Máy tính rơi xuyên Trái đất

🌍 Cấu trúc bên trong của Trái đất

Trái đất không phải là một khối đồng nhất — nó có các lớp riêng biệt với mật độ rất khác nhau, điều này ảnh hưởng sâu sắc đến tính toán tàu trọng lực.

📐 Vật lý đằng sau tàu trọng lực

Tàu trọng lực là một thí nghiệm tưởng tưởng cổ điển trong vật lý. Hãy tưởng tượng khoan một đường hầm chân không, không ma sát đi thẳng qua Trái đất và thả một vật thể vào đó. Điều gì sẽ xảy ra?

Mô hình mật độ đồng nhất: Bên trong một khối cầu đồng nhất, chỉ có khối lượng nằm gần tâm hơn bạn mới đóng góp vào trọng lực (Định lý Vỏ). Điều này tạo ra biên độ trọng lực tuyến tính:

trong đó \(g_0 = 9,81\) m/s² là trọng lực bề mặt, \(r\) là khoảng cách tính từ tâm, và \(R = 6.371\) km là bán kính Trái đất.

Điều này tạo ra dao động điều hòa đơn giản với tần số góc:

Thời gian di chuyển một chiều là nửa chu kỳ dao động:

Mô hình mật độ thay đổi PREM: Trái đất thực tế có lõi sắt-niken dày đặc (13 g/cm³) được bao quanh bởi lớp manti đá nhẹ hơn (3–5 g/cm³). Điều này có nghĩa là trọng lực thực tế sẽ tăng lên khi bạn đi xuống qua lớp manti (đạt đỉnh khoảng 10,68 m/s² tại ranh giới lõi-manti ở độ sâu 2.891 km), sau đó giảm dần qua lõi. Kết quả: gia tốc ban đầu mạnh hơn và thời gian di chuyển ngắn hơn, khoảng 38 phút.

💨 Tốc độ tối đa tại tâm

Tại tâm Trái đất, tất cả gia tốc trọng trường đã được chuyển đổi thành động năng. Vận tốc tối đa là:

Con số này xấp xỉ Mach 23 — gấp 23 lần tốc độ âm thanh! Nó cũng chính xác bằng tốc độ quỹ đạo tại bề mặt Trái đất, đây không phải là sự trùng hợp ngẫu nhiên: tàu trọng lực về mặt toán học tương đương với một quỹ đạo suy biến (bị làm phẳng).

📐 Đường hầm dây cung: Đường tắt bất ngờ

Đường hầm dây cung nối hai điểm trên bề mặt Trái đất mà không đi qua tâm. Đối với một dây cung có góc \(\theta\) tại tâm:

• Chiều dài đường hầm: \(L = 2R\sin(\theta/2)\)
• Độ sâu tối đa: \(d = R(1 - \cos(\theta/2))\)
• Tốc độ tối đa: \(v_{max} = \omega R\sin(\theta/2)\) (thấp hơn so với xuyên tâm)
• Thời gian di chuyển: Vẫn là \(\pi\sqrt{R/g_0} \approx 42\) phút!

Thời gian di chuyển bằng nhau cho tất cả các dây cung là hệ quả trực tiếp của tính chất đẳng thời của dao động điều hòa đơn giản — cùng một tính chất làm cho chu kỳ của con lắc không phụ thuộc vào biên độ (đối với các dao động nhỏ).

🛠 Tại sao chúng ta không thực sự xây dựng được nó?

Mặc dù tàu trọng lực là một cấu trúc lý thuyết tuyệt đẹp, nhưng một số trở ngại thực tế khiến nó không thể thực hiện được với công nghệ hiện tại:

• Nhiệt độ: Lõi Trái đất đạt tới 5.500°C (nóng như bề mặt Mặt trời). Không có vật liệu nào được biết đến có thể chịu được nhiệt độ này.
• Áp suất: Tại tâm, áp suất vượt quá 360 GPa (3,6 triệu atm). Các bức tường đường hầm sẽ cần phải chống lại lực nghiền nát khổng lồ.
• Lực cản không khí: Ngay cả khi được hút hết không khí, việc duy trì một môi trường chân không hoàn hảo trên 12.742 km là không thực tế. Bất kỳ không khí nào cũng sẽ tạo ra lực cản và sinh nhiệt.
• Hiệu ứng Coriolis: Chuyển động quay của Trái đất sẽ đẩy vật thể đang rơi vào các bức tường đường hầm, đòi hỏi phải đệm từ trường hoặc một đường hầm cong.
• Hiệu ứng thủy triều: Mặt trăng và Mặt trời sẽ tạo ra những biến động nhỏ trong quỹ đạo rơi.

Tuy nhiên, khái niệm này đã truyền cảm hứng cho các đề xuất thực tế về "tàu trọng lực" giữa các thành phố lân cận sử dụng các đường hầm ngắn hơn, nông hơn — về cơ bản là một phiên bản công nghệ cao của tàu lượn siêu tốc!

📜 Bối cảnh lịch sử

Khái niệm tàu trọng lực có một lịch sử phong phú trong vật lý và khoa học viễn tưởng:

• 1638: Galileo Galilei lần đầu tiên xem xét vấn đề rơi xuyên qua Trái đất.
• 1687: Tác phẩm Principia của Isaac Newton đã cung cấp Định lý Vỏ cần thiết để giải quyết nó.
• 1966: Paul Cooper đã công bố "Tàu trọng lực" (The Gravity Train) trên Tạp chí Vật lý Hoa Kỳ, phổ biến kết quả đường hầm dây cung.
• 2015: Alexander Klotz đã công bố một phép tính tinh vi sử dụng mô hình PREM, tìm ra thời gian di chuyển khoảng 38 phút.