Đơn giản hóa quy trình làm việc của bạn: Tìm kiếm miniwebtool.
Thêm
Xem thêm
Máy Tính Tích Có HướngMáy Tính Góc Giữa Các VectoMáy tính Phép chiếu VectorMáy tính VectorMáy Tính Độ Lớn VectoMáy Tính Vecto Đơn VịMáy tính Gram-Schmidt
Trang chủ > Toán học > Đại số Tuyến tính > Máy Tính Tích Vô Hướng
 

Máy Tính Tích Vô Hướng

Tính tích vô hướng (scalar product) của hai vectơ trong không gian 2D, 3D hoặc nhiều chiều hơn. Nhận kết quả về góc giữa các vectơ, độ dài, hình chiếu vô hướng và hình chiếu vectơ, diễn giải hình học và các công thức từng bước với sơ đồ vectơ tương tác.

Máy Tính Tích Vô Hướng
Ví dụ:
XEM TRƯỚC VECTƠ TRỰC TIẾP
Vectơ acách nhau bằng dấu phẩy
·
Vectơ bcách nhau bằng dấu phẩy

Embed Máy Tính Tích Vô Hướng Widget

Giới thiệu về Máy Tính Tích Vô Hướng

Máy tính Tích vô hướng tính tích vô hướng của hai vectơ trong không gian 2D, 3D hoặc các chiều cao hơn bằng công thức đại số \(\vec{a} \cdot \vec{b} = \sum_{i=1}^{n} a_i b_i\). Nhập các thành phần của hai vectơ của bạn để nhận ngay tích vô hướng, góc giữa các vectơ, độ lớn, hình chiếu đại số và vectơ, giải thích hình học và giải pháp từng bước với sơ đồ vectơ tương tác.

Ứng dụng trong Thế giới thực

⚡
Vật lý: Công
W = F · d tính công sinh ra bởi một lực
💡
Ánh sáng
Đổ bóng Lambertian sử dụng N · L cho độ sáng
🤖
Học máy
Độ tương đồng Cosine đo lường mức độ liên quan
🎮
Phát triển Game
Kiểm tra va chạm và tầm nhìn
📡
Xử lý tín hiệu
Tương quan giữa các tín hiệu qua tích nội hướng
🏗
Kỹ thuật
Phân tích các thành phần lực theo các hướng

Các Công thức Chính

Thuộc tínhCông thứcMô tả
Tích vô hướng\(\vec{a} \cdot \vec{b} = \sum a_i b_i\)Tổng các tích của từng thành phần
Dạng hình học\(\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta\)Tích các độ lớn nhân với cosine của góc
Góc\(\theta = \arccos\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}\)Góc giữa hai vectơ (từ 0° đến 180°)
Độ lớn\(|\vec{a}| = \sqrt{\sum a_i^2}\)Chiều dài (chuẩn Euclidean) của một vectơ
Hình chiếu đại số\(\text{comp}_{\vec{b}}\vec{a} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|}\)Độ dài có dấu của "bóng" a lên b
Hình chiếu vectơ\(\text{proj}_{\vec{b}}\vec{a} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|^2}\vec{b}\)Thành phần vectơ của a dọc theo b

Tích vô hướng vs. Tích có hướng

Tích vô hướng (a · b)

Tạo ra một giá trị đại lượng vô hướng. Hoạt động trong bất kỳ số chiều nào (2D, 3D, nD). Đo lường mức độ hai vectơ cùng hướng. Bằng không khi các vectơ vuông góc. Được sử dụng cho hình chiếu, góc và tính toán công.

Tích có hướng (a × b)

Tạo ra một vectơ vuông góc với cả hai vectơ đầu vào. Chỉ được xác định trong không gian 3D (và 7D). Độ lớn bằng diện tích hình bình hành tạo bởi các vectơ. Bằng không khi các vectơ song song. Được sử dụng cho mô-men xoắn, vectơ pháp tuyến và tính toán diện tích.

Hiểu về Giải thích Hình học

Tích vô hướng có ý nghĩa hình học sâu sắc: \(\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta\). Điều này cho chúng ta biết:

Hình chiếu đại số của \(\vec{a}\) lên \(\vec{b}\) cho biết độ dài có dấu của "bóng" của \(\vec{a}\) khi ánh sáng chiếu vuông góc với \(\vec{b}\). Hình chiếu vectơ biểu diễn cái bóng này dưới dạng một vectơ thực tế dọc theo \(\vec{b}\).

Cách sử dụng Máy tính Tích vô hướng

  1. Chọn số chiều: Chọn 2D, 3D, 4D hoặc Tùy chỉnh cho các chiều cao hơn. Nhấp vào một ví dụ nhanh để tự động điền các giá trị mẫu.
  2. Nhập Vectơ a: Nhập các thành phần cách nhau bởi dấu phẩy (ví dụ: 3, 4, 5 cho vectơ 3D).
  3. Nhập Vectơ b: Nhập các thành phần của vectơ thứ hai cùng số chiều.
  4. Xem bản xem trước trực tiếp: Sơ đồ vectơ cập nhật theo thời gian thực khi bạn nhập, hiển thị mối quan hệ không gian và góc giữa các vectơ.
  5. Nhấp Tính toán: Nhấn nút để nhận kết quả đầy đủ bao gồm tích vô hướng, góc, độ lớn, hình chiếu, giải thích và các công thức từng bước.

Tính chất của Tích vô hướng

FAQ

Tích vô hướng của hai vectơ là gì?
Tích vô hướng (còn được gọi là tích vô hướng chính tắc) của hai vectơ a và b là tổng tích các thành phần tương ứng của chúng: a · b = a₁b₁ + a₂b₂ + ... + aₙbₙ. Nó tạo ra một giá trị vô hướng duy nhất, không phải là một vectơ. Về mặt hình học, nó bằng |a||b|cos θ, trong đó θ là góc giữa các vectơ.
Làm thế nào để tìm góc giữa hai vectơ bằng tích vô hướng?
Sử dụng công thức θ = arccos(a · b / (|a| × |b|)). Đầu tiên tính tích vô hướng, sau đó chia cho tích của hai độ lớn để có cos θ, và cuối cùng lấy nghịch đảo cosine. Kết quả luôn nằm trong khoảng từ 0° đến 180°.
Tích vô hướng bằng không có ý nghĩa gì?
Khi tích vô hướng của hai vectơ khác không bằng không, các vectơ đó vuông góc (trực giao) với nhau, nghĩa là chúng tạo thành một góc 90°. Đây là một trong những tính chất quan trọng nhất của tích vô hướng và được sử dụng rộng rãi trong đại số tuyến tính, vật lý và đồ họa máy tính để kiểm tra tính vuông góc.
Sự khác biệt giữa tích vô hướng và tích có hướng là gì?
Tích vô hướng tạo ra một đại lượng vô hướng và đo lường mức độ căn chỉnh của hai vectơ. Nó hoạt động trong bất kỳ số chiều nào. Tích có hướng tạo ra một vectơ vuông góc với cả hai đầu vào và chỉ được xác định trong không gian 3D. Tích vô hướng được dùng cho góc và hình chiếu; tích có hướng được dùng cho mô-men xoắn, pháp tuyến bề mặt và tính toán diện tích.
Hình chiếu vectơ là gì?
Hình chiếu vectơ của a lên b là thành phần của vectơ a nằm dọc theo hướng của b. Nó bằng (a · b / |b|²) × b. Hình chiếu đại số (còn gọi là thành phần) là a · b / |b|, cho độ dài có dấu của hình chiếu này. Nếu hình chiếu đại số dương, a có thành phần theo hướng b; nếu âm, nó hướng ngược lại b.

Tham khảo nội dung, trang hoặc công cụ này như sau:

"Máy Tính Tích Vô Hướng" tại https://MiniWebtool.com/vi/may-tinh-tich-vo-huong/ từ MiniWebtool, https://MiniWebtool.com/

bởi đội ngũ miniwebtool. Cập nhật: 2026-04-09

Có API dành cho developer: Chạy công cụ này từ ứng dụng, tự động hóa hoặc agent của bạn bằng một yêu cầu HTTP JSON. Xem tài liệu API

Bạn cũng có thể thử AI Giải Toán GPT của chúng tôi để giải quyết các vấn đề toán học của bạn thông qua câu hỏi và trả lời bằng ngôn ngữ tự nhiên.

Đại số Tuyến tính:

Công cụ nổi bật:

Máy tính tuổiTrình Trích Xuất Ảnh từ VideoTrình tạo bài tây ngẫu nhiênMáy Tính Số Mũ (Độ Chính Xác Cao)Tra cứu ID người dùng FacebookCông cụ Mã hóa Caesar⏱️ Máy Tính GiờCông cụ chuyển đổi kg sang lbsCông cụ đếm hàng🖱️ Bộ Đếm ClickMáy tính Phân tích Thừa số Nguyên tốTra cứu ID người dùng InstagramBộ chuyển đổi thập phân sang nhị phânMáy tính thương và số dưTìm kiếm trích dẫn (Tiếng Anh)Máy tính phân số tối giảnCông cụ chuyển đổi nhị phân sang thập phânCông cụ chuyển đổi chữ số La MãTrình tạo chuỗi ngẫu nhiênMáy tính giảm giá phần trămCông cụ đổi Pound sang KilogramTrình Luyện Toán NhẩmTrình tạo nhánh giải đấu ngẫu nhiênĐây có phải là Số Nguyên Tố?Đảo ngược văn bảnTrình tạo oẳn tù tìTrình Tạo Mã MorseMáy tính ngày trong năm - Hôm nay là ngày thứ mấy trong nămThống kê Kênh YouTubeMáy tính thời gianBộ Chuyển Đổi Số Sang ChữMáy tính thập phân sang phân sốTrình nhân hóa văn bản AIĐổ xúc xắcTrình phát hiện nội dung AIXóa dấu cáchSắp xếp sốMáy tính nhị phânMáy tính Kiểm tra Chia hếtMáy Tính Số Tuần📅 Máy tính ngàyBộ chuyển đổi Feet và Inch sang Cm📈 Công Cụ Tạo Biểu Đồ ĐườngMáy tính Cạnh huyềnCông Cụ Vẽ Đồ Thị Hệ Bất Phương TrìnhSo sánh hai chuỗiTrình Tạo Công Thức Nấu Ăn AI Từ Nguyên LiệuMáy tính căn bậc haiMáy tính chuyển đổi phân số sang số thập phânMáy tính HEXTrình trích xuất âm thanhTrình tạo thẻ Bingo📷 OCR Chuyển Ảnh Thành Văn BảnCông cụ tạo nhóm ngẫu nhiênBộ lặp MP3🔍 Kiểm tra Đạo vănBộ chuyển đổi FPS⏰ Đồng Hồ Báo Thức Trực TuyếnBộ chọn bình luận YouTubeBộ chuyển đổi HEXMáy tính ĐiệnChuyển đổi CSV sang JSONGhép VideoMáy Giải Phương Trình Bậc BaSắp xếp theo thứ tự bảng chữ cáiMáy Tính Kích Thước TVCon số may mắn của tôi là gì?Công cụ loại bỏ dấu câu trực tuyếnTrình Tạo Lệnh GitTrình tạo thẻ tín dụng ngẫu nhiênTạo Ô ChữBộ chuyển đổi hex sang thập phânBộ chuyển đổi Thập phân sang Thập lục phânMáy Tính Vận TốcMáy tính So sánh Phân sốMáy tính định lý PythagoreCông cụ xáo trộn chữ cái⏱️ Đồng Hồ Bấm Giờ Trực TuyếnMáy tính trung bình mẫuCông cụ chuyển đổi kPa sang psiMáy tính Định luật Khí lý tưởngMáy tính độ F sang độ CTrình tạo tên ngẫu nhiênCông cụ chia ảnhMáy tính Gia tốcTrình chuyển đổi SRT sang TXTTrình nén VideoBộ chuyển đổi Nhị phân sang HexTrình tạo ngày sinh ngẫu nhiênChuyển đổi Số thành Phân sốBộ chuyển đổi Hex sang RGBDanh sách các số nguyên tốTạo và giải SudokuCân Bằng Phương Trình Hóa HọcChữ Thường - Chữ HoaMáy Tính Điểm SốMáy Tính Mật ĐộMáy tính Cung Mặt trời, Mặt trăng & Cung mọc 🌞🌙✨Máy tính Độ dốc và CấpTrình tạo chữ cái ngẫu nhiênCông cụ chuyển đổi cm sang feet và inchCông cụ tạo User-Agent ngẫu nhiênMáy Tính Lực Xi Lanh Thủy LựcMáy tính Ước số chung lớn nhấtBộ chuyển đổi hệ cơ sốBộ chuyển đổi RGB sang HexMáy tính BSATrình tạo số xổ sốTung đồng xu⏱️ Bộ Đếm Ngược Thời GianMáy Tính LựcMáy Tính Tỷ Lệ Bánh MìBộ Chia Âm ThanhCông cụ Giải Bản đồ Karnaugh (K-Map)Công cụ chuyển đổi từ mẫu sang héc-taMáy tính GFRCông cụ chuyển đổi psi sang kPaMáy Tính Ký Hiệu Sigma (Tổng)Máy Tính Năng Lượng Thế NăngCông cụ chuyển đổi Phần trăm sang PPMCông cụ chuyển đổi độ thập phân sang DMSDanh sách Dãy số FibonacciMáy tính Bước sóng de BroglieMáy tính Cầu thangXoay VideoLịch trăng non và trăng trònMáy tính tuổi sinh họcCông cụ ước tính thu nhập YouTubeCông cụ chuyển đổi thời gian phân sốMáy Tính Giá Đơn VịCông cụ chuyển đổi hệ thập lục phân sang nhị phânLịch Sao Thủy Nghịch HànhMáy tính dinh dưỡng công thức nấu ănMáy Tính Tỷ Số Nén Động CơMáy tính BMRMáy Tính Giờ Làm ViệcTrình soạn thảo MarkdownĐiều chỉnh tốc độ videoChuyển đổi Dặm sang KmMáy tính Pha Mặt TrăngMáy tính tanMáy tính Định lý CosinTrình Mô Phỏng Bàn Tính Soroban NhậtChọn tên ngẫu nhiênMáy tính thâm hụt caloTra Cứu Địa Chỉ MACTrình tạo từ ngẫu nhiên tiếng AnhTrình tạo đồ vật ngẫu nhiênCông cụ chuyển đổi centimet sang inchMáy tính Vị trí Mặt trờiMáy tính Công thức Dây giàyMáy tính giai thừaMáy tính phân sốMáy Tính Độ Lệch Chuẩn Tương ĐốiTrình tạo mê cungTrình tạo địa chỉ giả ngẫu nhiênBộ chuyển đổi địa chỉ IP sang nhị phânChuyển đổi CMYK sang HEXCông cụ chuyển đổi Radian sang ĐộLấy độ dài chuỗiMáy tính ModuloMáy tính Natri hiệu chuẩnMáy tính Thống kêĐố Vui Bảng Cửu ChươngTrình chuyển đổi HTML sang văn bảnBộ nén hình ảnhCông cụ chuyển đổi bát phân sang thập phânCông cụ tạo văn bản vô hìnhMáy Tính Chiều Cao Lắp Đặt TVMáy tính RREF (Dạng Bậc Thang Rút Gọn)Máy tính Vận tốc GócMáy Tính Chu Vi Hình ElipChuyển Đổi Mô-men Xoắn (Nm, ft-lb, kgf-cm)Chuyển đổi Thời gian SRTCông cụ chuyển đổi Mg sang MlCông Cụ Dự Đoán Chiều Cao Của TrẻHẹn Giờ Học PomodoroMáy tính checkout phi tiêuMáy tính phần trăm lợi nhuậnTrình chuyển đổi HEX sang CMYKBộ Chuyển Đổi Nhị PhânDanh sách năm nhuậnMáy Tính Làm TrònSố ngẫu nhiênTrình tạo ngày ngẫu nhiênBảo vệ PDFThêm số trang vào PDFSắp xếp lại trang PDFXóa trang PDFXoay PDFChuyển JPG sang PDFPDF sang JPGNén PDFTách PDFGộp PDFCông cụ chuyển đổi PT sang PXCông cụ chuyển đổi PX sang REMCông cụ chuyển đổi Tola sang GramCông cụ chuyển đổi đơn vị đất Ấn ĐộCông cụ chuyển đổi mcg sang mgTrình tạo lời bài hát AITrình tạo thơ AITrình tạo truyện AITrình dịch AICông cụ Tóm tắt Văn bản AIBộ chuyển đổi MPH sang KMH / KMH sang MPHCông cụ chuyển đổi hải lý trên giờ sang MPHMét khối sang feet khốiCông cụ chuyển đổi feet khối sang yard khốiCông cụ chuyển đổi feet vuông sang mét vuôngBộ chuyển đổi mét vuông sang feet vuôngBộ chuyển đổi Oz sang MLBộ chuyển đổi ML sang ozBộ chuyển đổi gallon sang lítCông cụ chuyển đổi lít sang gallonChuyển Đổi Kg Sang StoneMáy Chuyển Đổi Stone Sang KgCông cụ chuyển đổi inch sang milimetCông cụ chuyển đổi milimet sang inchBộ chuyển đổi Km sang DặmBộ chuyển đổi Fahrenheit sang CelsiusMáy đổi Celsius sang FahrenheitCông cụ tính cỡ ba lôCông cụ tính thể tích ván lướt sóngCông cụ tính cỡ cán vợt tennisMáy tính kích thước mũ bảo hiểmCông cụ tính cỡ găng tayCông cụ chuyển đổi cỡ mũMáy tính kích thước ván trượt tuyếtCông cụ tính kích thước ván trượtCông cụ tính kích thước xe đạpBộ hẹn giờ Split SpeedrunMáy tính StablefordMáy tính Economy Bowling CricketMáy tính Strike Rate CricketMáy tính Net Run RateMáy Tính Tỷ Lệ K/DMáy Tính Xếp Hạng EloMáy tính phục hồi nhịp timMáy Tính Thời Gian Đi Bộ Đường DàiMáy tính Pace Chèo thuyềnMáy Tính Hiệu Suất Chạy Theo TuổiMáy tính FTP và Vùng Công suấtMáy Tính Beep TestMáy tính Điểm ACFTMáy tính Wilks & DOTSMáy tính Offset Bánh xeTra cứu Chỉ số Tải trọng & Xếp hạng Tốc độ LốpMáy tính Chi phí Mỗi DặmMáy Tính Mua Lại Hợp Đồng ThuêMáy Tính Pha Trộn OctanMáy Tính Pha Nhớt Xăng 2 ThìMáy Tính Dung Tích Động CơMáy Tính Ghế Sofa Qua CửaMáy Tính Dây CủiMáy Tính CADR Máy Lọc Không KhíMáy Tính Kích Thước Máy Hút ẨmMáy Tính Kích Thước Quạt TrầnMáy Tính Kích Thước Rèm CửaMáy Tính Kích Thước ThảmMáy tính chiều cao treo tranhMáy Tính Thể Tích và Bạt Lót HồMáy Tính Muối Hồ BộiMáy Tính Thể Tích Hồ BơiMáy Tính Kích Thước Máy Nước NóngMáy Tính Nhựa EpoxyMáy Tính Khoảng Cách Con Tiện Lan CanMáy Tính Len Chân Tường và Nẹp Trang TríMáy Tính Ốp TườngMáy Tính Sơn Phủ Sàn GỗMáy Tính Hạt Giống CỏMáy Tính Cỏ NềnMáy Tính Nhựa ĐườngMáy Tính Yard KhốiMáy Tính Chiều Dài AntenMáy Tính Độ Lấp Đầy Ống Lót DâyMáy Tính Tụ Điện Nối Tiếp và Song SongMáy Tính Cảm KhángMáy Tính Chiếu Sáng PhòngMáy Tính Lux Sang LumenMáy Chuyển Đổi Lumen Sang WattMáy Tính Công Suất Máy Phát ĐiệnCông Cụ Chuyển Đổi mAh Sang WhMáy Tính Công Suất 3 PhaMáy Tính kVAMáy Tính Ampe Sang WattMáy Tính Watt Sang AmpeMáy Tính Điện Trở Nối TiếpMáy Tính Lực Ma SátMáy Tính Mặt Phẳng NghiêngMáy tính Lợi thế Cơ họcMáy tính Tốc độ Âm thanhMáy Tính Tốc Độ SóngMáy tính Lực nổiMáy tính Vận tốc Tới hạnMáy tính năng lượng photonMáy Tính E=mc²Máy Tính Giãn Nở Thời GianMáy tính Định luật thứ ba của KeplerMáy tính Vận tốc ThoátMáy Tính Lực Hấp DẫnMáy tính Định luật Beer-LambertMáy Tính Phương Trình NernstMáy tính Áp suất Thẩm thấuMáy Tính Độ Tăng Điểm SôiMáy Tính Độ Giảm Điểm Đông BăngMáy Tính Thành Phần Phần TrămMáy Tính Nồng Độ Đương LượngMáy tính Nồng độ MolanBộ Chuyển Đổi pKa Sang KaMáy tính Henderson-HasselbalchMáy Tính Sản Lượng Lý ThuyếtMáy tính Chất phản ứng Giới hạnMáy tính Cấu hình ElectronBảng tuần hoàn tương tácTrình Tạo Giáo Án AITrình tạo Câu đố AITrình tạo trích dẫn (APA/MLA/Chicago)Máy Tính Phần Trăm Điểm DanhMáy Tính Điểm APMáy Tính Điểm ACTMáy Tính Điểm SATChuyển đổi Phần trăm sang CGPATrình chuyển đổi CGPA sang phần trămCông Cụ Chấm Điểm Dễ Dàng (EZ Grader)Máy tính Chi phí Nuôi conMáy Tính Lượng Sữa Cho BéMáy Tính Kích Cỡ TãTrình Tạo Tên Em BéCông Cụ Dự Đoán Màu Mắt Em BéMáy Tính Phân Vị BMI Cho Trẻ EmMáy Tính Thời Gian Tăng Gấp Đôi hCGMáy tính ngày dự sinh IVFMáy tính làm tổ của phôiCông cụ dự đoán giới tính kiểu Trung QuốcCông cụ định dạng ngày ISO 8601Trình Chuyển Đổi Ngày JulianNap CalculatorMáy tính hoàng hôn và bình minhWorld ClockBộ chuyển đổi Ngày sang Chữ số La MãĐếm Ngược Đến Khi Nghỉ HưuMáy Tính Cai NghiệnMáy Tính Nửa Sinh NhậtMáy Tính Ngày Kỷ NiệmMáy Tính Chia Tiền BoaMáy Tính ROI Email MarketingMáy tính Chi phí trên Mỗi Khách hàng Tiềm năngMáy Tính Vốn Lưu ĐộngTrình tạo nhân vật RPG ngẫu nhiên