Từ năm 2010 · Hơn 2 triệu lượt chạy công cụ mỗi tháng
Từ năm 2010
Thêm vào Chrome

Hộp Công Cụ Của Tôi

Chế Độ Tự Động

Chưa có công cụ nào được lưu.

Nâng Cấp Lên Phiên Bản Cao Cấp
Công cụ liên quan
Máy Tính Tích Phân MặtMáy tính Kiểm tra Hội tụ ChuỗiMáy tính giới hạnMáy Tính Tổng Chuỗi Vô HạnMáy tính Quy tắc L'HôpitalMáy tính Thể tích Vật thể Tròn xoayTrình Kiểm Tra Kích Thước Thu Thập Googlebot
Trang chủ > Toán học > Giải tích
 

Máy Tính Tích Phân Suy Rộng

Tính tích phân suy rộng với cận vô hạn hoặc điểm gián đoạn. Hỗ trợ cận vô hạn Loại I và hàm không giới nội Loại II, kèm lời giải từng bước, phân tích hội tụ, hình minh họa và so sánh giới hạn cắt.

Sử dụng miễn phíKhông cần đăng kýKết quả tức thì
Máy Tính Tích Phân Suy RộngDùng thử ngay — miễn phí ▼
Thử:
XEM TRƯỚC TÍCH PHÂN
$$\int_{0}^{\infty} f(x) \, dx$$
📐 Hàm dưới dấu tích phân
Hỗ trợ: x^2, sqrt(x), sin(x), cos(x), exp(x), ln(x), pi, e
📏 Cận
Cận dưới hữu hạn
Cận trên là ∞

Embed Máy Tính Tích Phân Suy Rộng Widget

Giới thiệu về Máy Tính Tích Phân Suy Rộng

Máy tính Tích phân Suy rộng đánh giá các tích phân liên quan đến các cận vô hạn hoặc các điểm gián đoạn trong hàm dưới dấu tích phân — những trường hợp mà các kỹ thuật tích phân tiêu chuẩn không thể áp dụng trực tiếp. Những tích phân này thường xuyên xuất hiện trong xác suất, vật lý, kỹ thuật và toán học nâng cao. Máy tính này sử dụng các phương pháp số thích ứng để xác định xem một tích phân suy rộng hội tụ hay phân kỳ, và cung cấp các xấp xỉ số chính xác cùng với các hình ảnh trực quan động và phân tích sự hội tụ.

Các loại tích phân suy rộng

→∞
Loại I: Cận trên vô hạn
Tích phân \( \int_a^{\infty} f(x)\,dx \) được tính là \( \lim_{t\to\infty} \int_a^t f(x)\,dx \). Ví dụ: \( \int_1^{\infty} \frac{1}{x^2}\,dx = 1 \)
-∞→
Loại I: Cận dưới vô hạn
Tích phân \( \int_{-\infty}^b f(x)\,dx \) được tính là \( \lim_{t\to -\infty} \int_t^b f(x)\,dx \). Ví dụ: \( \int_{-\infty}^0 e^x\,dx = 1 \)
±∞
Loại I: Cả hai cận vô hạn
Chia tại một điểm thuận tiện: \( \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx = \int_{-\infty}^0 f(x)\,dx + \int_0^{\infty} f(x)\,dx \). Cả hai nửa phải hội tụ độc lập.
⚡
Loại II: Gián đoạn
Khi f(x) có tiệm cận đứng tại một cận, tiếp cận nó như một giới hạn: \( \lim_{\varepsilon\to 0^+} \int_{a+\varepsilon}^b f(x)\,dx \). Ví dụ: \( \int_0^1 \frac{1}{\sqrt{x}}\,dx = 2 \)

Cách sử dụng Máy tính Tích phân Suy rộng

  1. Nhập hàm số của bạn — Nhập f(x) bằng ký hiệu tiêu chuẩn. Ví dụ: 1/x^2, exp(-x^2), 1/(1+x^2), 1/sqrt(x).
  2. Chọn loại tích phân — Chọn xem tích phân có cận trên vô hạn, cận dưới vô hạn, cả hai cận vô hạn, hay có điểm gián đoạn tại một trong các cận.
  3. Đặt (các) cận hữu hạn — Nhập các cận bắt buộc. Đối với các cận vô hạn, chỉ cần cận hữu hạn. Đối với các loại gián đoạn, hãy nhập cả hai cận.
  4. Nhấp vào Tính toán — Máy tính xác định sự hội tụ hoặc phân kỳ, hiển thị giá trị số (nếu hội tụ), cung cấp trực quan hóa diện tích bằng hoạt ảnh, bảng hội tụ cho thấy giá trị ổn định như thế nào khi giới hạn cắt cụt tăng lên, và giải pháp từng bước.

p-Test cho sự hội tụ

Một trong những phép thử hội tụ quan trọng nhất cho tích phân suy rộng:

Tích phânĐiều kiệnKết quả
\( \int_1^{\infty} \frac{1}{x^p}\,dx \)p > 1Hội tụ về \( \frac{1}{p-1} \)
\( \int_1^{\infty} \frac{1}{x^p}\,dx \)p ≤ 1Phân kỳ
\( \int_0^1 \frac{1}{x^p}\,dx \)p < 1Hội tụ về \( \frac{1}{1-p} \)
\( \int_0^1 \frac{1}{x^p}\,dx \)p ≥ 1Phân kỳ

Các tích phân suy rộng nổi tiếng

Tích phânGiá trị chính xácTên/Ứng dụng
\( \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2}\,dx \)\( \sqrt{\pi} \approx 1.7725 \)Tích phân Gaussian (xác suất, vật lý)
\( \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{1+x^2}\,dx \)\( \pi \approx 3.1416 \)Phân phối Cauchy/Lorentz
\( \int_0^{\infty} e^{-x}\,dx \)1Suy giảm lũy thừa
\( \int_0^{\infty} \frac{\sin(x)}{x}\,dx \)\( \frac{\pi}{2} \approx 1.5708 \)Tích phân Dirichlet (xử lý tín hiệu)
\( \int_0^1 \frac{1}{\sqrt{x}}\,dx \)2Loại II, p-test với p = 1/2

Các ứng dụng phổ biến

Các câu hỏi thường gặp

Tích phân suy rộng là gì?
Tích phân suy rộng là tích phân trong đó một hoặc cả hai cận tích phân là vô hạn, hoặc hàm dưới dấu tích phân có điểm gián đoạn (tiệm cận đứng) trong khoảng tích phân. Chúng được tính toán dưới dạng giới hạn: cận vô hạn được thay thế bằng một biến tiến tới vô hạn, hoặc điểm gián đoạn được tiếp cận từ phía thích hợp.
Làm thế nào để xác định một tích phân suy rộng hội tụ hay phân kỳ?
Một tích phân suy rộng hội tụ nếu giới hạn tồn tại và hữu hạn. Nó phân kỳ nếu giới hạn là vô hạn hoặc không tồn tại. Các phép thử hội tụ phổ biến bao gồm p-test (tích phân của 1/x^p hội tụ khi p > 1), phép thử so sánh và phép thử so sánh giới hạn. Máy tính này xác định sự hội tụ bằng phương pháp số bằng cách đánh giá với giới hạn cắt cụt tăng dần và kiểm tra xem các giá trị có ổn định hay không.
Sự khác biệt giữa tích phân suy rộng Loại I và Loại II là gì?
Tích phân suy rộng Loại I có một hoặc cả hai cận tích phân là vô hạn (ví dụ: tích phân từ 1 đến vô cực). Tích phân suy rộng Loại II có điểm gián đoạn trong hàm dưới dấu tích phân trong khoảng tích phân (ví dụ: tích phân của 1/sqrt(x) từ 0 đến 1, trong đó hàm số không xác định tại x = 0).
Tích phân Gaussian là gì?
Tích phân Gaussian là tích phân của e^(-x²) từ âm vô cực đến dương vô cực, bằng căn bậc hai của pi (xấp xỉ 1.7725). Đây là một trong những tích phân suy rộng nổi tiếng nhất và là nền tảng trong lý thuyết xác suất, thống kê và vật lý. Nó không thể được tính toán bằng các nguyên hàm sơ cấp.
Máy tính này có thể tìm ra câu trả lời ký hiệu chính xác không?
Máy tính này sử dụng các phương pháp số (cầu phương Simpson thích ứng) để xấp xỉ giá trị của tích phân suy rộng. Nó cung cấp kết quả số có độ chính xác cao và xác định sự hội tụ hoặc phân kỳ. Đối với một số tích phân nổi tiếng như tích phân Gaussian, nó cũng hiển thị giá trị chính xác đã biết để so sánh.

Tham khảo nội dung, trang hoặc công cụ này như sau:

"Máy Tính Tích Phân Suy Rộng" tại https://MiniWebtool.com/vi/may-tinh-tich-phan-suy-rong/ từ MiniWebtool, https://MiniWebtool.com/

bởi đội ngũ miniwebtool. Cập nhật: 2026-04-05

Bạn cũng có thể thử AI Giải Toán GPT của chúng tôi để giải quyết các vấn đề toán học của bạn thông qua câu hỏi và trả lời bằng ngôn ngữ tự nhiên.

Giải tích:

Công cụ phổ biến và mới cập nhật:

Máy tính tích phân képMáy Tính Tích Phân ĐườngMáy tính tích phân ba lớpXem tất cả →
Trang chủ > Toán học > Giải tích > Máy Tính Tích Phân Suy Rộng