硬幣應用題求解器

硬幣應用題是代數教科書中最常見的一種教學方式，它教您如何將類似「我有 20 枚硬幣，價值 1.40 美元的 5 分和 1 角硬幣」這樣的句子轉化為一對可以求解的方程式。它們看起來很簡單，但卻是通往線性方程組、代入法和消元法的門檻。本求解器涵蓋了每一種常見模式：數量加價值、數量比例、具有關係的三種硬幣混合，以及經典的「湊出某價值所需的最少硬幣」拼圖。它分步寫出代數過程，讓您清楚看到文字是如何變成方程式的。

您可以在這裏解決什麼問題

• 數量 + 價值：「我有 N 枚兩種面額的硬幣，總價值為 V 美元。每種各有多少枚？」
• 價值 + 比例：「我的硬幣 A 的數量是硬幣 B 的 K 倍；總價值為 V。每種各有多少枚？」
• 三種硬幣混合：「三種面額的 N 枚硬幣總價值為 V；硬幣 C 的數量是硬幣 B 數量的 K 倍。」
• 最少硬幣：「湊出恰好為 V 的總價值，所需的最小硬幣數量是多少？」——透過動態規劃求解，因此即使在貪心算法失效的非典型面額集中，答案也是真正的最佳解。

兩個萬用方程式

如何使用本求解器

1. 選擇一個與您的教科書（或老板，或孩子的作業）要求相匹配的問題模式。
2. 選擇貨幣和所涉及的具體硬幣面額。
3. 輸入已知總額——硬幣數量、總價值以及數量之間的任何比例或偏差。
4. 點擊「求解硬幣問題」。結果面板將顯示每個面額的數量、動畫硬幣堆疊、您設置的方程式以及分步推導過程。

運算範例 — 5 分與 1 角硬幣

問題： 我有 20 枚硬幣，總價值為 1.40 美元的 5 分和 1 角硬幣。每種各有多少枚？

設置： 設 \(x\) 為 1 角硬幣的數量，\(y\) 為 5 分硬幣的數量。每枚 1 角硬幣值 10¢，每枚 5 分硬幣值 5¢，因此：

1. \(x + y = 20\)
2. \(10x + 5y = 140\)（美分）

將 \(y = 20 - x\) 代入第二個方程式：\(10x + 5(20 - x) = 140\) → \(5x + 100 = 140\) → \(5x = 40\) → \(x = 8\)。所以有 8 枚 1 角硬幣和 12 枚 5 分硬幣。驗證：\(10(8) + 5(12) = 140\) ✓ 且 \(8 + 12 = 20\) ✓。

為什麼「最少硬幣」問題可能很棘手

對於美元、英鎊和歐元硬幣，貪心算法——選擇能放下的最大硬幣，然後重複——總是能給出最佳答案。但這並非對每一組面額都成立。經典的反例是面額集 {1, 3, 4} 要湊出 6：貪心算法給出 3 枚硬幣 (4+1+1)，但最佳解是 2 枚硬幣 (3+3)。本計算機使用動態規劃，保證無論硬幣集如何都能找到真正的最小值。啟用「使用自定義面額」並嘗試面額 1, 3, 4 且價值為 6，即可現場看到差異。

按貨幣劃分的硬幣面額

常見問題

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