Đơn giản hóa quy trình làm việc của bạn: Tìm kiếm miniwebtool.
Thêm
Công cụ liên quan
Máy Tính cURLMáy tính tích phân képMáy tính Tích phânMáy Tính Tích Phân MặtMáy tính tích phân ba lớp
Trang chủ > Toán học > Giải tích > Máy Tính Tích Phân Đường
 

Máy Tính Tích Phân Đường

Tính tích phân đường của trường vô hướng (∫f ds) và trường vectơ (∫F·dr) dọc theo các đường cong tham số trong không gian 2D và 3D. Nhập trường, phương trình tham số và các cận để nhận kết quả ký hiệu với lời giải chi tiết từng bước, độ dài cung và hình ảnh minh họa đường cong tương tác.

Máy Tính Tích Phân Đường
Ví dụ:
Trường
f f(x, y)
Đường cong tham số r(t)
x x(t)
y y(t)
z z(t)
Giới hạn tham số
→
XEM TRƯỚC TÍCH PHÂN
Nhập trường và đường cong để xem trước

Embed Máy Tính Tích Phân Đường Widget

Giới thiệu về Máy Tính Tích Phân Đường

Máy Tính Tích Phân Đường đánh giá cả tích phân đường vô hướng \(\int_C f\,ds\) và tích phân đường vectơ \(\int_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r}\) dọc theo các đường cong tham số trong không gian 2D và 3D. Nhập trường, các phương trình tham số và giới hạn tham số để có được lời giải đầy đủ từng bước với kết quả biểu tượng, tính toán độ dài cung và hình ảnh trực quan đường cong có hoạt ảnh.

∫ Tích phân đường vô hướng Tích phân f dọc theo đường cong được trọng số bởi độ dài cung ds
⟳ Tích phân đường vectơ Tích vô hướng của F với tiếp tuyến dr đo lường công
📏 Độ dài cung Tổng chiều dài của đường cong từ r(a) đến r(b)
🔄 Trường bảo toàn Tích phân không phụ thuộc vào đường đi khi ∇×F = 0

Công thức tích phân đường

LoạiCông thứcMô tả
Vô hướng ∫f ds\(\int_C f\,ds = \int_a^b f(\mathbf{r}(t))\,|\mathbf{r}'(t)|\,dt\)Tích phân hàm vô hướng dọc theo đường cong được trọng số bởi tốc độ
Vectơ ∫F·dr\(\int_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} = \int_a^b \mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot\mathbf{r}'(t)\,dt\)Tích phân tích vô hướng đo lường công hoặc lưu số
Độ dài cung\(L = \int_a^b |\mathbf{r}'(t)|\,dt\)Tổng chiều dài của đường cong tham số
Bảo toàn\(\int_C \nabla\phi\cdot d\mathbf{r} = \phi(\mathbf{r}(b)) - \phi(\mathbf{r}(a))\)Định lý cơ bản của tích phân đường

Cách sử dụng Máy Tính Tích Phân Đường

  1. Chọn loại tích phân. Chọn "∫f ds" cho tích phân đường vô hướng hoặc "∫F·dr" cho tích phân đường vectơ (công/lưu số).
  2. Chọn số chiều. Chọn 2D hoặc 3D tùy thuộc vào đường cong và trường của bạn.
  3. Nhập trường. Đối với tích phân vô hướng, hãy nhập hàm f(x, y) hoặc f(x, y, z). Đối với tích phân vectơ, hãy nhập từng thành phần P, Q và R.
  4. Xác định đường cong tham số. Nhập x(t), y(t) và tùy chọn z(t). Sử dụng ký hiệu toán học tiêu chuẩn — cos(t), t^2, sin(t), v.v.
  5. Đặt giới hạn. Nhập giá trị bắt đầu và kết thúc của t. Bạn có thể sử dụng các biểu thức như pi hoặc 2*pi.
  6. Nhấp Tính toán để xem lời giải chi tiết từng bước, kết quả bằng số, độ dài cung và hoạt ảnh đường cong.

Các đường cong tham số phổ biến

Đường congTham số hóaGiới hạn
Đường tròn (bán kính R)x = R cos(t), y = R sin(t)t ∈ [0, 2π]
Đoạn thẳng A→Br(t) = (1−t)A + tBt ∈ [0, 1]
Parabol y = x²x = t, y = t²t ∈ [a, b]
Đường xoắn ốc (Helix)x = cos(t), y = sin(t), z = tt ∈ [0, 2π]
Ellipsex = a cos(t), y = b sin(t)t ∈ [0, 2π]

Hiểu kết quả

Máy tính cung cấp một số thông tin trong kết quả:

Câu hỏi thường gặp

Tích phân đường là gì?

Tích phân đường tính tích phân của một hàm dọc theo một đường cong. Đối với trường vô hướng, nó tổng hợp các giá trị của f được trọng số bởi độ dài cung (∫f ds). Đối với trường vectơ, nó tổng hợp thành phần của F dọc theo hướng tiếp tuyến (∫F·dr), thường được hiểu là công được thực hiện bởi một trường lực.

Sự khác biệt giữa tích phân đường vô hướng và tích phân đường vectơ là gì?

Tích phân đường vô hướng ∫C f ds tích phân một hàm vô hướng f dọc theo một đường cong được trọng số bởi phần tử độ dài cung ds, đưa ra giá trị tích lũy tổng cộng của f dọc theo đường dẫn. Tích phân đường vectơ ∫C F·dr tích phân một trường vectơ F dọc theo một đường cong bằng cách lấy tích vô hướng với vectơ tiếp tuyến dr, đo lường mức độ F đẩy dọc theo hướng đường cong. Tích phân vô hướng được sử dụng cho các bài toán về khối lượng và giá trị trung bình; tích phân vectơ tính toán công và lưu số.

Làm thế nào để tham số hóa một đường cong cho tích phân đường?

Một đường cong tham số r(t) biểu diễn mỗi tọa độ dưới dạng một hàm của một tham số duy nhất t. Ví dụ, một vòng tròn bán kính R được tham số hóa là x(t) = R cos(t), y(t) = R sin(t) với t từ 0 đến 2π. Công thức tích phân đường sau đó chuyển đổi tích phân đường cong thành một tích phân xác định tiêu chuẩn theo t.

Khi nào tích phân đường vectơ không phụ thuộc vào đường đi?

Tích phân đường vectơ không phụ thuộc vào đường đi khi trường vectơ F là trường bảo toàn, nghĩa là curl của nó bằng không ở mọi nơi trong một miền đơn liên. Trong trường hợp đó, F bằng gradient của một hàm thế năng φ, và tích phân chỉ phụ thuộc vào các giá trị của φ tại các điểm đầu cuối, không phụ thuộc vào đường đi cụ thể đã chọn. Máy tính sẽ tự động kiểm tra điều kiện này.

Ý nghĩa vật lý của tích phân đường là gì?

Về mặt vật lý, tích phân đường vô hướng có thể biểu diễn khối lượng của một sợi dây có mật độ thay đổi, hoặc tổng nhiệt lượng dọc theo một con đường. Tích phân đường vectơ thường biểu diễn công được thực hiện bởi một trường lực lên một hạt di chuyển dọc theo đường cong, hoặc lưu số của một trường vận tốc chất lưu xung quanh một vòng lặp. Trong điện từ học, tích phân đường xuất hiện trong định luật Ampere và định luật Faraday.

Máy tính chấp nhận ký hiệu toán học nào?

Sử dụng ký hiệu toán học tiêu chuẩn: ^ cho lũy thừa (x^2), * cho phép nhân (2*x, mặc dù phép nhân ngầm định như 2x cũng hoạt động), và các tên hàm tiêu chuẩn như sin, cos, tan, exp, log, sqrt. Đối với các giới hạn tham số, bạn có thể nhập các biểu thức như pi, 2*pi hoặc các giá trị số.

Tham khảo nội dung, trang hoặc công cụ này như sau:

"Máy Tính Tích Phân Đường" tại https://MiniWebtool.com/vi/may-tinh-tich-phan-duong/ từ MiniWebtool, https://MiniWebtool.com/

bởi đội ngũ miniwebtool. Cập nhật: 2026-04-08

Bạn cũng có thể thử AI Giải Toán GPT của chúng tôi để giải quyết các vấn đề toán học của bạn thông qua câu hỏi và trả lời bằng ngôn ngữ tự nhiên.

Giải tích:

Công cụ nổi bật:

Máy tính tuổiTrình Trích Xuất Ảnh từ Videomáy-tính-số-mũ-độ-chính-xác-caoTrình tạo bài tây ngẫu nhiên⏱️ Máy Tính GiờCông cụ Mã hóa CaesarCông cụ đổi Pound sang KilogramMáy tính Phân tích Thừa số Nguyên tốMáy tính phân số tối giảnCông cụ đếm hàngTra cứu ID người dùng FacebookCông cụ chuyển đổi kg sang lbs🖱️ Bộ Đếm ClickTrình tạo oẳn tù tìTrình Tạo Mã MorseTrình tạo chuỗi ngẫu nhiênBộ Chuyển Đổi Số Sang ChữMáy tính giảm giá phần trămTra cứu ID người dùng InstagramMáy tính thương và số dưĐảo ngược văn bảnMáy tính thời gianCông cụ chuyển đổi chữ số La MãTrình tạo nhánh giải đấu ngẫu nhiênMáy tính ngày trong năm - Hôm nay là ngày thứ mấy trong nămCông cụ chuyển đổi nhị phân sang thập phânMáy tính Cạnh huyềnBộ lặp MP3📅 Máy tính ngàyTrình nhân hóa văn bản AISắp xếp sốMáy tính thập phân sang phân sốĐổ xúc xắcBộ chuyển đổi thập phân sang nhị phânMáy tính Kiểm tra Chia hếtCông Cụ Vẽ Đồ Thị Hệ Bất Phương TrìnhĐây có phải là Số Nguyên Tố?Trình chuyển đổi SRT sang TXTTrình tạo số nguyên ngẫu nhiênMáy Giải Phương Trình Bậc BaTrình Luyện Toán NhẩmThống kê Kênh YouTubeBộ chuyển đổi Thập phân sang Thập lục phânBộ chuyển đổi Feet và Inch sang CmBộ chuyển đổi FPSGhép VideoCông cụ xáo trộn chữ cáiLịch Sao Thủy Nghịch HànhMáy tính nhị phânCông cụ chuyển đổi cm sang feet và inchBộ chuyển đổi HEXBộ chuyển đổi Nhị phân sang HexMáy tính căn bậc haiCông cụ chuyển đổi phân số thành hỗn số🔍 Kiểm tra Đạo vănTrình trích xuất âm thanhMáy tính chuyển đổi phân số sang số thập phânMáy tính thâm hụt caloMáy tính giai thừaSo sánh hai chuỗiTrình phát hiện nội dung AITung đồng xuDanh sách các số nguyên tốMáy tính trung bình mẫuCông cụ chuyển đổi centimet sang inchTạo Trò Chơi Tìm TừXóa dấu cáchCông cụ chia ảnhTrình tạo tên ngẫu nhiênTạo Ô ChữMáy tính HEXSắp xếp theo thứ tự bảng chữ cáiCông cụ chuyển đổi kPa sang psiCông cụ loại bỏ dấu câu trực tuyếnTrình tạo ngày sinh ngẫu nhiênMáy tính So sánh Phân sốBộ chuyển đổi hex sang thập phânCân Bằng Phương Trình Hóa HọcCông cụ chuyển đổi hỗn số thành phân số📷 OCR Chuyển Ảnh Thành Văn BảnCông cụ chuyển đổi Phần trăm sang PPMĐiều chỉnh tốc độ videoMáy Tính Chu Vi Hình ElipBộ Chia Âm ThanhCông cụ Giải Quy hoạch Tuyến tínhMáy Tính Số TuầnTrình tạo thẻ BingoCông cụ Mã hóa VigenèreMáy Tính Chia Đa ThứcCông cụ chuyển đổi psi sang kPaTrình tạo đồ vật ngẫu nhiênCông cụ tạo nhóm ngẫu nhiênMáy tính Ước số chung lớn nhấttra-cứu-địa-chỉ-MACMáy tính TổngBộ chuyển đổi hệ cơ số📈 Công Cụ Tạo Biểu Đồ ĐườngMáy tính BSABộ chọn bình luận YouTubeChuyển đổi Số thành Phân số⏰ Đồng Hồ Báo Thức Trực TuyếnLịch trăng non và trăng trònMáy tính Độ dốc và CấpTrình tạo mê cungBảng mã ASCIIBộ chuyển đổi RGB sang HexCông cụ chuyển đổi thời gian phân sốMáy tính ModuloTrình tạo thẻ tín dụng ngẫu nhiênTạo và giải SudokuChọn tên ngẫu nhiênCon số may mắn của tôi là gì?Công cụ chuyển đổi hệ thập lục phân sang nhị phânCông cụ chuyển đổi Radian sang ĐộCông cụ ước tính thu nhập YouTubeDanh sách năm nhuận💧 Máy Tính Điểm SươngChuyển Đổi GócTrình Mô Phỏng Cổng LogicTrình chuyển đổi HTML sang văn bảnMáy tính GFRMáy tính Tuổi thọ Trung bìnhmáy-tính-hba1cMáy tính hoàng hôn và bình minhMáy tính WHtRDanh sách Dãy số FibonacciMáy tính Vị trí Mặt trờiTrình nén VideoBộ Chuyển Đổi Nhị PhânCông cụ Xoay ẢnhMáy tính Điện trở Song songMáy tính số thiên thầnMáy tính trung bìnhMáy Tính Độ Lệch Chuẩn Tương ĐốiĐố Vui Bảng Cửu ChươngXoay Video⏱️ Bộ Đếm Ngược Thời GianCông cụ Trực quan hóa Dữ liệu AI (Dán CSV)Máy Tính Điểm SốMáy tính Tuổi thaiMáy tính hệ sốTrình tạo từ ngẫu nhiên tiếng AnhCông cụ chuyển đổi gam sang poundMáy Tính Giờ Làm ViệcMáy tính định lý PythagoreTrình tạo Hash MD5Bộ chuyển đổi địa chỉ IP sang HexChuyển đổi CSV sang JSONCông cụ chuyển đổi thập phân sang bát phânCông cụ chuyển đổi Độ sang RadianCông cụ lặp lại văn bảnMáy tính bước chân sang khoảng cáchMáy tính xút làm xà phòng (SAP)Máy tính Hình trònmáy-tính-tỷ-lệ-bánh-mìMáy tính Bội số chung nhỏ nhất (BCNN)Trình tải hình thu nhỏ YouTubeAI Trình thêm dấu câuBộ chuyển đổi đơn vị nấu ănBộ Chuyển Đổi Thời Gian Sang Thập PhânKiểm Tra Số Chẵn Hay Số LẻMáy Tính Thời Gian ĐọcMáy tính Cầu thangMáy tính LogaritMáy tính phân tích thừa số đa thứcMáy tính Tổng Bình phươngMáy tính Đạo hàmTrình tạo PIN ngẫu nhiênMáy Tính Muối Hồ BộiMáy Tính Thể Tích Hồ BơiMáy Tính Kích Thước Máy Nước NóngMáy Tính Nhựa EpoxyMáy Tính Khoảng Cách Con Tiện Lan CanMáy Tính Len Chân Tường và Nẹp Trang TríMáy Tính Ốp TườngMáy Tính Sơn Phủ Sàn GỗMáy Tính Hạt Giống CỏMáy Tính Cỏ NềnMáy Tính Nhựa ĐườngMáy Tính Yard KhốiMáy Tính Chiều Dài AntenMáy Tính Độ Lấp Đầy Ống Lót DâyMáy Tính Tụ Điện Nối Tiếp và Song SongMáy Tính Cảm KhángMáy Tính Chiếu Sáng PhòngMáy Tính Lux Sang LumenMáy Chuyển Đổi Lumen Sang WattMáy Tính Công Suất Máy Phát ĐiệnCông Cụ Chuyển Đổi mAh Sang WhMáy Tính Công Suất 3 PhaMáy Tính kVAMáy Tính Ampe Sang WattMáy Tính Watt Sang AmpeMáy Tính Điện Trở Nối TiếpMáy Tính Lực Ma SátMáy Tính Mặt Phẳng NghiêngMáy tính Lợi thế Cơ họcMáy tính Tốc độ Âm thanhMáy Tính Tốc Độ SóngMáy tính Lực nổiMáy tính Vận tốc Tới hạnMáy tính Bước sóng de BroglieMáy tính năng lượng photonMáy Tính E=mc²Máy Tính Giãn Nở Thời GianMáy tính Định luật thứ ba của KeplerMáy tính Vận tốc ThoátMáy Tính Lực Hấp DẫnMáy tính Định luật Beer-LambertMáy Tính Phương Trình NernstMáy tính Áp suất Thẩm thấuMáy Tính Độ Tăng Điểm SôiMáy Tính Độ Giảm Điểm Đông BăngMáy Tính Thành Phần Phần TrămMáy Tính Nồng Độ Đương LượngMáy tính Nồng độ MolanBộ Chuyển Đổi pKa Sang KaMáy tính Henderson-HasselbalchMáy Tính Sản Lượng Lý ThuyếtMáy tính Chất phản ứng Giới hạnMáy tính Cấu hình ElectronBảng tuần hoàn tương tácTrình Tạo Giáo Án AITrình tạo Câu đố AITrình tạo trích dẫn (APA/MLA/Chicago)Máy Tính Phần Trăm Điểm DanhMáy Tính Điểm APMáy Tính Điểm ACTMáy Tính Điểm SATChuyển đổi Phần trăm sang CGPATrình chuyển đổi CGPA sang phần trămCông Cụ Chấm Điểm Dễ Dàng (EZ Grader)Máy tính Chi phí Nuôi conMáy Tính Lượng Sữa Cho BéMáy Tính Kích Cỡ TãTrình Tạo Tên Em BéCông Cụ Dự Đoán Màu Mắt Em BéMáy Tính Phân Vị BMI Cho Trẻ EmCông Cụ Dự Đoán Chiều Cao Của TrẻMáy Tính Thời Gian Tăng Gấp Đôi hCGMáy tính ngày dự sinh IVFMáy tính làm tổ của phôiCông cụ dự đoán giới tính kiểu Trung QuốcCông cụ định dạng ngày ISO 8601Trình Chuyển Đổi Ngày JulianNap CalculatorMáy tính Pha Mặt TrăngWorld ClockBộ chuyển đổi Ngày sang Chữ số La MãĐếm Ngược Đến Khi Nghỉ HưuMáy Tính Cai NghiệnMáy Tính Nửa Sinh NhậtMáy Tính Ngày Kỷ NiệmMáy Tính Chia Tiền BoaMáy Tính ROI Email MarketingMáy tính Chi phí trên Mỗi Khách hàng Tiềm năngMáy Tính Vốn Lưu ĐộngMáy tính số dư đảm phíMáy tính FIFO / LIFOMáy Tính Tồn Kho An ToànMáy Tính Điểm Đặt Hàng LạiMáy tính Lượng đặt hàng Kinh tế EOQMáy Tính Khấu HaoMáy Tính Giá Đồ Thủ CôngMáy tính giá bán buônMáy tính Lợi nhuận ShopifyMáy tính Amazon FBAMáy Tính Phí eBayMáy tính phí EtsyMáy tính Phí StripeMáy Tính Phí PayPalCông Cụ Chuyển Đổi Tỷ Lệ CượcMáy Tính Tiền Dâng Một Phần MườiMáy tính ZakatMáy Tính Thuế Trước Bạ Vương Quốc AnhMáy Tính Miễn Thuế HRAMáy tính GratuityMáy tính NPSMáy tính EPFMáy tính PPFMáy tính RDMáy tính SWPMáy Tính Gross-UpMáy Tính So Sánh Khoản VayMáy Tính Tỷ Lệ Sử Dụng Tín DụngMáy Tính Bậc Thang CDMáy tính Tín phiếu Kho bạc T-BillMáy Tính Trái Phiếu IMáy tính Tiết kiệm Đại học 529Máy tính HSAMáy Tính Trợ Cấp Thôi ViệcMáy Tính Tăng LươngTrình tạo Hóa đơnMáy Tính Công Tác PhíMáy tính Hoàn tiền Quãng đườngMáy Tính Tăng Tiền Thuê NhàMáy Tính Tiền Thuê Theo Tỷ LệMáy tính Khả năng Chi trả Tiền thuê nhàMáy Tính Giá Lăn Bánh Ô TôMáy Tính Khả Năng Mua XeMáy Tính Khoản Vay Xe MáyMáy Tính Khoản Vay Xe RVMáy Tính Khoản Vay Mua ThuyềnMáy Tính Khoản Vay ĐấtMáy Tính Khoản Vay Xây DựngMáy Tính Vay Thế Chấp Chỉ Trả LãiMáy Tính Khoản Vay Bong BóngMáy Tính Điểm Vay Thế ChấpMáy Tính PMIMáy Tính Thanh Toán Thế Chấp Hai Tuần Một LầnMáy Tính Vay Thế Chấp ARMMáy Tính Khoản Vay VAMáy Tính Lương Thực NhậnTrình tạo truy vấn SQL bằng AITrình Tạo RegEx AICông cụ Phân tích Giọng văn bằng AICông cụ Phân tích CV bằng AICông cụ Chuyển đổi Đơn vị AI (Ngôn ngữ Tự nhiên)Trình Viết Thư Xin Lỗi AITrình Tạo Lời Từ Chối Lịch Sự Bằng AITrình Tạo Lịch Trình Du Lịch AITrình Tạo Danh Sách Đọc Sách AITrình Tạo Kế Hoạch Tập Luyện AITrình Tạo Kế Hoạch Bữa Ăn AITrình Tạo Ý Tưởng Quà Tặng AITrình Tạo Công Thức Nấu Ăn AI Từ Nguyên LiệuMáy Tính ROI Học BổngMáy Tính Chi Phí Đại HọcMáy Tính Số Giờ Học Để Thông Thạo Ngôn NgữTrình Tạo Câu Đố Từ VựngTrình tạo Ghi chú CornellMáy Tính Đường Cong Học TậpBộ Lập Lịch Lặp Lại Ngắt Quãng Thẻ Ghi NhớMáy Tính Pha Trộn Màu SơnMáy Tính Keo Chà Ròn GạchMáy Tính Năng Lực Quá Trình Six SigmaTrình tạo nhân vật RPG ngẫu nhiên