極方程式プロッターは、\( r = f(\theta) \) の形式の任意の数式をブラウザで直接グラフ化します。これを使用して、古典的なバラ曲線 \( r = \sin(3\theta) \)、ハート型のカージオイド \( r = 1 + \cos\theta \)、アルキメデスやフェルマーの渦巻線、内側ループを持つリマソン、レムニスケート、さらには有名なバタフライ曲線を描画できます。sin, cos, tan, exp, log, sqrt の完全なサポートと定数 \( \pi \) および \( e \) を使用して独自の数式を入力するか、9つのプリセットのいずれかをクリックしてすぐにプロットできます。同じキャンバス上に最大3つの数式を重ね合わせ、入力に合わせて変化するライブプレビューを確認し、チャートを鮮明なSVGまたはPNGとしてエクスポートできます。
極座標の仕組み
平面上のすべての点には、2つの同等の表現方法があります。デカルト座標（直交座標） \( (x, y) \) は「右にこれだけ進み、上にこれだけ進む」ことを示します。極座標 \( (r, \theta) \) は「原点からこの距離だけ、正のx軸からこの角度で進む」ことを示します。これら2つは次のように結びついています。
\[ x = r\cos\theta, \quad y = r\sin\theta \ ]
極方程式 \( r = f(\theta) \) は、半径を角度の関数として宣言します。プロッターは選択された範囲で θ をスイープし、各ステップで \( f \) を評価し、得られた \( (r, \theta) \) を \( (x, y) \) に変換して、ドットを単一のSVGパスで接続します。上のアニメーションのドットはまさにそれを示しています。紫色の半径が θ とともに回転し、距離 r にあるピンクのドットが軌跡を残します。
有名な極曲線のギャラリー
この極方程式プロッターの特徴
2cos(3t)、theta^2、1 + 2cos(θ) のように、手書きと同じように数式を入力できます。暗黙の乗算、キャレットによる累乗、Unicodeの θ/π はすべて自動的に変換されるため、構文のカンニングペーパーは不要です。
数式構文 — クイックリファレンス
| 入力方法 | 意味 | 例 |
|---|---|---|
theta または t または θ | 極角（ラジアン） | r = theta |
pi または π | 定数 π ≈ 3.14159 | r = sin(theta + pi/4) |
e | ネイピア数（オイラー数） ≈ 2.71828 | r = exp(theta/5) |
sin, cos, tan | 三角関数（ラジアン） | r = sin(3*theta) |
asin, acos, atan, atan2 | 逆三角関数 | r = atan(theta) |
exp, log, log2, log10 | 指数関数＆対数関数 | r = log(theta + 1) |
sqrt, abs, floor, ceil | 平方根・絶対値・丸め | r = sqrt(abs(cos(2*theta))) |
^ または ** | 累乗 | r = theta^2 |
暗黙の * | 数字と文字の間に × を挿入 | 2cos(3t) → 2*cos(3*t) |
バラ曲線の花びらの数を数える
整数 \( k \) を持つバラ曲線 \( r = \sin(k\theta) \) （または \( r = \cos(k\theta) \））の場合、花びらの数は美しい規則に従います：
- \( k \) が奇数の場合: バラ曲線の花びらはちょうど \( k \) 枚になります。
- \( k \) が偶数の場合: バラ曲線の花びらは \( 2k \) 枚になります。
したがって、\( \sin(3\theta) \) は3枚、\( \sin(4\theta) \) は8枚、\( \sin(7\theta) \) は7枚になります。その理由は巧妙です。k が奇数の場合、負の r に対して描かれる花びら（原点を通って反転する）は、正の r の花びらとまったく同じ位置に重なります。k が偶数の場合、負の r の花びらが正の r の花びらの隙間を埋めるため、枚数が2倍になります。\( \sin(2\theta) \)（4枚の花びら）と \( \sin(3\theta) \)（3枚の花びら）を比較して、対称性の違いをライブで確認してみてください。
カージオイドからリマソンへ: 1パラメータのファミリー
一般式 \( r = a + b\cos\theta \) は、比率 \( b/a \) によって制御される曲線ファミリーを描きます：
- \( b/a = 0 \): 半径 \( a \) の円 — 非対称性はありません。
- \( 0 < b/a < 1 \): 窪みのあるリマソン — 少し押しつぶされた楕円。
- \( b/a = 1 \): カージオイド（心臓形） — 単一の尖点を持つ完璧なハート型。
- \( 1 < b/a < 2 \): より深い窪みを持つリマソン。
- \( b/a \geq 2 \): 内側ループを持つリマソン — 曲線が自身と交差します。
3つの重ね合わせスロットに b = 0.5, 1.0, 1.5, 2.0 を指定して \( r = 1 + b\cos\theta \) をプロットし、ハート型がループのあるカタツムリ（リマソン）へと変化していく様子を観察してください。
現実世界での用途
- 数学の授業: アニメーション描画表示とライブプレビューにより、極方程式を直感的に理解できます。学生は回転する半径がどのように曲線をなぞるかを目で見て学ぶことができます。
- 物理の実験室: アンテナの放射パターン、植物の葉序、惑星の軌道、振り子の軌跡はすべて極座標で表現されます。
- エンジニアリング: カムのプロファイル、ギヤの歯形、梁の応力分布は極座標形式で設計されます。レーザーカットやCNC用にSVGをエクスポートできます。
- デザインと装飾: バラ曲線、レムニスケート、バタフライ曲線は、素晴らしいロゴ、マンダラ、反復パターンの作成に役立ちます。さらに編集するためにベクター形式にエクスポートできます。
- ジェネレーティブアート: ネオンパレットで異なる k 値を持つ3つのバラ曲線を重ね合わせることで、瞬時に幾何学的なポスターを作成できます。
- 天文学: 極座標形式の円錐曲線（楕円/放物線/双曲線の \( r = p / (1 - e\cos\theta) \)）は惑星の軌道を記述します。離心率（eccentricity）の値を0.1から0.9まで変えて試してみてください。
美しいプロットを作成するためのヒント
- 適切な θ 範囲を選択する。 バラ曲線やカージオイドは0から2πで閉じます。内側ループを持つリマソンは0から4πが必要な場合があります。アルキメデスの渦巻線は0から8π以上が最適です。ドロップダウンを使用すれば、πの倍数を自動的に処理してくれます。
- 「ビフォー・アフター」の対比に重ね合わせを使用する。 \( \sin(2\theta) \) と \( \sin(3\theta) \) を同時にプロットして、花びらの偶数対奇数の規則を確認します。\( 1 + \cos\theta \) と \( 1 + 1.5\cos\theta \) をプロットして、カージオイドが窪みのあるリマソンに変化する様子を確認します。
- 渦巻線では解像度を上げる。 デフォルトの「中」（1,800サンプル）はバラ曲線には十分です。長いアルキメデスやバタフライ曲線の場合は「高」または「ウルトラ」に切り替えてください。追加のサンプルにより、渦巻の端にある微細なディテールが明らかになります。
- レムニスケートは両方の分岐が必要。 方程式 \( r^2 = 4\cos 2\theta \) には2つの平方根があるため、数式1に \( \sqrt{4\cos(2\theta)} \)、数式2に \( -\sqrt{4\cos(2\theta)} \) をプロットして、両方の葉（ローブ）を取得します。
- ポートフォリオアート用にグリッドを非表示にする。 グリッドを「なし」に切り替え、グラファイト背景にネオンパレットを使用すると、ジェネレーティブアートのプリントのような仕上がりになります。
よくある質問
極方程式とは何ですか？
極方程式とは、原点からの距離 r と角度 θ（正のx軸から反時計回りに測定）の間の関係として曲線を定義する方程式です。例: r = sin(3θ) は3枚の花びらを持つバラ曲線をなぞり、r = 1 + cos(θ) はハート型のカージオイドを描き、r = θ はアルキメデスの渦巻線として外側に広がります。各点 (r, θ) は x = r cos θ, y = r sin θ を介してデカルト座標（直交座標）にマッピングされます。
数式ではどのような関数を使用できますか？
sin、cos、tan、asin、acos、atan、atan2、sinh、cosh、tanh、exp、log、log2、log10、sqrt、abs、floor、ceil、pow、min、maxなど、すべての標準的な数学関数を使用できます。定数の pi、e、tau、および変数 theta（ショートカットとして t と書くこともでき、Unicode の θ 記号も自動的に変換されます）が利用可能です。すべての三角関数はラジアン単位です。
暗黙の乗算はどのように記述しますか？
パーサーが自動的に処理します。2cos(3t)、3theta、2.5pi はすべて期待通りに機能するため、数字と文字、または括弧の間に * を入力する必要はありません。また、累乗にはキャレット ^ を使用できるため、theta^2 は theta**2 と同じになります。これにより、教科書から数式を書き換えることなくコピーできます。
r = sin(kθ) の花びらの数はいくつになりますか？
整数 k を持つ r = sin(kθ) または r = cos(kθ) の場合、k が奇数であればバラ曲線の花びらはちょうど k枚になり、k が偶数であれば 2k 枚になります。したがって、sin(3θ) は3枚、sin(4θ) は8枚、sin(7θ) は7枚になります。これは、負の r が原点を通って反転するためです。奇数の k は同じ花びらをなぞり、偶数の k はその間に新しい花びらを描きます。
渦巻線が途切れて見えるのはなぜですか？
アルキメデスなどの無限に広がる渦巻線は、θ が増加するにつれて成長し続けます。デフォルトの0から2πでは1回転しか捉えられません。複数回巻く渦巻線にするには、θ範囲のドロップダウンから0から8πまたは0から20πを選択してください。これにより、渦巻線が数回巻くスペースが確保されます。プロットは自動縮尺されるため、曲線全体がキャンバスに収まります。
複数の数式を重ね合わせることはできますか？
はい、任意の入力フィールドに2番目または3番目の数式を入力してください。すべての曲線は、有効なパレットから選択された個別の色で同じ軸上に描画されます。sin(3θ)とcos(3θ)の比較、レムニスケートの両半分のプロット、またはカージオイドの内部へのバラ曲線の重ね合わせをして、それらがどのように相互作用するかを確認するのに最適です。
数式が負の r を生成した場合はどうなりますか？
負の r は極座標において数学的に有効であり、原点を通して点を反転させます。したがって、θ = 0 での r = -1 は、θ = π での点 r = 1 と同じです。プロッターはこれを正しく処理するため、r = 1 + 2cos(θ) のようなリマソンは、r が負になる場所に内側ループを描きます。
チャートはどのようにエクスポートできますか？
3つのオプションがあります。[SVGダウンロード] は、どんなサイズでも鮮明なままであるベクターファイルを提供し、スライド、ポスター、レーザーカット、刺繍に最適です。[PNGダウンロード] は最大1800×1800ピクセルの高解像度ラスター画像をレンダリングし、SNSやサムネイルに適しています。[コードをコピー] は、ウェブページへの埋め込みやチャットでの送信用に、生のSVGマークアップをクリップボードにコピーします。
ライブプレビューが最終結果とわずかに異なって見えるのはなぜですか？
ライブプレビューは、入力中の軽快な動作を維持するために800サンプルを使用します。最終結果は、[解像度] ドロップダウンに応じて600から9,000サンプルを使用します。どちらも数学的には同等ですが、サンプル数が多いほど、特に密集したバラ曲線やバタフライの渦巻線のような急な曲線において、ストロークが滑らかになります。
この極方程式プロッターは無料ですか？
はい。極方程式プロッターは無料です。フォーム送信後にブラウザ内で完全に動作し、登録は不要で、エクスポートにウォーターマークが入ることもありません。宿題、論文、スライド、商業プロジェクトなどで制限なくチャートを使用してください。
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by MiniWebtool チーム。更新日: 2026-05-21
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