債券存續期計算機（麥考利與修正）

債券存續期計算機（麥考利與修正）

債券存續期計算機可計算任何票息債券的麥考利存續期和修正存續期，以及 DV01（基點價值）和 PV 半衰期。獨特的平衡點可視化顯示了固定收益交易員直觀理解存續期的方式 — 即債券現值現金流在時間軸上的質量中心。該工具隨後將該等待時間轉換為實用的價格敏感度數值，以便您可以預測 1 到 500 個基點任何收益率衝擊下的金額和百分比價格變化。

是什麼讓這款存續期計算機與眾不同

如何使用債券存續期計算機

1. 點擊快速啟動預設值（2 年期國債、10 年期國債、30 年期公司債或 5 年期零息債券）一次填寫所有輸入內容，或輸入您自己的債券。
2. 輸入票面價值（面值）、年票面利率、當前到期收益率和到期年限。
3. 選擇派息頻率。美國債券默認為每半年；歐洲債券或零息債券選擇年度；結構化票據選擇季度或每月。
4. 拖動收益率衝擊滑桿，選擇您想要進行壓力測試的收益率基點變化。100 bp 是標準大小；300 bp 以上可清晰顯示存續期與凸性之間的差距。
5. 點擊計算。查看結論卡片獲取核心數據，查看平衡點圖表獲取直觀理解，查看並排 ±衝擊比較帶獲取交易視角，查看收益率曲線圖獲取預測與實際的差距，以及查看每期表格獲取歸因分析。

背後的數學原理

每個結果都始於標準的現值債券定價方程。設每年有 \(m\) 個票息週期，週期票面利率為 \(c = c_{annual}/m\)，週期收益率為 \(y = y_{annual}/m\)，到期年限為 \(T\) 時總週期數為 \(n = T \cdot m\)：

\( P = \displaystyle\sum_{t=1}^{n} \dfrac{\text{CF}_t}{(1+y)^t} \ )

麥考利存續期是現金流的現值加權平均時間，然後除以 \(m\)，使結果以年而非週期為單位：

\( D_{Mac} = \dfrac{1}{P \cdot m} \displaystyle\sum_{t=1}^{n} \dfrac{t \cdot \text{CF}_t}{(1+y)^t} \ )

修正存續期根據週期收益率調整麥考利存續期，給出每 1% 收益率變化下的價格百分比變化：

\( D_{mod} = \dfrac{D_{Mac}}{1 + y/m} \ )

DV01 — 基點價值 — 最好通過將債券在收益率上下移動 1 bp 重新定價並取差值的一半來數值計算。等效的線性近似為：

\( \text{DV01} \approx D_{mod} \cdot 0.0001 \cdot P \ )

對於任何收益率變動 \(\Delta y\)（以小數表示），一階價格變化估計為：

\( \dfrac{\Delta P}{P} \approx -D_{mod} \cdot \Delta y \ )

麥考利 vs. 修正存續期 — 我應該用哪一個？

解讀存續期數值的經驗法则

• 零息債券： 麥考利存續期恰好等於到期年限。所有現金流都發生在最後，因此「平衡點」就是到期日本身。
• 高票息債券： 存續期明顯短於到期年限。大額的早期票息將現值加權重心向前拉。
• 收益率越高，存續期越短： 分母中的貼現因子 \((1+y)^t\) 會在收益率上升時縮小遠期現金流的權重。
• 低票息債券的存續期與到期年限大致成比例： 30 年期零息債券的存續期 ≈ 30；5 年期零息債券的存續期 ≈ 5。對於票息債券，由於早期票息的存在，長到期債券的這種關係是次線性的。
• 小額收益率下，修正存續期 ≈ 麥考利存續期： 區別在於 \(1 + y/m\) 除數 — 在 5% 年收益率及每半年派息情況下，差距約為 2.5%。

常見問題解答

什麼是債券存續期？

債券存續期衡量的是債券持有人收到現值加權現金流之前的加權平均時間（以年為單位）。它也是債券價格對收益率變化的敏感度。這兩種解釋分別對應麥考利存續期（時間解釋）和修正存續期（敏感度解釋）。

麥考利存續期與修正存續期有什麼區別？

麥考利存續期是現金流到達的現值加權平均時間，以年表示。修正存續期通過將麥考利除以 \(1 + y/m\) 進行調整，其中 \(y\) 是週期收益率，\(m\) 是每年票息次數。修正存續期直接回答了：收益率變化 1%，我的債券價格變化百分之幾？當收益率較小時，兩者幾乎相同，隨收益率增加而略有分歧。

什麼是 DV01？

DV01（也稱為 PV01 或 BPV — 基點價值）是基點價值 — 即收益率發生 1 個基點平行移動時，債券價格的金額變化。交易員更喜歡 DV01，因為它直接回答了一個實際問題：如果收益率上升 5 bp，我每張債券損失多少錢？DV01 可以通過重新定價收益率 ±1 bp 來數值計算，或線性計算為：

\( \text{DV01} \approx D_{mod} \cdot 0.0001 \cdot P \ )

麥考利存續期是如何計算的？

麥考利存續期是現金流的現值加權平均時間。正式定義為：

\( D_{Mac} = \dfrac{1}{P \cdot m} \displaystyle\sum_{t=1}^{n} \dfrac{t \cdot \text{CF}_t}{(1+y)^t} \ )

其中 \(P\) 是價格，\(m\) 是每年票息週期數，\(y\) 是週期收益率，\(n\) 是總週期數，\(\text{CF}_t\) 是週期 \(t\) 的現金流。除以 \(m\) 將結果從週期轉換為年。

修正存續期如何用於預測價格變化？

修正存續期提供了給定收益率變化下價格百分比變化的一階線性估計：

\( \dfrac{\Delta P}{P} \approx -D_{mod} \cdot \Delta y \ )

修正存續期為 8 年的債券，在收益率上升 100 基點時價格將下降約 8%，在收益率下降 100 基點時價格將上升約 8%。線性估計對小額收益率變化準確，但會低估大額收益率變化時的收益（或高估損失）— 這個差距就是凸性修正。

哪些債券的存續期最高？

存續期隨到期時間增加而增加，隨票息大小和收益率水平增加而減少。具有低票息的長到期債券存續期最高，因為大部分現金流位於遙遠的未來。零息債券的麥考利存續期完全等於其到期年限，因為所有現金流都集中在最後。在相同到期時間下，高票息債券存續期較低，因為早期票息將現值加權平均時間向前拉。

什麼是 PV 半衰期？

PV 半衰期是指收到 50% 債券現值的時間。它是麥考利存續期的補充指標：存續期是現值加權平均等待時間，而半衰期是現值加權中位數。對於低票息長效債券，這兩個指標很接近；對於高票息短效債券，半衰期通常早於存續期，因為最後一筆本金償還會使平均值被拉得比中位數更晚。

存續期可以是負數嗎？

對於不含期權的普通債券（Plain Vanilla Bonds），麥考利存續期始終為正 — 畢竟它是時間。修正存續期也始終為正，因為價格-收益率曲線始終向下傾斜（收益率越高 = 價格越低）。含有嵌入式期權或特殊現金流模式（如反向浮動利率債）的債券在某些收益率區域可能表現出負有效存續期，但本計算機模擬的是普通債券情況。

如何使用存續期進行投資組合對沖？

投資組合存續期是其持有的債券存續期的加權平均值，按市值加權。常見的對沖策略是賣空國債期貨或其他低票息債券，其數量與多頭頭寸的 DV01 相匹配，使兩者在小規模平行收益率移動中相互抵消。養老基金將其資產存續期與負債存續期相匹配（資產負債匹配），以抵禦小規模收益率變化帶來的風險 — 隨後的凸性錯配則決定了對沖在較大收益率變動下的表現。

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