電場計算機

這款電場計算機能夠計算由一個或多個點電荷所產生的電場強度。針對單一源電荷，它採用 \( E = k_{e}\,q / (\varepsilon_{r}\, r^{2}) \) 公式進行計算；若為多電荷問題，則採用完整的向量疊加原理 \( \vec{E}_{\text{net}} = \sum_{i} \vec{E}_{i} \)。您可以自由切換「單電荷模式」（在單一表單中求解 E、q 或 r）與「多電荷模式」（在 2D 平面上任意放置最多六個電荷，並讀取任何測試點 P 處的合電場）。您可以輸入以庫侖（C）、微庫侖（µC）、奈庫侖（nC）或基本電荷（e）為單位的電荷量，計算機將回報以 V/m 和 N/C 為單位的電場強度、Eₓ 和 Eᵧ 分量、方向角 θ、測試點處的電位 V、對 1 µC 試探電荷的作用力，以及逐步的 LaTeX 推導過程。隨著您的輸入，即時的 SVG 圖表將動態重繪電荷球（紅色代表正電荷，藍色代表負電荷）、各電荷的電場貢獻向量箭頭，以及最終產生的淨電場向量。

如何使用這款電場計算機

1. 在頂部選擇一種模式。單個點電荷模式採用解析解公式 \( E = kq/r^{2} \)。多電荷疊加模式則允許您在 2D 平面中放置最多六個電荷，並讀取任何所選測試點處的合電場向量。
2. 在單電荷模式下，選擇您要求解的目標（E、q 或 r） — 對應的輸入方塊會自動隱藏，以確保您不會不小心給予過度約束的條件。接著，輸入其餘兩個已知量並選擇所需的單位。
3. 在多電荷模式下，為每個源電荷填寫一行（數值 + 單位 + x + y）。如果不需要該格，將數值留空即可。隨後輸入測試點的座標（x, y）以及共用的座標單位。
4. 選擇周圍的介質。真空和空氣會使電場保持不變。水（εᵣ ≈ 80）會將電場屏蔽減弱大約兩個數量級。若遇到不常見的介電質，請選擇自訂 εᵣ。
5. 點擊 計算 即可閱讀電場強度、方向、個別電荷貢獻值、逐步推導過程，以及動畫顯示的電場線 / 疊加圖。

這款計算機有何不同之處

公式一覽

對於在相對介電常數為 \( \varepsilon_{r} \) 的介質中、距離為 \( r \) 的單個點電荷 \( q \)，其產生的電場強度大小為

\[ E \;=\; k_{e}\,\dfrac{q}{\varepsilon_{r}\,r^{2}} \]

其中 \( k_{e} = 1/(4\pi\varepsilon_{0}) \approx 8.9875 \times 10^{9}\) N·m²/C² 為庫侖常數。電場是一個向量，其方向從正源電荷徑向向外延伸，或徑向向內指向負源電荷 — 也就是正試探電荷在該點所受推（或拉）力的方向。

對於多個電荷，根據疊加原理，空間中任一點的淨電場是各個單獨電荷貢獻的向量和：

\[ \vec{E}_{\text{net}}(\vec{r}) \;=\; \sum_{i} k_{e}\,\dfrac{q_{i}}{\varepsilon_{r}\,|\vec{r}-\vec{r}_{i}|^{2}}\,\hat{r}_{i} \]

計算機會單獨算求出每個 \( \vec{E}_{i} \)，將其分解為 Eₓ 和 Eᵧ 分量，然後按分量求和，最後重構出合電場大小 \(|E| = \sqrt{E_{x}^{2}+E_{y}^{2}}\) 以及方向角 \( \theta = \arctan(E_{y}/E_{x}) \)。

計算範例：1 µC 於 10 cm 處

• \( E = (8.9875 \times 10^{9}) \times (1 \times 10^{-6}) / (0.10)^{2} \approx 8.99 \times 10^{5}\) V/m — 大約是 900 kV/m。
• 此電場方向自正電荷向外延伸。如果在此處放置一個自由電子，它將感受到一個大小為 \( F = qE \approx 1.44 \times 10^{-13}\) N 且指向源電荷的作用力。
• 在此距離下的電位為：\( V = kq/r \approx 89.9\) kV — 這也解釋了為什麼即使是帶有少量靜電的微小導體，也能帶給您明顯的電擊感。

計算範例：電偶極子

將 \(+1\) µC 放置於 \((-2\) cm, 0)，並將 \(-1\) µC 放置於 \((+2\) cm, 0)。測試點位於該偶極子的中點正上方 \((0, 1\) cm)\)。

• 每個電荷到 P 點的距離：\( r = \sqrt{2^{2}+1^{2}}\) cm \(= \sqrt{5}\) cm ≈ 2.24 cm。
• 每個電荷產生的電場大小貢獻為 \( |E_{i}| = kq/r^{2} \approx 1.8 \times 10^{7}\) V/m。
• 根據對稱性，y 分量會相互抵消；而 x 分量則沿著 −x 方向（指向負電荷）相加。最終的淨電場為水平方向，大小約為 \( 2 \times |E_{i}| \cos\theta \)，其中 \(\cos\theta = 2/\sqrt{5}\)。
• 這就是經典的「偶極子電場」，在您日後研究極性分子、天線或核磁共振（NMR）時都會反覆遇到它。

電場 vs 電力 vs 電位

這三個物理量描述的是相關但本質截然不同的概念：

• 電場 \(\vec{E}\)（V/m 或 N/C） — 空間中某點上每單位正試探電荷所受到的作用力。即便該處沒有放置試探電荷，電場依然存在。屬於向量。
• 電力 \(\vec{F} = q\vec{E}\)（牛頓） — 當您把一個電荷 \(q\) 實際放入電場中時，該電荷所真正感受到的作用力。屬於向量。
• 電位 \(V\)（伏特） — 將單位正試探電荷從無窮遠處移至該點時，每單位電荷所做的功。屬於純量。它的負梯度即為電場：\(\vec{E} = -\nabla V\)。

計算機會同時回報這三個數值，以便您對比並加深理解。

常見電場強度參考

解答多電荷問題的小訣竅

• 先利用對稱性簡化。 如果多個電荷相對於測試點呈對稱分佈，某些分量會完全抵消。計算機也會印證這一點 — 您會發現求得的 Eₓ 或 Eᵧ 會（非常接近）零。
• 仔細選擇測試點。 將測試點選在對稱軸上可以大幅簡化數學運算（也能幫您直觀地檢驗計算機的輸出是否合理）。
• 注意正負號。 正電荷產生的貢獻箭頭會從源電荷出發並「指向」測試點；負電荷則會從測試點出發並「指向」源電荷。如果弄反了，算出來的淨方向會出現 180° 的偏轉。
• 共用座標單位。 所有六個電荷以及測試點都必須採用您在多電荷區塊底部所選定的同一個座標單位，這樣才能確保幾何結構的一致性。

常見問題解答

點電荷的電場公式是什麼？
\( E = k_{e}\,q / r^{2} \)，其中 \(k_{e} \approx 8.9875 \times 10^{9}\) N·m²/C²。電場方向自正電荷向外延伸，或向內指向負電荷。

電場的單位是什麼？
SI 單位為：V/m（伏特每公尺），與 N/C（牛頓每庫侖）完全等價。計算機能夠同時接受兩者並在內部自動進行轉換。

如何將多個電荷產生的電場相加？
利用向量疊加原理：先將每個電荷的貢獻計算為 2D 向量，分別將 x 分量與 y 分量相加，然後利用 \(\sqrt{E_{x}^{2}+E_{y}^{2}}\) 重構出電場強度大小，並透過 \(\arctan(E_{y}/E_{x})\) 求出方向。本計算機的多電荷模式會全自動處理這項繁瑣的程序。

電場與電力有什麼區別？
電場描述的是源電荷對周圍空間所產生的物理影響。電力 \( F = qE \) 則是當您將另一個電荷 \(q\) 真正放入該電場時所產生的實際作用。電場無處不在，而電力只作用於實際存在的電荷上。

電荷之間的介質會改變電場嗎？
是的。電場會被除以該介質的相對介電常數 εᵣ。空氣的 εᵣ ≈ 1，水則約為 80。在水中，同樣的源電荷所產生的電場會比真空中弱大約 80 倍 — 這也正是離子鹽類極易溶於水的原因。

空氣的介電崩潰電場是多少？
海平面乾燥空氣的臨界值約為 3 × 10⁶ V/m（3 MV/m）。超過此限制，空氣會電離並激發出火花。計算機會將高於此臨界值的任何結果進行標記提示。

我可以求解源電荷或距離嗎？
可以 — 在單電荷模式下使用求解目標選擇器即可。計算機會自動將 \( E = kq/r^{2} \) 重新整理為對應的封閉解析形式（\( q = E\varepsilon_{r}r^{2}/k \) 或 \( r = \sqrt{kq/(\varepsilon_{r}E)} \)）並隱藏對應的輸入框。

為什麼我算出來的淨電場是零？
如果兩個電性相反但電量相等的電荷放置在相對於測試點完全鏡像對稱的位置，它們產生的貢獻會大小相等、方向相反並完全抵消 — 例如在偶極子垂直平分線的中點且位於偶極子軸線上時，電場即為零。這屬於完全正確的物理現象，而非計算機出錯。您可以將測試點移離對稱面，便能看到非零的電場數值。