Đơn giản hóa quy trình làm việc của bạn: Tìm kiếm miniwebtool.
Thêm
Xem thêm
Máy Tính Tích Phân MặtMáy tính tích phân ba lớpMáy tính tích phân képMáy tính DivergenceMáy Tính cURLMáy tính Độ congCông cụ Vẽ Trường Hướng và Trường Độ dốc
Trang chủ > Toán học > Giải tích > Máy Tính Tích Phân Đường
 

Máy Tính Tích Phân Đường

Tính tích phân đường của trường vô hướng (∫f ds) và trường vectơ (∫F·dr) dọc theo các đường cong tham số trong không gian 2D và 3D. Nhập trường, phương trình tham số và các cận để nhận kết quả ký hiệu với lời giải chi tiết từng bước, độ dài cung và hình ảnh minh họa đường cong tương tác.

Máy Tính Tích Phân Đường
Ví dụ:
Trường
f f(x, y)
Đường cong tham số r(t)
x x(t)
y y(t)
z z(t)
Giới hạn tham số
→
XEM TRƯỚC TÍCH PHÂN
Nhập trường và đường cong để xem trước

Embed Máy Tính Tích Phân Đường Widget

Giới thiệu về Máy Tính Tích Phân Đường

Máy Tính Tích Phân Đường đánh giá cả tích phân đường vô hướng \(\int_C f\,ds\) và tích phân đường vectơ \(\int_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r}\) dọc theo các đường cong tham số trong không gian 2D và 3D. Nhập trường, các phương trình tham số và giới hạn tham số để có được lời giải đầy đủ từng bước với kết quả biểu tượng, tính toán độ dài cung và hình ảnh trực quan đường cong có hoạt ảnh.

∫ Tích phân đường vô hướng Tích phân f dọc theo đường cong được trọng số bởi độ dài cung ds
⟳ Tích phân đường vectơ Tích vô hướng của F với tiếp tuyến dr đo lường công
📏 Độ dài cung Tổng chiều dài của đường cong từ r(a) đến r(b)
🔄 Trường bảo toàn Tích phân không phụ thuộc vào đường đi khi ∇×F = 0

Công thức tích phân đường

LoạiCông thứcMô tả
Vô hướng ∫f ds\(\int_C f\,ds = \int_a^b f(\mathbf{r}(t))\,|\mathbf{r}'(t)|\,dt\)Tích phân hàm vô hướng dọc theo đường cong được trọng số bởi tốc độ
Vectơ ∫F·dr\(\int_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} = \int_a^b \mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot\mathbf{r}'(t)\,dt\)Tích phân tích vô hướng đo lường công hoặc lưu số
Độ dài cung\(L = \int_a^b |\mathbf{r}'(t)|\,dt\)Tổng chiều dài của đường cong tham số
Bảo toàn\(\int_C \nabla\phi\cdot d\mathbf{r} = \phi(\mathbf{r}(b)) - \phi(\mathbf{r}(a))\)Định lý cơ bản của tích phân đường

Cách sử dụng Máy Tính Tích Phân Đường

  1. Chọn loại tích phân. Chọn "∫f ds" cho tích phân đường vô hướng hoặc "∫F·dr" cho tích phân đường vectơ (công/lưu số).
  2. Chọn số chiều. Chọn 2D hoặc 3D tùy thuộc vào đường cong và trường của bạn.
  3. Nhập trường. Đối với tích phân vô hướng, hãy nhập hàm f(x, y) hoặc f(x, y, z). Đối với tích phân vectơ, hãy nhập từng thành phần P, Q và R.
  4. Xác định đường cong tham số. Nhập x(t), y(t) và tùy chọn z(t). Sử dụng ký hiệu toán học tiêu chuẩn — cos(t), t^2, sin(t), v.v.
  5. Đặt giới hạn. Nhập giá trị bắt đầu và kết thúc của t. Bạn có thể sử dụng các biểu thức như pi hoặc 2*pi.
  6. Nhấp Tính toán để xem lời giải chi tiết từng bước, kết quả bằng số, độ dài cung và hoạt ảnh đường cong.

Các đường cong tham số phổ biến

Đường congTham số hóaGiới hạn
Đường tròn (bán kính R)x = R cos(t), y = R sin(t)t ∈ [0, 2π]
Đoạn thẳng A→Br(t) = (1−t)A + tBt ∈ [0, 1]
Parabol y = x²x = t, y = t²t ∈ [a, b]
Đường xoắn ốc (Helix)x = cos(t), y = sin(t), z = tt ∈ [0, 2π]
Ellipsex = a cos(t), y = b sin(t)t ∈ [0, 2π]

Hiểu kết quả

Máy tính cung cấp một số thông tin trong kết quả:

Câu hỏi thường gặp

Tích phân đường là gì?

Tích phân đường tính tích phân của một hàm dọc theo một đường cong. Đối với trường vô hướng, nó tổng hợp các giá trị của f được trọng số bởi độ dài cung (∫f ds). Đối với trường vectơ, nó tổng hợp thành phần của F dọc theo hướng tiếp tuyến (∫F·dr), thường được hiểu là công được thực hiện bởi một trường lực.

Sự khác biệt giữa tích phân đường vô hướng và tích phân đường vectơ là gì?

Tích phân đường vô hướng ∫C f ds tích phân một hàm vô hướng f dọc theo một đường cong được trọng số bởi phần tử độ dài cung ds, đưa ra giá trị tích lũy tổng cộng của f dọc theo đường dẫn. Tích phân đường vectơ ∫C F·dr tích phân một trường vectơ F dọc theo một đường cong bằng cách lấy tích vô hướng với vectơ tiếp tuyến dr, đo lường mức độ F đẩy dọc theo hướng đường cong. Tích phân vô hướng được sử dụng cho các bài toán về khối lượng và giá trị trung bình; tích phân vectơ tính toán công và lưu số.

Làm thế nào để tham số hóa một đường cong cho tích phân đường?

Một đường cong tham số r(t) biểu diễn mỗi tọa độ dưới dạng một hàm của một tham số duy nhất t. Ví dụ, một vòng tròn bán kính R được tham số hóa là x(t) = R cos(t), y(t) = R sin(t) với t từ 0 đến 2π. Công thức tích phân đường sau đó chuyển đổi tích phân đường cong thành một tích phân xác định tiêu chuẩn theo t.

Khi nào tích phân đường vectơ không phụ thuộc vào đường đi?

Tích phân đường vectơ không phụ thuộc vào đường đi khi trường vectơ F là trường bảo toàn, nghĩa là curl của nó bằng không ở mọi nơi trong một miền đơn liên. Trong trường hợp đó, F bằng gradient của một hàm thế năng φ, và tích phân chỉ phụ thuộc vào các giá trị của φ tại các điểm đầu cuối, không phụ thuộc vào đường đi cụ thể đã chọn. Máy tính sẽ tự động kiểm tra điều kiện này.

Ý nghĩa vật lý của tích phân đường là gì?

Về mặt vật lý, tích phân đường vô hướng có thể biểu diễn khối lượng của một sợi dây có mật độ thay đổi, hoặc tổng nhiệt lượng dọc theo một con đường. Tích phân đường vectơ thường biểu diễn công được thực hiện bởi một trường lực lên một hạt di chuyển dọc theo đường cong, hoặc lưu số của một trường vận tốc chất lưu xung quanh một vòng lặp. Trong điện từ học, tích phân đường xuất hiện trong định luật Ampere và định luật Faraday.

Máy tính chấp nhận ký hiệu toán học nào?

Sử dụng ký hiệu toán học tiêu chuẩn: ^ cho lũy thừa (x^2), * cho phép nhân (2*x, mặc dù phép nhân ngầm định như 2x cũng hoạt động), và các tên hàm tiêu chuẩn như sin, cos, tan, exp, log, sqrt. Đối với các giới hạn tham số, bạn có thể nhập các biểu thức như pi, 2*pi hoặc các giá trị số.

Tham khảo nội dung, trang hoặc công cụ này như sau:

"Máy Tính Tích Phân Đường" tại https://MiniWebtool.com/vi/may-tinh-tich-phan-duong/ từ MiniWebtool, https://MiniWebtool.com/

bởi đội ngũ miniwebtool. Cập nhật: 2026-04-08

Có API dành cho developer: Chạy công cụ này từ ứng dụng, tự động hóa hoặc agent của bạn bằng một yêu cầu HTTP JSON. Xem tài liệu API

Bạn cũng có thể thử AI Giải Toán GPT của chúng tôi để giải quyết các vấn đề toán học của bạn thông qua câu hỏi và trả lời bằng ngôn ngữ tự nhiên.

Giải tích:

Công cụ nổi bật:

Máy tính tuổiTrình Trích Xuất Ảnh từ VideoTrình tạo bài tây ngẫu nhiênMáy Tính Số Mũ (Độ Chính Xác Cao)Tra cứu ID người dùng FacebookCông cụ Mã hóa Caesar🖱️ Bộ Đếm ClickMáy tính Phân tích Thừa số Nguyên tố⏱️ Máy Tính GiờCông cụ chuyển đổi kg sang lbsTìm kiếm trích dẫn (Tiếng Anh)Máy tính thương và số dưTra cứu ID người dùng InstagramBộ chuyển đổi thập phân sang nhị phânCông cụ chuyển đổi chữ số La MãTrình tạo oẳn tù tìBộ Chuyển Đổi Số Sang ChữTrình tạo nhánh giải đấu ngẫu nhiênCông cụ đếm hàngTrình Luyện Toán NhẩmMáy tính phân số tối giảnTrình Tạo Mã MorseBộ chuyển đổi hệ cơ sốMáy tính giảm giá phần trămTrình tạo chuỗi ngẫu nhiênCông cụ chuyển đổi nhị phân sang thập phânMáy tính thập phân sang phân sốCông cụ đổi Pound sang KilogramĐây có phải là Số Nguyên Tố?Trình nhân hóa văn bản AIXóa dấu cáchĐảo ngược văn bảnĐổ xúc xắcThống kê Kênh YouTubeMáy tính ngày trong năm - Hôm nay là ngày thứ mấy trong nămMáy tính nhị phânSắp xếp sốTrình phát hiện nội dung AICông Cụ Vẽ Đồ Thị Hệ Bất Phương TrìnhMáy tính thời gian📅 Máy tính ngàyMáy Tính Số TuầnMáy tính Kiểm tra Chia hết📈 Công Cụ Tạo Biểu Đồ ĐườngBộ chuyển đổi Feet và Inch sang CmMáy tính chuyển đổi phân số sang số thập phânChuyển đổi CSV sang JSON🔍 Kiểm tra Đạo vănMáy tính Cạnh huyềnMáy tính căn bậc haiMáy tính HEXCông cụ tạo nhóm ngẫu nhiênCông cụ xáo trộn chữ cáiMáy tính So sánh Phân sốTrình nén VideoTrình Tạo Công Thức Nấu Ăn AI Từ Nguyên LiệuTrình trích xuất âm thanh📷 OCR Chuyển Ảnh Thành Văn BảnBộ lặp MP3Công cụ loại bỏ dấu câu trực tuyếnTrình tạo ngày sinh ngẫu nhiênMáy tính ĐiệnBộ chuyển đổi FPS⏰ Đồng Hồ Báo Thức Trực TuyếnSo sánh hai chuỗiTạo Ô ChữBộ chuyển đổi HEXGhép VideoMáy Tính Chu Vi Hình ElipTrình tạo thẻ tín dụng ngẫu nhiên⏱️ Đồng Hồ Bấm Giờ Trực TuyếnMáy tính định lý PythagoreBộ chuyển đổi Thập phân sang Thập lục phânNén PDFSắp xếp theo thứ tự bảng chữ cáiTrình tạo tên ngẫu nhiênCon số may mắn của tôi là gì?Bộ chuyển đổi hex sang thập phânChuyển đổi Số thành Phân sốMáy tính trung bình mẫuBộ chọn bình luận YouTubeBộ chuyển đổi Nhị phân sang HexMáy tính Độ dốc và CấpMáy tính độ F sang độ CTrình tạo thẻ BingoCông cụ chia ảnhCông cụ chuyển đổi cm sang feet và inchCông cụ tạo User-Agent ngẫu nhiênTrình Tạo Lệnh GitTrình tạo chữ cái ngẫu nhiên⏱️ Bộ Đếm Ngược Thời GianMáy Giải Phương Trình Bậc BaMáy tính giai thừaMáy tính Ước số chung lớn nhấtMáy Tính Điểm SốDanh sách các số nguyên tốMáy Tính Lực Xi Lanh Thủy LựcTrình chuyển đổi SRT sang TXTCông cụ Giải Bản đồ Karnaugh (K-Map)Lịch trăng non và trăng trònMáy tính GFRMáy Tính Kích Thước TVMáy tính BSAChữ Thường - Chữ HoaCông cụ chuyển đổi kPa sang psiDanh sách Dãy số FibonacciMáy tính Cầu thangBộ Chia Âm ThanhCân Bằng Phương Trình Hóa HọcMáy tính Công thức Dây giàyMáy tính thâm hụt caloTrình tạo số xổ sốTạo và giải SudokuMáy tính tuổi sinh họcMáy Tính Tỷ Số Nén Động CơXoay VideoMáy tính Cung Mặt trời, Mặt trăng & Cung mọc 🌞🌙✨Tra Cứu Địa Chỉ MACCông cụ ước tính thu nhập YouTubeMáy tính Pha Mặt TrăngBộ chuyển đổi RGB sang HexBộ chuyển đổi Hex sang RGBCông cụ chuyển đổi Phần trăm sang PPMCông cụ chuyển đổi psi sang kPaMáy Tính Giá Đơn VịMáy tính BMRMáy tính phân sốTrình tạo đồ vật ngẫu nhiênCông Cụ Dự Đoán Chiều Cao Của TrẻMáy tính Tuổi thọ Trung bìnhTrình Mô Phỏng Bàn Tính Soroban NhậtTrình chuyển đổi HTML sang văn bảnBộ Chuyển Đổi Nhị PhânLịch Sao Thủy Nghịch HànhTrình tạo từ ngẫu nhiên tiếng AnhChọn tên ngẫu nhiênCông cụ chuyển đổi hệ thập lục phân sang nhị phânMáy tính chuyển đổi hệ bát phân sang hệ thập lục phânMáy Tính Ký Hiệu Sigma (Tổng)Máy tính ModuloMáy tính Thống kêTrình chuyển đổi HEX sang CMYKTung đồng xuAI Trình thêm dấu câuBộ chuyển đổi địa chỉ IP sang nhị phânChuyển đổi Thời gian SRTMáy Tính ANCMáy Tính Giờ Làm ViệcMáy tính hoàng hôn và bình minhSố ngẫu nhiênCông cụ chuyển đổi centimet sang inchCông cụ chuyển đổi Radian sang ĐộCông cụ chuyển đổi thời gian phân sốSố Ngày Giữa Hai NgàyMáy tính Gia tốcMáy tính RREF (Dạng Bậc Thang Rút Gọn)Máy tính Vị trí Mặt trờiMáy tính phần trăm lợi nhuậnTrình tạo địa chỉ giả ngẫu nhiênĐiều chỉnh tốc độ videoChuyển đổi Dặm sang KmChuyển Đổi Mô-men Xoắn (Nm, ft-lb, kgf-cm)Chuyển đổi CMYK sang HEXCông cụ chuyển đổi Mg sang MlCông cụ Xoay ẢnhMáy tính checkout phi tiêuMáy Tính Chiều Cao Lắp Đặt TVMáy tính Natri hiệu chuẩnMáy Tính Độ Lệch Chuẩn Tương ĐốiMáy tính độ rộng đường mạch PCBTrình soạn thảo MarkdownMáy tính TổngTạo Trò Chơi Tìm TừCông cụ chuyển đổi cURL sang JSONCông cụ Kiểm tra Góc vuông (Quy tắc 3-4-5) 📐Công cụ tính điểm trung bình GPAHẹn Giờ Học PomodoroKiểm tra Số FibonacciMáy Giải Phương Trình Bậc BốnMáy tính Vận tốc GócMáy tính tỷ lệ BUN và CreatinineTrình Tạo Lịch Trình Du Lịch AIBộ chuyển đổi khối lượngDanh sách năm nhuậnMáy Tính Cai Nghiện💧 Máy Tính Điểm SươngMáy tính NgủMáy tính trung bìnhTrình đọc văn bản thành giọng nóiTrình tạo chú thích Instagram AITrình tạo tiêu đề và tiểu sử LinkedIn AITrình tạo gạch đầu dòng CV AITrình tạo thư xin việc AITrình tạo lời bài hát rap AILàm phẳng PDFMở khóa PDF (Xóa mật khẩu chủ sở hữu)Trích xuất văn bản từ PDFTrích xuất trang PDFCông cụ đếm từ PDFBảo vệ PDFThêm số trang vào PDFSắp xếp lại trang PDFXóa trang PDFXoay PDFChuyển JPG sang PDFPDF sang JPGTách PDFGộp PDFCông cụ chuyển đổi PT sang PXCông cụ chuyển đổi PX sang REMCông cụ chuyển đổi Tola sang GramCông cụ chuyển đổi đơn vị đất Ấn ĐộCông cụ chuyển đổi mcg sang mgTrình tạo lời bài hát AITrình tạo thơ AITrình tạo truyện AITrình dịch AICông cụ Tóm tắt Văn bản AIBộ chuyển đổi MPH sang KMH / KMH sang MPHCông cụ chuyển đổi hải lý trên giờ sang MPHMét khối sang feet khốiCông cụ chuyển đổi feet khối sang yard khốiCông cụ chuyển đổi feet vuông sang mét vuôngBộ chuyển đổi mét vuông sang feet vuôngBộ chuyển đổi Oz sang MLBộ chuyển đổi ML sang ozBộ chuyển đổi gallon sang lítCông cụ chuyển đổi lít sang gallonChuyển Đổi Kg Sang StoneMáy Chuyển Đổi Stone Sang KgCông cụ chuyển đổi inch sang milimetCông cụ chuyển đổi milimet sang inchBộ chuyển đổi Km sang DặmBộ chuyển đổi Fahrenheit sang CelsiusMáy đổi Celsius sang FahrenheitCông cụ tính cỡ ba lôCông cụ tính thể tích ván lướt sóngCông cụ tính cỡ cán vợt tennisMáy tính kích thước mũ bảo hiểmCông cụ tính cỡ găng tayCông cụ chuyển đổi cỡ mũMáy tính kích thước ván trượt tuyếtCông cụ tính kích thước ván trượtCông cụ tính kích thước xe đạpBộ hẹn giờ Split SpeedrunMáy tính StablefordMáy tính Economy Bowling CricketMáy tính Strike Rate CricketMáy tính Net Run RateMáy Tính Tỷ Lệ K/DMáy Tính Xếp Hạng EloMáy tính phục hồi nhịp timMáy Tính Thời Gian Đi Bộ Đường DàiMáy tính Pace Chèo thuyềnMáy Tính Hiệu Suất Chạy Theo TuổiMáy tính FTP và Vùng Công suấtMáy Tính Beep TestMáy tính Điểm ACFTMáy tính Wilks & DOTSMáy tính Offset Bánh xeTra cứu Chỉ số Tải trọng & Xếp hạng Tốc độ LốpMáy tính Chi phí Mỗi DặmMáy Tính Mua Lại Hợp Đồng ThuêMáy Tính Pha Trộn OctanMáy Tính Pha Nhớt Xăng 2 ThìMáy Tính Dung Tích Động CơMáy Tính Ghế Sofa Qua CửaMáy Tính Dây CủiMáy Tính CADR Máy Lọc Không KhíMáy Tính Kích Thước Máy Hút ẨmMáy Tính Kích Thước Quạt TrầnMáy Tính Kích Thước Rèm CửaMáy Tính Kích Thước ThảmMáy tính chiều cao treo tranhMáy Tính Thể Tích và Bạt Lót HồMáy Tính Muối Hồ BộiMáy Tính Thể Tích Hồ BơiMáy Tính Kích Thước Máy Nước NóngMáy Tính Nhựa EpoxyMáy Tính Khoảng Cách Con Tiện Lan CanMáy Tính Len Chân Tường và Nẹp Trang TríMáy Tính Ốp TườngMáy Tính Sơn Phủ Sàn GỗMáy Tính Hạt Giống CỏMáy Tính Cỏ NềnMáy Tính Nhựa ĐườngMáy Tính Yard KhốiMáy Tính Chiều Dài AntenMáy Tính Độ Lấp Đầy Ống Lót DâyMáy Tính Tụ Điện Nối Tiếp và Song SongMáy Tính Cảm KhángMáy Tính Chiếu Sáng PhòngMáy Tính Lux Sang LumenMáy Chuyển Đổi Lumen Sang WattMáy Tính Công Suất Máy Phát ĐiệnCông Cụ Chuyển Đổi mAh Sang WhMáy Tính Công Suất 3 PhaMáy Tính kVAMáy Tính Ampe Sang WattMáy Tính Watt Sang AmpeMáy Tính Điện Trở Nối TiếpMáy Tính Lực Ma SátMáy Tính Mặt Phẳng NghiêngMáy tính Lợi thế Cơ họcMáy tính Tốc độ Âm thanhMáy Tính Tốc Độ SóngMáy tính Lực nổiMáy tính Vận tốc Tới hạnMáy tính Bước sóng de BroglieMáy tính năng lượng photonMáy Tính E=mc²Máy Tính Giãn Nở Thời GianMáy tính Định luật thứ ba của KeplerMáy tính Vận tốc ThoátMáy Tính Lực Hấp DẫnMáy tính Định luật Beer-LambertMáy Tính Phương Trình NernstMáy tính Áp suất Thẩm thấuMáy Tính Độ Tăng Điểm SôiMáy Tính Độ Giảm Điểm Đông BăngMáy Tính Thành Phần Phần TrămMáy Tính Nồng Độ Đương LượngMáy tính Nồng độ MolanBộ Chuyển Đổi pKa Sang KaMáy tính Henderson-HasselbalchMáy Tính Sản Lượng Lý ThuyếtMáy tính Chất phản ứng Giới hạnMáy tính Cấu hình ElectronBảng tuần hoàn tương tácTrình Tạo Giáo Án AITrình tạo Câu đố AITrình tạo trích dẫn (APA/MLA/Chicago)Máy Tính Phần Trăm Điểm DanhMáy Tính Điểm APMáy Tính Điểm ACTMáy Tính Điểm SATChuyển đổi Phần trăm sang CGPATrình chuyển đổi CGPA sang phần trămCông Cụ Chấm Điểm Dễ Dàng (EZ Grader)Máy tính Chi phí Nuôi conMáy Tính Lượng Sữa Cho BéMáy Tính Kích Cỡ TãTrình Tạo Tên Em BéCông Cụ Dự Đoán Màu Mắt Em BéMáy Tính Phân Vị BMI Cho Trẻ EmMáy Tính Thời Gian Tăng Gấp Đôi hCGMáy tính ngày dự sinh IVFMáy tính làm tổ của phôiCông cụ dự đoán giới tính kiểu Trung QuốcCông cụ định dạng ngày ISO 8601Trình Chuyển Đổi Ngày JulianNap CalculatorWorld ClockBộ chuyển đổi Ngày sang Chữ số La MãĐếm Ngược Đến Khi Nghỉ HưuMáy Tính Nửa Sinh NhậtMáy Tính Ngày Kỷ NiệmMáy Tính Chia Tiền BoaMáy Tính ROI Email MarketingMáy tính Chi phí trên Mỗi Khách hàng Tiềm năngMáy Tính Vốn Lưu ĐộngTrình tạo nhân vật RPG ngẫu nhiên