Từ năm 2010 · Hơn 2 triệu lượt chạy công cụ mỗi tháng
Từ năm 2010
Thêm vào Chrome

Hộp Công Cụ Của Tôi

Chế Độ Tự Động

Chưa có công cụ nào được lưu.

Nâng Cấp Lên Phiên Bản Cao Cấp
Công cụ liên quan
Máy Tính Tích Có HướngMáy Tính Góc Giữa Các VectoMáy tính Phép chiếu VectorMáy tính VectorMáy Tính Độ Lớn VectoMáy Tính Vecto Đơn VịMáy tính Gram-Schmidt
Trang chủ > Toán học > Đại số Tuyến tính > Máy Tính Tích Vô Hướng
 

Máy Tính Tích Vô Hướng

Tính tích vô hướng của hai vector trong không gian 2D, 3D hoặc nhiều chiều hơn. Nhận góc giữa hai vector, độ lớn, hình chiếu vô hướng và vector, ý nghĩa hình học và công thức từng bước kèm sơ đồ tương tác.

Sử dụng miễn phíKhông cần đăng kýKết quả tức thì
Máy Tính Tích Vô HướngDùng thử ngay — miễn phí ▼
Ví dụ:
XEM TRƯỚC VECTƠ TRỰC TIẾP
Vectơ acách nhau bằng dấu phẩy
·
Vectơ bcách nhau bằng dấu phẩy

Embed Máy Tính Tích Vô Hướng Widget

Giới thiệu về Máy Tính Tích Vô Hướng

Máy tính Tích vô hướng tính tích vô hướng của hai vectơ trong không gian 2D, 3D hoặc các chiều cao hơn bằng công thức đại số \(\vec{a} \cdot \vec{b} = \sum_{i=1}^{n} a_i b_i\). Nhập các thành phần của hai vectơ của bạn để nhận ngay tích vô hướng, góc giữa các vectơ, độ lớn, hình chiếu đại số và vectơ, giải thích hình học và giải pháp từng bước với sơ đồ vectơ tương tác.

Ứng dụng trong Thế giới thực

⚡
Vật lý: Công
W = F · d tính công sinh ra bởi một lực
💡
Ánh sáng
Đổ bóng Lambertian sử dụng N · L cho độ sáng
🤖
Học máy
Độ tương đồng Cosine đo lường mức độ liên quan
🎮
Phát triển Game
Kiểm tra va chạm và tầm nhìn
📡
Xử lý tín hiệu
Tương quan giữa các tín hiệu qua tích nội hướng
🏗
Kỹ thuật
Phân tích các thành phần lực theo các hướng

Các Công thức Chính

Thuộc tínhCông thứcMô tả
Tích vô hướng\(\vec{a} \cdot \vec{b} = \sum a_i b_i\)Tổng các tích của từng thành phần
Dạng hình học\(\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta\)Tích các độ lớn nhân với cosine của góc
Góc\(\theta = \arccos\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}\)Góc giữa hai vectơ (từ 0° đến 180°)
Độ lớn\(|\vec{a}| = \sqrt{\sum a_i^2}\)Chiều dài (chuẩn Euclidean) của một vectơ
Hình chiếu đại số\(\text{comp}_{\vec{b}}\vec{a} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|}\)Độ dài có dấu của "bóng" a lên b
Hình chiếu vectơ\(\text{proj}_{\vec{b}}\vec{a} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|^2}\vec{b}\)Thành phần vectơ của a dọc theo b

Tích vô hướng vs. Tích có hướng

Tích vô hướng (a · b)

Tạo ra một giá trị đại lượng vô hướng. Hoạt động trong bất kỳ số chiều nào (2D, 3D, nD). Đo lường mức độ hai vectơ cùng hướng. Bằng không khi các vectơ vuông góc. Được sử dụng cho hình chiếu, góc và tính toán công.

Tích có hướng (a × b)

Tạo ra một vectơ vuông góc với cả hai vectơ đầu vào. Chỉ được xác định trong không gian 3D (và 7D). Độ lớn bằng diện tích hình bình hành tạo bởi các vectơ. Bằng không khi các vectơ song song. Được sử dụng cho mô-men xoắn, vectơ pháp tuyến và tính toán diện tích.

Hiểu về Giải thích Hình học

Tích vô hướng có ý nghĩa hình học sâu sắc: \(\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta\). Điều này cho chúng ta biết:

Hình chiếu đại số của \(\vec{a}\) lên \(\vec{b}\) cho biết độ dài có dấu của "bóng" của \(\vec{a}\) khi ánh sáng chiếu vuông góc với \(\vec{b}\). Hình chiếu vectơ biểu diễn cái bóng này dưới dạng một vectơ thực tế dọc theo \(\vec{b}\).

Cách sử dụng Máy tính Tích vô hướng

  1. Chọn số chiều: Chọn 2D, 3D, 4D hoặc Tùy chỉnh cho các chiều cao hơn. Nhấp vào một ví dụ nhanh để tự động điền các giá trị mẫu.
  2. Nhập Vectơ a: Nhập các thành phần cách nhau bởi dấu phẩy (ví dụ: 3, 4, 5 cho vectơ 3D).
  3. Nhập Vectơ b: Nhập các thành phần của vectơ thứ hai cùng số chiều.
  4. Xem bản xem trước trực tiếp: Sơ đồ vectơ cập nhật theo thời gian thực khi bạn nhập, hiển thị mối quan hệ không gian và góc giữa các vectơ.
  5. Nhấp Tính toán: Nhấn nút để nhận kết quả đầy đủ bao gồm tích vô hướng, góc, độ lớn, hình chiếu, giải thích và các công thức từng bước.

Tính chất của Tích vô hướng

FAQ

Tích vô hướng của hai vectơ là gì?
Tích vô hướng (còn được gọi là tích vô hướng chính tắc) của hai vectơ a và b là tổng tích các thành phần tương ứng của chúng: a · b = a₁b₁ + a₂b₂ + ... + aₙbₙ. Nó tạo ra một giá trị vô hướng duy nhất, không phải là một vectơ. Về mặt hình học, nó bằng |a||b|cos θ, trong đó θ là góc giữa các vectơ.
Làm thế nào để tìm góc giữa hai vectơ bằng tích vô hướng?
Sử dụng công thức θ = arccos(a · b / (|a| × |b|)). Đầu tiên tính tích vô hướng, sau đó chia cho tích của hai độ lớn để có cos θ, và cuối cùng lấy nghịch đảo cosine. Kết quả luôn nằm trong khoảng từ 0° đến 180°.
Tích vô hướng bằng không có ý nghĩa gì?
Khi tích vô hướng của hai vectơ khác không bằng không, các vectơ đó vuông góc (trực giao) với nhau, nghĩa là chúng tạo thành một góc 90°. Đây là một trong những tính chất quan trọng nhất của tích vô hướng và được sử dụng rộng rãi trong đại số tuyến tính, vật lý và đồ họa máy tính để kiểm tra tính vuông góc.
Sự khác biệt giữa tích vô hướng và tích có hướng là gì?
Tích vô hướng tạo ra một đại lượng vô hướng và đo lường mức độ căn chỉnh của hai vectơ. Nó hoạt động trong bất kỳ số chiều nào. Tích có hướng tạo ra một vectơ vuông góc với cả hai đầu vào và chỉ được xác định trong không gian 3D. Tích vô hướng được dùng cho góc và hình chiếu; tích có hướng được dùng cho mô-men xoắn, pháp tuyến bề mặt và tính toán diện tích.
Hình chiếu vectơ là gì?
Hình chiếu vectơ của a lên b là thành phần của vectơ a nằm dọc theo hướng của b. Nó bằng (a · b / |b|²) × b. Hình chiếu đại số (còn gọi là thành phần) là a · b / |b|, cho độ dài có dấu của hình chiếu này. Nếu hình chiếu đại số dương, a có thành phần theo hướng b; nếu âm, nó hướng ngược lại b.

Tham khảo nội dung, trang hoặc công cụ này như sau:

"Máy Tính Tích Vô Hướng" tại https://MiniWebtool.com/vi/may-tinh-tich-vo-huong/ từ MiniWebtool, https://MiniWebtool.com/

bởi đội ngũ miniwebtool. Cập nhật: 2026-04-09

Có API dành cho developer: Chạy công cụ này từ ứng dụng, tự động hóa hoặc agent của bạn bằng một yêu cầu HTTP JSON. Xem tài liệu API

Bạn cũng có thể thử AI Giải Toán GPT của chúng tôi để giải quyết các vấn đề toán học của bạn thông qua câu hỏi và trả lời bằng ngôn ngữ tự nhiên.

Đại số Tuyến tính:

Công cụ phổ biến và mới cập nhật:

Máy tính tuổiTrình Trích Xuất Ảnh từ VideoTrình tạo bài tây ngẫu nhiênCông cụ Mã hóa CaesarTra cứu ID người dùng FacebookMáy Tính Số Mũ (Độ Chính Xác Cao)Công cụ đổi Pound sang KilogramTra cứu ID người dùng InstagramCông cụ chuyển đổi kg sang lbsCông cụ đếm hàng⏱️ Máy Tính GiờĐảo ngược văn bảnBộ chuyển đổi thập phân sang nhị phân🖱️ Bộ Đếm ClickTrình tạo chuỗi ngẫu nhiênBộ Chuyển Đổi Số Sang ChữSắp xếp sốMáy tính nhị phânTrình Luyện Toán NhẩmĐổ xúc xắcMáy tính giảm giá phần trămMáy tính thương và số dưTrình tạo oẳn tù tìTrình Tạo Mã MorseCông Cụ Vẽ Đồ Thị Hệ Bất Phương TrìnhTrình nhân hóa văn bản AITrình tạo đồ vật ngẫu nhiênCông cụ chuyển đổi chữ số La MãMáy tính Phân tích Thừa số Nguyên tốThống kê Kênh YouTubeMáy tính căn bậc haiTrình phát hiện nội dung AIBộ chuyển đổi HEXTrình trích xuất âm thanh📅 Máy tính ngàyMáy tính phân số tối giản📷 OCR Chuyển Ảnh Thành Văn BảnTrình tạo ngày sinh ngẫu nhiênCông cụ chuyển đổi nhị phân sang thập phânTrình nén VideoSắp xếp theo thứ tự bảng chữ cáiMáy tính thập phân sang phân số⏰ Đồng Hồ Báo Thức Trực TuyếnMáy tính thời gianĐây có phải là Số Nguyên Tố?🔍 Kiểm tra Đạo vănBộ chuyển đổi Thập phân sang Thập lục phânTrình tạo thẻ tín dụng ngẫu nhiênXóa dấu cáchBộ lặp MP3Máy Tính Số TuầnGhép VideoBộ chuyển đổi Feet và Inch sang CmCông cụ tạo Sự thật hay Thách đốBộ chuyển đổi FPSTạo Trò Chơi Tìm TừBộ chuyển đổi Nhị phân sang HexTrình tạo nhánh giải đấu ngẫu nhiênMáy tính Kiểm tra Chia hếtCông cụ xáo trộn chữ cáiMáy tính Cạnh huyềnGộp PDFBộ chuyển đổi hex sang thập phânTrình chuyển đổi SRT sang TXTCông cụ chuyển đổi cm sang feet và inchMáy tính chuyển đổi phân số sang số thập phânTrình tạo tên ngẫu nhiênCông cụ chia ảnhTung đồng xuDanh sách các số nguyên tốTrình tạo chữ cái ngẫu nhiênCông cụ chuyển đổi psi sang kPaCon số may mắn của tôi là gì?Máy Giải Phương Trình Bậc BaTạo Ô ChữCông cụ chuyển đổi milimet sang inchBộ chuyển đổi hệ cơ sốSo sánh hai chuỗiMáy tính Cung Mặt trời, Mặt trăng & Cung mọc 🌞🌙✨Máy tính Modulo⏱️ Bộ Đếm Ngược Thời GianChuyển đổi CSV sang JSONCông cụ vẽ đồ thị hàm sốTrình tạo thời gian ngẫu nhiênVòng Quay Chọn Tên Ngẫu NhiênMáy tính So sánh Phân sốTrình chuyển đổi hình ảnh sang nghệ thuật ASCIITra Cứu Địa Chỉ MACBộ chọn bình luận YouTubeBộ đếm ký tựCông cụ chuyển đổi Phần trăm sang PPMLấy độ dài chuỗiMáy Tính Điểm SôiMáy tính BMRMáy tính Ước số chung lớn nhấtBảng mã ASCIIChuyển đổi Số thành Phân sốChuyển đổi Nhị phân sang Bát phânCông cụ chuyển đổi thập phân sang bát phânMáy tính Độ dốc và CấpCông cụ chuyển đổi DMS sang độ thập phân⏱️ Đồng Hồ Bấm Giờ Trực TuyếnBộ chuyển đổi Hex sang RGBCông cụ chuyển đổi kPa sang psiCông cụ loại bỏ dấu câu trực tuyếnn chữ số đầu tiên của piMáy Tính Điểm SốMáy tính Công thức Dây giàyMáy tính HEXMáy tính Số Nhân CáchNén PDFTrình tạo PIN ngẫu nhiênCông cụ chuyển đổi pound sang gamCông cụ tạo nhóm ngẫu nhiênDanh sách năm nhuậnTrình tạo thẻ BingoTrình tạo từ ngẫu nhiên tiếng AnhMáy tính Pha Mặt TrăngMáy tính thừa số nguyên tốMáy tính phân sốTrình tạo mê cungXoay VideoĐiều chỉnh tốc độ videoBộ Chia Âm ThanhCông Cụ Dự Đoán Chiều Cao Của TrẻCông cụ chuyển đổi inch sang centimet📈 Công Cụ Tạo Biểu Đồ ĐườngCông cụ chuyển đổi centimet sang inchMáy tính BSAMáy tính giai thừaTạo và giải SudokuLịch trăng non và trăng trònMáy Tính Giờ Làm ViệcMáy tính trung bình mẫuTrình tạo số nguyên ngẫu nhiênMáy tính TổngBộ chia videoMáy Tính Chu Vi Hình ElipMáy tính mã màu điện trởMáy Tính Tỷ Lệ Bánh MìBộ chuyển đổi MPH sang KMH / KMH sang MPHBộ chuyển đổi RGB sang HexChuyển đổi Thời gian SRTCông cụ Chuyển đổi Tần số và Bước sóngDanh sách Dãy số FibonacciMáy tính thể tíchĐố Vui Bảng Cửu ChươngTrình soạn thảo MarkdownTrình tạo mã băm SHA256Trình tạo mã vạchTrình tạo địa chỉ giả ngẫu nhiênCông cụ chuyển đổi hệ thập lục phân sang nhị phânCông cụ chuyển đổi phân số thành hỗn sốMáy tính GFR💧 Máy Tính Điểm SươngMáy tính Cầu thangMáy tính phần trăm tăng trưởngTrình truy vết ảnh sang SVGBộ Đếm Token AIBộ Chuyển Đổi Nhị PhânCân Bằng Phương Trình Hóa HọcChuyển JPG sang PDFChuyển đổi Dặm sang KmChuyển đổi Tốc độ Truyền dữ liệuChữ Thường - Chữ HoaMáy tính thâm hụt caloMáy tính trung bìnhMáy tính định lý PythagoreTrình Tạo Công Thức Nấu Ăn AI Từ Nguyên LiệuTrình tạo số xổ sốBộ mã hóa Base64Chuyển đổi Kích thước Tập tinMáy Tính Bộ Chia Điện ÁpMáy Tính Diện TíchMáy Tính Điện Trở LEDMáy tính CosMáy tính Dãy số họcMáy tính tanMáy tính Bội số chung nhỏ nhất (BCNN)Trình tạo GUID/UUIDChuyển Đổi Mô-men Xoắn (Nm, ft-lb, kgf-cm)Công cụ chuyển đổi feet vuông sang mét vuôngCông cụ chuyển đổi bát phân sang nhị phânCông cụ chuyển đổi bát phân sang thập phânCông cụ chuyển đổi hỗn số thành phân sốCông cụ Chuyển đổi Mét sang FeetCông cụ Giải Tam giác Tổng quátMáy tính bước chân sang khoảng cách🌬️ Máy tính Chỉ số Gió lạnh⬛ Máy tính Tỉ lệ Khung hìnhMáy tính CAGRMáy Tính Chia Đa ThứcTrình tạo ngày ngẫu nhiênBộ giải mã Base64Công cụ Giải Bản đồ Karnaugh (K-Map)Công cụ giải bất phương trìnhCông Cụ Tạo Chữ ĐẹpMáy Tính Diện Tích Đa Giác Bất Quy TắcChuyển video sang Twitter (X)Trình tạo gamertagTrình tạo tên độiTrình tạo biệt danhTrình tạo tên rapTrình tạo tên ban nhạcTrình tạo tên FantasyTrình tạo bánh quy may mắnTrình tạo ý tưởng vẽTrình tạo gợi ý nhật kýTrình tạo câu khẳng định hàng ngàyTrình tạo lời khenTrình tạo câu thả thínhTrình tạo truyện cười của bốTrình tạo truyện cười ngẫu nhiênTrình tạo sự thật ngẫu nhiênTrình tạo câu hỏi triviaTrình tạo từ HangmanTrình tạo từ PictionaryTrình tạo trò chơi ô hành độngTrình tạo câu hỏi phá băngTrình tạo Tôi chưa bao giờTrình tạo Bạn chọn cái nàoTrình tạo Câu hỏi Ngẫu nhiênTrình giải mã giấc mơ AITrình tạo lời cảm ơn AITrình tạo bài phát biểu đám cưới AITrình tạo thông cáo báo chí AITrình tạo mô tả sản phẩm AITrình tạo kịch bản video AITrình tạo tiêu đề và mô tả YouTube bằng AITrình tạo chú thích Instagram AITrình tạo tiêu đề và tiểu sử LinkedIn AITrình tạo gạch đầu dòng CV AITrình tạo thư xin việc AITrình tạo lời bài hát rap AILàm phẳng PDFMở khóa PDF (Xóa mật khẩu chủ sở hữu)Trích xuất văn bản từ PDFTrích xuất trang PDFCông cụ đếm từ PDFBảo vệ PDFThêm số trang vào PDFSắp xếp lại trang PDFXóa trang PDFXoay PDFPDF sang JPGTách PDFCông cụ chuyển đổi PT sang PXCông cụ chuyển đổi PX sang REMCông cụ chuyển đổi Tola sang GramCông cụ chuyển đổi đơn vị đất Ấn ĐộCông cụ chuyển đổi mcg sang mgTrình tạo lời bài hát AITrình tạo thơ AITrình tạo truyện AITrình dịch AICông cụ Tóm tắt Văn bản AICông cụ chuyển đổi Mg sang MlCông cụ chuyển đổi hải lý trên giờ sang MPHMét khối sang feet khốiCông cụ chuyển đổi feet khối sang yard khốiBộ chuyển đổi mét vuông sang feet vuôngBộ chuyển đổi Oz sang MLBộ chuyển đổi ML sang ozBộ chuyển đổi gallon sang lítCông cụ chuyển đổi lít sang gallonChuyển Đổi Kg Sang StoneMáy Chuyển Đổi Stone Sang KgCông cụ chuyển đổi inch sang milimetBộ chuyển đổi Km sang DặmBộ chuyển đổi Fahrenheit sang CelsiusMáy đổi Celsius sang FahrenheitCông cụ tính cỡ ba lôCông cụ tính thể tích ván lướt sóngCông cụ tính cỡ cán vợt tennisMáy tính kích thước mũ bảo hiểmCông cụ tính cỡ găng tayCông cụ chuyển đổi cỡ mũMáy tính kích thước ván trượt tuyếtCông cụ tính kích thước ván trượtCông cụ tính kích thước xe đạpBộ hẹn giờ Split SpeedrunMáy tính StablefordMáy tính checkout phi tiêuMáy tính Economy Bowling CricketMáy tính Strike Rate CricketMáy tính Net Run RateMáy Tính Tỷ Lệ K/DMáy Tính Xếp Hạng EloMáy tính phục hồi nhịp timMáy Tính Thời Gian Đi Bộ Đường DàiMáy tính Pace Chèo thuyềnMáy Tính Hiệu Suất Chạy Theo TuổiMáy tính FTP và Vùng Công suấtMáy Tính Beep TestMáy tính Điểm ACFTMáy tính Wilks & DOTSMáy tính Offset Bánh xeTra cứu Chỉ số Tải trọng & Xếp hạng Tốc độ LốpMáy tính Chi phí Mỗi DặmMáy Tính Mua Lại Hợp Đồng ThuêMáy Tính Pha Trộn OctanMáy Tính Pha Nhớt Xăng 2 ThìMáy Tính Dung Tích Động CơMáy Tính Ghế Sofa Qua CửaMáy Tính Dây CủiMáy Tính CADR Máy Lọc Không KhíMáy Tính Kích Thước Máy Hút ẨmMáy Tính Kích Thước Quạt TrầnMáy Tính Kích Thước Rèm CửaMáy Tính Kích Thước ThảmMáy tính chiều cao treo tranhMáy Tính Chiều Cao Lắp Đặt TVMáy Tính Kích Thước TVMáy Tính Thể Tích và Bạt Lót HồMáy Tính Muối Hồ BộiMáy Tính Thể Tích Hồ BơiMáy Tính Kích Thước Máy Nước NóngMáy Tính Nhựa EpoxyMáy Tính Khoảng Cách Con Tiện Lan CanMáy Tính Len Chân Tường và Nẹp Trang TríMáy Tính Ốp TườngMáy Tính Sơn Phủ Sàn GỗMáy Tính Hạt Giống CỏMáy Tính Cỏ NềnMáy Tính Nhựa ĐườngMáy Tính Yard KhốiMáy Tính Chiều Dài AntenMáy Tính Độ Lấp Đầy Ống Lót DâyMáy Tính Tụ Điện Nối Tiếp và Song SongMáy Tính Cảm KhángMáy Tính Chiếu Sáng PhòngMáy Tính Lux Sang LumenMáy Chuyển Đổi Lumen Sang WattMáy Tính Công Suất Máy Phát ĐiệnCông Cụ Chuyển Đổi mAh Sang WhMáy Tính Công Suất 3 PhaMáy Tính kVAMáy Tính Ampe Sang WattMáy Tính Watt Sang AmpeMáy Tính Điện Trở Nối TiếpMáy Tính Lực Ma SátMáy Tính Mặt Phẳng NghiêngMáy tính Lợi thế Cơ họcMáy tính Tốc độ Âm thanhMáy Tính Tốc Độ SóngMáy tính Lực nổiMáy tính Vận tốc Tới hạnMáy tính Bước sóng de BroglieMáy tính năng lượng photonMáy Tính E=mc²Máy Tính Giãn Nở Thời GianMáy tính Định luật thứ ba của KeplerMáy tính Vận tốc ThoátMáy Tính Lực Hấp DẫnMáy tính Định luật Beer-LambertMáy Tính Phương Trình NernstMáy tính Áp suất Thẩm thấuMáy Tính Độ Tăng Điểm SôiMáy Tính Độ Giảm Điểm Đông BăngMáy Tính Thành Phần Phần TrămMáy Tính Nồng Độ Đương LượngMáy tính Nồng độ MolanBộ Chuyển Đổi pKa Sang KaMáy tính Henderson-HasselbalchMáy Tính Sản Lượng Lý ThuyếtMáy tính Chất phản ứng Giới hạnMáy tính Cấu hình ElectronBảng tuần hoàn tương tácTrình Tạo Giáo Án AITrình tạo Câu đố AITrình tạo trích dẫn (APA/MLA/Chicago)Máy Tính Phần Trăm Điểm DanhMáy Tính Điểm APMáy Tính Điểm ACTMáy Tính Điểm SATCông cụ ước tính thu nhập YouTubeTrình tạo nhân vật RPG ngẫu nhiên