Đơn giản hóa quy trình làm việc của bạn: Tìm kiếm miniwebtool.
Thêm
Công cụ liên quan
Máy Tính Ma Trận JacobianMáy tính Phân tích LU Ma trậnMáy tính phân tích phân số từng phầnMáy Tính Phân Tích QRMáy tính Phân tích Giá trị Kỳ dị (SVD)
Trang chủ > Toán học > Đại số Tuyến tính > Máy Tính Phân Rã Cholesky
 

Máy Tính Phân Rã Cholesky

Phân rã một ma trận đối xứng xác định dương thành A = LLᵀ với hoạt ảnh tính toán từng bước. Xem từng phần tử của ma trận tam giác dưới L được suy ra với đầy đủ công thức, xác minh kết quả và khám phá quá trình phân tách một cách trực quan.

Máy Tính Phân Rã Cholesky
Examples:
Matrix Size: A: 2×2 Symmetric: A[i,j] = A[j,i]
Matrix A 2×2 (symmetric, positive-definite)
[
]
↕ Editing A[i,j] auto-mirrors to A[j,i]

Embed Máy Tính Phân Rã Cholesky Widget

Giới thiệu về Máy Tính Phân Rã Cholesky

The Cholesky Decomposition Calculator factors a symmetric positive-definite matrix A into the product of a lower-triangular matrix L and its transpose Lᵀ, so that A = LLᵀ. This factorization is fundamental in numerical linear algebra, offering roughly twice the efficiency of general LU decomposition by exploiting the symmetry and positive-definiteness of the input matrix. The calculator provides animated step-by-step derivations, interactive cell highlighting, and automatic verification that LLᵀ reconstructs A.

How Cholesky Decomposition Works

Given an n×n symmetric positive-definite matrix A, the algorithm computes L column by column. For each column j:

Diagonal element:

$$L_{jj} = \sqrt{A_{jj} - \sum_{k=1}^{j-1} L_{jk}^2}$$

Off-diagonal elements (for i > j):

$$L_{ij} = \frac{1}{L_{jj}} \left( A_{ij} - \sum_{k=1}^{j-1} L_{ik} L_{jk} \right)$$

The algorithm proceeds left to right across columns. Each diagonal element involves a square root, which is guaranteed to be real and positive when A is positive-definite. If a negative value appears under the square root, the matrix is not positive-definite.

Conditions for Cholesky Decomposition

ConditionRequirementWhat Happens If Violated
SymmetricA = Aᵀ (A[i,j] = A[j,i])Decomposition is undefined
Positive-DefiniteAll eigenvalues > 0Negative under square root
Squaren×n matrixNot applicable to rectangular

Key Properties

▽
Lower-Triangular
L has zeros above the diagonal
◻
Unique
If A is positive-definite, L is unique
⚡
Efficient
~n³/3 operations vs n³/3 × 2 for LU
⊕
Stable
No pivoting needed — always stable
↔
det(A) = det(L)²
Determinant from diagonal of L
↻
Solving Ax = b
Forward then back substitution

How to Use the Cholesky Decomposition Calculator

  1. Select matrix size — Choose from 2×2 up to 6×6. Cholesky decomposition requires a square matrix.
  2. Enter values — Fill in the matrix cells. The calculator auto-mirrors entries across the diagonal to enforce symmetry (editing A[i,j] automatically sets A[j,i]).
  3. Click Decompose — Press the "Decompose A = LLᵀ" button to compute the factorization.
  4. Explore the result — Review the color-coded equation A = L × Lᵀ. Click any cell in L to see its derivation formula. Use "Play All" to auto-step through every element.
  5. Verify — The calculator multiplies L × Lᵀ back together and reports the maximum error, confirming the decomposition is correct.

Real-World Applications

📊
Monte Carlo
Generate correlated random variables from a covariance matrix
📡
Kalman Filters
State estimation in navigation and signal processing
🤖
Machine Learning
Gaussian processes, covariance inversion
📐
Optimization
Newton's method with positive-definite Hessians
💰
Finance
Portfolio risk modeling via correlation decomposition
🏗
Engineering
Finite element method stiffness matrices

Cholesky vs Other Decompositions

MethodFactorizationRequirementsComplexity
CholeskyA = LLᵀSymmetric positive-definiten³/3
LUA = LU (or PA = LU)Invertible2n³/3
QRA = QRAny matrix2n³/3 (Householder)
SVDA = UΣVᵀAny matrix~11n³/3
EigendecompositionA = QΛQᵀSymmetric~9n³

Frequently Asked Questions

What is Cholesky decomposition?

Cholesky decomposition (named after Andre-Louis Cholesky) factors a symmetric positive-definite matrix A into A = LLᵀ, where L is a lower-triangular matrix with positive diagonal entries. It is one of the most efficient and numerically stable matrix factorizations available.

When can Cholesky decomposition be applied?

The matrix must be symmetric (A = Aᵀ) and positive-definite (all eigenvalues strictly positive, or equivalently, xᵀAx > 0 for every nonzero vector x). Common examples include covariance matrices, correlation matrices, Gram matrices (XᵀX for full-rank X), and stiffness matrices in structural engineering.

What if my matrix is not positive-definite?

If the matrix is not positive-definite, you will encounter a negative value under a square root during the decomposition, which is not a real number. The calculator will report an error indicating exactly which diagonal step failed. You may want to check your matrix for symmetry errors, or consider LDLᵀ decomposition for positive semi-definite matrices.

How is Cholesky decomposition used to solve linear systems?

To solve Ax = b, first decompose A = LLᵀ. Then solve Ly = b by forward substitution (since L is lower-triangular), and then solve Lᵀx = y by back substitution. This is about twice as fast as solving via LU decomposition because L and Lᵀ share the same data.

What is the relationship between Cholesky and the determinant?

Since A = LLᵀ, we have det(A) = det(L) × det(Lᵀ) = det(L)². And since L is triangular, det(L) is simply the product of its diagonal entries. This provides an efficient way to compute the determinant of a positive-definite matrix.

Can Cholesky decomposition be applied to complex matrices?

Yes, for complex matrices the condition is that A must be Hermitian positive-definite (A = A*, where A* is the conjugate transpose). The decomposition becomes A = LLᵀ where Lᵀ is replaced by L* (the conjugate transpose of L). This calculator handles real-valued matrices.

Tham khảo nội dung, trang hoặc công cụ này như sau:

"Máy Tính Phân Rã Cholesky" tại https://MiniWebtool.com/vi/may-tinh-phan-ra-cholesky/ từ MiniWebtool, https://MiniWebtool.com/

by miniwebtool team. Updated: 2026-04-12

Có API dành cho developer: Chạy công cụ này từ ứng dụng, tự động hóa hoặc agent của bạn bằng một yêu cầu HTTP JSON. Xem tài liệu API

Bạn cũng có thể thử AI Giải Toán GPT của chúng tôi để giải quyết các vấn đề toán học của bạn thông qua câu hỏi và trả lời bằng ngôn ngữ tự nhiên.

Đại số Tuyến tính:

Công cụ nổi bật:

Máy tính tuổiTrình Trích Xuất Ảnh từ Videomáy-tính-số-mũ-độ-chính-xác-cao⏱️ Máy Tính GiờTrình tạo bài tây ngẫu nhiênCông cụ đổi Pound sang KilogramCông cụ đếm hàngCông cụ Mã hóa CaesarMáy tính Phân tích Thừa số Nguyên tốTra cứu ID người dùng FacebookMáy tính phân số tối giảnCông cụ chuyển đổi kg sang lbs🖱️ Bộ Đếm ClickTrình Tạo Mã MorseTrình tạo oẳn tù tìTrình tạo chuỗi ngẫu nhiênMáy tính giảm giá phần trămBộ Chuyển Đổi Số Sang ChữMáy tính thương và số dưTra cứu ID người dùng InstagramĐảo ngược văn bảnCông cụ chuyển đổi chữ số La MãMáy tính ngày trong năm - Hôm nay là ngày thứ mấy trong nămTrình tạo nhánh giải đấu ngẫu nhiênMáy tính thời gianCông cụ chuyển đổi nhị phân sang thập phân📅 Máy tính ngàyBộ lặp MP3Máy tính Cạnh huyềnMáy tính thập phân sang phân sốSắp xếp sốĐổ xúc xắcBộ chuyển đổi thập phân sang nhị phânTrình Luyện Toán NhẩmĐây có phải là Số Nguyên Tố?Máy tính Kiểm tra Chia hếtBộ chuyển đổi FPSMáy Giải Phương Trình Bậc BaTrình chuyển đổi SRT sang TXTTrình nhân hóa văn bản AICông Cụ Vẽ Đồ Thị Hệ Bất Phương TrìnhBộ chuyển đổi Feet và Inch sang CmBộ chuyển đổi Nhị phân sang HexThống kê Kênh YouTubeGhép VideoTrình tạo số nguyên ngẫu nhiênCông cụ chuyển đổi phân số thành hỗn sốTung đồng xuCông cụ chuyển đổi cm sang feet và inchBộ chuyển đổi HEXBộ chuyển đổi Thập phân sang Thập lục phânXóa dấu cáchSo sánh hai chuỗiMáy tính chuyển đổi phân số sang số thập phân🔍 Kiểm tra Đạo vănTrình phát hiện nội dung AIMáy tính thâm hụt caloCông cụ chuyển đổi kPa sang psiMáy tính căn bậc haiMáy tính nhị phânCông cụ chuyển đổi centimet sang inchTạo Ô ChữCông cụ xáo trộn chữ cáiTrình tạo tên ngẫu nhiênDanh sách các số nguyên tốMáy tính trung bình mẫuTrình trích xuất âm thanhMáy tính giai thừaTrình tạo ngày sinh ngẫu nhiênBộ chuyển đổi hex sang thập phânCông cụ chia ảnhMáy tính HEX📷 OCR Chuyển Ảnh Thành Văn BảnCông cụ loại bỏ dấu câu trực tuyếnLịch Sao Thủy Nghịch HànhTạo Trò Chơi Tìm TừMáy tính So sánh Phân sốCân Bằng Phương Trình Hóa HọcCông cụ chuyển đổi hỗn số thành phân sốSắp xếp theo thứ tự bảng chữ cáiCông cụ chuyển đổi Phần trăm sang PPMĐiều chỉnh tốc độ videoBộ chuyển đổi hệ cơ sốBộ Chia Âm ThanhBộ chọn bình luận YouTubeCông cụ Giải Quy hoạch Tuyến tínhCông cụ tạo nhóm ngẫu nhiêntra-cứu-địa-chỉ-MACCông cụ Mã hóa VigenèreTrình tạo thẻ BingoCon số may mắn của tôi là gì?Máy Tính Số TuầnMáy Tính Chia Đa ThứcTrình tạo thẻ tín dụng ngẫu nhiênTrình tạo đồ vật ngẫu nhiên📈 Công Cụ Tạo Biểu Đồ ĐườngMáy Tính Điểm SốMáy Tính Chu Vi Hình ElipMáy tính Độ dốc và CấpCông cụ chuyển đổi hệ thập lục phân sang nhị phânCông cụ chuyển đổi Radian sang ĐộMáy tính ModuloTrình Mô Phỏng Cổng LogicMáy tính Tổng⏰ Đồng Hồ Báo Thức Trực TuyếnTạo và giải SudokuCông cụ chuyển đổi thời gian phân sốLịch trăng non và trăng trònTrình tạo mê cungBộ chuyển đổi RGB sang HexMáy tính BSAChuyển đổi Số thành Phân sốChọn tên ngẫu nhiênMáy tính Tuổi thaiBảng mã ASCII💧 Máy Tính Điểm SươngTrình chuyển đổi HTML sang văn bảnBộ Chuyển Đổi Nhị PhânChuyển Đổi GócDanh sách năm nhuậnXoay VideoCông cụ ước tính thu nhập YouTubeCông cụ tính điểm trung bình GPAMáy tính GFRMáy tính Tuổi thọ Trung bìnhmáy-tính-hba1cMáy tính WHtR⏱️ Bộ Đếm Ngược Thời GianMáy tính bước chân sang khoảng cáchMáy tính Cầu thangMáy tính Điện trở Song songMáy Tính Ký Hiệu Sigma (Tổng)Máy tính số thiên thầnMáy Tính Độ Lệch Chuẩn Tương ĐốiĐố Vui Bảng Cửu ChươngChuyển Đổi Mô-men Xoắn (Nm, ft-lb, kgf-cm)công cụ chuyển đổi ppm sang phần trămMáy tính hệ sốMáy tính trung bìnhMáy tính tỷ lệ BUN và Creatininemáy-tính-tỷ-lệ-bánh-mìMáy tính Đạo hàmMáy tính Ước số chung lớn nhấtTrình tạo từ ngẫu nhiên tiếng AnhCông cụ chuyển đổi psi sang kPaCông cụ Xoay ẢnhDanh sách Dãy số FibonacciMáy Tính Giờ Làm ViệcMáy tính Hình trònn chữ số đầu tiên của piTrình tạo chữ cái ngẫu nhiênBộ chuyển đổi địa chỉ IP sang HexBộ Chuyển Đổi Thời Gian Sang Thập Phân🥧 Công Cụ Tạo Biểu Đồ TrònCông cụ Trực quan hóa Dữ liệu AI (Dán CSV)Công cụ chuyển đổi thập phân sang bát phânCông cụ chuyển đổi Độ sang Radian⏱️ Đồng Hồ Bấm Giờ Trực TuyếnMáy tính lương hưuNgười chọn ngẫu nhiênTrình nén VideoTrình tạo GIFAI Trình thêm dấu câuBộ chuyển đổi địa chỉ IP sang nhị phânCông cụ Kiểm tra APICông cụ Tìm Quy luật Dãy sốCông cụ chuyển đổi gam sang poundKiểm Tra Số Chẵn Hay Số LẻMáy Tính Diện Tích Đa Giác Bất Quy TắcMáy Tính Thời Gian ĐọcMáy tính Vị trí Mặt trờiMáy Tính Hoa HồngMáy tính LogaritMáy tính phân tích thừa số đa thứcMáy tính Tổng Bình phươngTrình tạo Hash MD5Trình tạo PIN ngẫu nhiênMáy Tính Len Chân Tường và Nẹp Trang TríMáy Tính Ốp TườngMáy Tính Sơn Phủ Sàn GỗMáy Tính Hạt Giống CỏMáy Tính Cỏ NềnMáy Tính Nhựa ĐườngMáy Tính Yard KhốiMáy Tính Chiều Dài AntenMáy Tính Độ Lấp Đầy Ống Lót DâyMáy Tính Tụ Điện Nối Tiếp và Song SongMáy Tính Cảm KhángMáy Tính Chiếu Sáng PhòngMáy Tính Lux Sang LumenMáy Chuyển Đổi Lumen Sang WattMáy Tính Công Suất Máy Phát ĐiệnCông Cụ Chuyển Đổi mAh Sang WhMáy Tính Công Suất 3 PhaMáy Tính kVAMáy Tính Ampe Sang WattMáy Tính Watt Sang AmpeMáy Tính Điện Trở Nối TiếpMáy Tính Lực Ma SátMáy Tính Mặt Phẳng NghiêngMáy tính Lợi thế Cơ họcMáy tính Tốc độ Âm thanhMáy Tính Tốc Độ SóngMáy tính Lực nổiMáy tính Vận tốc Tới hạnMáy tính Bước sóng de BroglieMáy tính năng lượng photonMáy Tính E=mc²Máy Tính Giãn Nở Thời GianMáy tính Định luật thứ ba của KeplerMáy tính Vận tốc ThoátMáy Tính Lực Hấp DẫnMáy tính Định luật Beer-LambertMáy Tính Phương Trình NernstMáy tính Áp suất Thẩm thấuMáy Tính Độ Tăng Điểm SôiMáy Tính Độ Giảm Điểm Đông BăngMáy Tính Thành Phần Phần TrămMáy Tính Nồng Độ Đương LượngMáy tính Nồng độ MolanBộ Chuyển Đổi pKa Sang KaMáy tính Henderson-HasselbalchMáy Tính Sản Lượng Lý ThuyếtMáy tính Chất phản ứng Giới hạnMáy tính Cấu hình ElectronBảng tuần hoàn tương tácTrình Tạo Giáo Án AITrình tạo Câu đố AITrình tạo trích dẫn (APA/MLA/Chicago)Máy Tính Phần Trăm Điểm DanhMáy Tính Điểm APMáy Tính Điểm ACTMáy Tính Điểm SATChuyển đổi Phần trăm sang CGPATrình chuyển đổi CGPA sang phần trămCông Cụ Chấm Điểm Dễ Dàng (EZ Grader)Máy tính Chi phí Nuôi conMáy Tính Lượng Sữa Cho BéMáy Tính Kích Cỡ TãTrình Tạo Tên Em BéCông Cụ Dự Đoán Màu Mắt Em BéMáy Tính Phân Vị BMI Cho Trẻ EmCông Cụ Dự Đoán Chiều Cao Của TrẻMáy Tính Thời Gian Tăng Gấp Đôi hCGMáy tính ngày dự sinh IVFMáy tính làm tổ của phôiCông cụ dự đoán giới tính kiểu Trung QuốcCông cụ định dạng ngày ISO 8601Trình Chuyển Đổi Ngày JulianNap CalculatorMáy tính Pha Mặt TrăngMáy tính hoàng hôn và bình minhWorld ClockBộ chuyển đổi Ngày sang Chữ số La MãĐếm Ngược Đến Khi Nghỉ HưuMáy Tính Cai NghiệnMáy Tính Nửa Sinh NhậtMáy Tính Ngày Kỷ NiệmMáy Tính Chia Tiền BoaMáy Tính ROI Email MarketingMáy tính Chi phí trên Mỗi Khách hàng Tiềm năngMáy Tính Vốn Lưu ĐộngMáy tính số dư đảm phíMáy tính FIFO / LIFOMáy Tính Tồn Kho An ToànMáy Tính Điểm Đặt Hàng LạiMáy tính Lượng đặt hàng Kinh tế EOQMáy Tính Khấu HaoMáy Tính Giá Đồ Thủ CôngMáy tính giá bán buônMáy tính Lợi nhuận ShopifyMáy tính Amazon FBAMáy Tính Phí eBayMáy tính phí EtsyMáy tính Phí StripeMáy Tính Phí PayPalCông Cụ Chuyển Đổi Tỷ Lệ CượcMáy Tính Tiền Dâng Một Phần MườiMáy tính ZakatMáy Tính Thuế Trước Bạ Vương Quốc AnhMáy Tính Miễn Thuế HRAMáy tính GratuityMáy tính NPSMáy tính EPFMáy tính PPFMáy tính RDMáy tính SWPMáy Tính Gross-UpMáy Tính So Sánh Khoản VayMáy Tính Tỷ Lệ Sử Dụng Tín DụngMáy Tính Bậc Thang CDMáy tính Tín phiếu Kho bạc T-BillMáy Tính Trái Phiếu IMáy tính Tiết kiệm Đại học 529Máy tính HSAMáy Tính Trợ Cấp Thôi ViệcMáy Tính Tăng LươngTrình tạo Hóa đơnMáy Tính Công Tác PhíMáy tính Hoàn tiền Quãng đườngMáy Tính Tăng Tiền Thuê NhàMáy Tính Tiền Thuê Theo Tỷ LệMáy tính Khả năng Chi trả Tiền thuê nhàMáy Tính Giá Lăn Bánh Ô TôMáy Tính Khả Năng Mua XeMáy Tính Khoản Vay Xe MáyMáy Tính Khoản Vay Xe RVMáy Tính Khoản Vay Mua ThuyềnMáy Tính Khoản Vay ĐấtMáy Tính Khoản Vay Xây DựngMáy Tính Vay Thế Chấp Chỉ Trả LãiMáy Tính Khoản Vay Bong BóngMáy Tính Điểm Vay Thế ChấpMáy Tính PMIMáy Tính Thanh Toán Thế Chấp Hai Tuần Một LầnMáy Tính Vay Thế Chấp ARMMáy Tính Khoản Vay VAMáy Tính Lương Thực NhậnTrình tạo truy vấn SQL bằng AITrình Tạo RegEx AICông cụ Phân tích Giọng văn bằng AICông cụ Phân tích CV bằng AICông cụ Chuyển đổi Đơn vị AI (Ngôn ngữ Tự nhiên)Trình Viết Thư Xin Lỗi AITrình Tạo Lời Từ Chối Lịch Sự Bằng AITrình Tạo Lịch Trình Du Lịch AITrình Tạo Danh Sách Đọc Sách AITrình Tạo Kế Hoạch Tập Luyện AITrình Tạo Kế Hoạch Bữa Ăn AITrình Tạo Ý Tưởng Quà Tặng AITrình Tạo Công Thức Nấu Ăn AI Từ Nguyên LiệuMáy Tính ROI Học BổngMáy Tính Chi Phí Đại HọcMáy Tính Số Giờ Học Để Thông Thạo Ngôn NgữTrình Tạo Câu Đố Từ VựngTrình tạo Ghi chú CornellMáy Tính Đường Cong Học TậpBộ Lập Lịch Lặp Lại Ngắt Quãng Thẻ Ghi NhớMáy Tính Pha Trộn Màu SơnMáy Tính Keo Chà Ròn GạchMáy Tính Năng Lực Quá Trình Six SigmaTrình tải hình thu nhỏ YouTubeTrình tạo nhân vật RPG ngẫu nhiên