Từ năm 2010 · Hơn 2 triệu lượt chạy công cụ mỗi tháng
Từ năm 2010
Thêm vào Chrome

Hộp Công Cụ Của Tôi

Chế Độ Tự Động

Chưa có công cụ nào được lưu.

Nâng Cấp Lên Phiên Bản Cao Cấp
Công cụ liên quan
Máy Tính Lũy Thừa Ma TrậnMáy Tính Hàm Mũ Ma TrậnMáy Tính Ma TrậnMáy Tính Ma Trận JacobianMáy Tính Định ThứcCông cụ Giải Hệ Phương Trình Tuyến TínhCân Bằng Phương Trình Hóa Học
Trang chủ > Toán học > Đại số Tuyến tính
 

Máy tính Quy tắc Cramer

Giải hệ 2 hoặc 3 phương trình tuyến tính bằng quy tắc Cramer. Nhập các hệ số để nhận các bước tính định thức chi tiết với minh họa ma trận động, biểu đồ giải thích hình học và lời giải hoàn chỉnh.

Sử dụng miễn phíKhông cần đăng kýKết quả tức thì
Máy tính Quy tắc CramerDùng thử ngay — miễn phí ▼
Ví dụ:
xy
[
a₁₁
a₁₂
a₂₁
a₂₂
] = [
b₁
b₂
]

Embed Máy tính Quy tắc Cramer Widget

Giới thiệu về Máy tính Quy tắc Cramer

Máy Tính Quy Tắc Cramer giải các hệ phương trình tuyến tính 2 hoặc 3 phương trình bằng cách sử dụng định thức. Nhập ma trận hệ số và vectơ hằng số để nhận lời giải hoàn chỉnh với các bước tính toán định thức chi tiết, trực quan hóa ma trận động cho thấy quá trình thay thế cột, và biểu đồ giải thích hình học cho các hệ 2×2. Quy tắc Cramer là một kỹ thuật cơ bản trong đại số tuyến tính biểu diễn mỗi biến dưới dạng tỉ số của hai định thức.

Quy Tắc Cramer Là Gì?

Quy tắc Cramer là một định lý trong đại số tuyến tính cung cấp công thức tường minh để giải một hệ phương trình tuyến tính có số phương trình bằng số ẩn, với điều kiện hệ có nghiệm duy nhất. Được đặt tên theo nhà toán học Thụy Sĩ Gabriel Cramer (1704–1752), quy tắc này sử dụng định thức để biểu diễn mỗi biến dưới dạng một tỉ số:

$$x_i = \frac{D_i}{D}$$

trong đó \(D\) là định thức của ma trận hệ số và \(D_i\) là định thức được tạo thành bằng cách thay thế cột thứ \(i\) của ma trận hệ số bằng vectơ hằng số.

Các Khái Niệm Chính

📐
Định Thức
Một giá trị vô hướng được tính từ ma trận vuông cho biết hệ phương trình có nghiệm duy nhất hay không.
🔄
Thay Thế Cột
Thay thế một cột của ma trận hệ số bằng vectơ hằng số để tạo ra mỗi D_i.
📊
Nghiệm Duy Nhất
Tồn tại khi D ≠ 0. Mỗi biến bằng D_i / D.
⚠
Trường Hợp Suy Biến
Khi D = 0, hệ phương trình vô nghiệm hoặc có vô số nghiệm.

Công Thức Quy Tắc Cramer

Cho Hệ 2×2

Cho hệ phương trình:

$$a_1x + b_1y = c_1$$ $$a_2x + b_2y = c_2$$

Định thứcCông thứcMô tả
\(D\)\(\begin{vmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{vmatrix} = a_1 b_2 - b_1 a_2\)Định thức ma trận hệ số
\(D_x\)\(\begin{vmatrix} c_1 & b_1 \\ c_2 & b_2 \end{vmatrix} = c_1 b_2 - b_1 c_2\)Thay cột x bằng các hằng số
\(D_y\)\(\begin{vmatrix} a_1 & c_1 \\ a_2 & c_2 \end{vmatrix} = a_1 c_2 - c_1 a_2\)Thay cột y bằng các hằng số

Nghiệm: \(x = D_x / D\), \(y = D_y / D\)

Cho Hệ 3×3

Định thức của ma trận 3×3 được tính bằng cách khai triển định thức theo các phần phụ đại số dọc theo hàng đầu tiên. Mỗi \(D_i\) được tạo thành bằng cách thay thế cột tương ứng bằng vectơ hằng số, và nghiệm là \(x_i = D_i / D\).

Khi Nào Quy Tắc Cramer Hoạt Động?

Điều kiệnGiá trị DKết quả
Nghiệm duy nhấtD ≠ 0Mỗi biến = D_i / D
Vô nghiệm (không nhất quán)D = 0, có D_i ≠ 0Các đường thẳng/mặt phẳng song song
Vô số nghiệmD = 0, tất cả D_i = 0Các phương trình phụ thuộc lẫn nhau

Quy Tắc Cramer so với Các Phương Pháp Khác

Phương phápTốt nhất choHạn chế
Quy Tắc CramerHệ nhỏ (2×2, 3×3), nghiệm biểu trưng chính xácChậm đối với hệ lớn (độ phức tạp n!)
Khử GaussHệ tổng quát, ma trận lớnKhông có công thức dạng đóng
Ma Trận Nghịch ĐảoNhiều vế phải khác nhauYêu cầu D ≠ 0, tốn kém để tính toán
Phân rã LUGiải lặp lại, ổn định số họcPhức tạp hơn để triển khai

Cách Sử Dụng Máy Tính Quy Tắc Cramer

  1. Chọn kích thước hệ phương trình: Chọn 2×2 hoặc 3×3 tùy thuộc vào số lượng phương trình và ẩn số bạn có.
  2. Nhập các hệ số: Điền vào ma trận hệ số ở bên trái. Mỗi hàng tương ứng với một phương trình, và mỗi cột tương ứng với một biến (x, y, z).
  3. Nhập các hằng số: Điền vào vectơ hằng số ở bên phải (vế phải của mỗi phương trình).
  4. Nhấp Giải: Máy tính sẽ tính toán tất cả các định thức (D, D_x, D_y, và tùy chọn D_z), xác định loại nghiệm và hiển thị quy trình từng bước với trực quan hóa ma trận động.

Ứng Dụng Trong Thực Tế

Lĩnh vựcỨng dụngVí dụ
Kỹ thuậtPhân tích mạch điện (định luật Kirchhoff)Tìm cường độ dòng điện trong mạng điện trở
Kinh tếCân bằng thị trườngGiao điểm cung và cầu
Vật lýCân bằng lựcTìm phản lực trong tĩnh học
Hóa họcCân bằng phương trìnhCác hệ số tỷ lượng
Đồ họa Máy tínhBiến đổi tọa độĐiểm giao của đường thẳng/mặt phẳng

Câu Hỏi Thường Gặp

Quy tắc Cramer là gì?
Quy tắc Cramer là một phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính bằng định thức. Đối với mỗi biến, bạn thay thế cột tương ứng trong ma trận hệ số bằng vectơ hằng số và chia định thức thu được cho định thức chính. Nó hoạt động khi ma trận hệ số có định thức khác không.
Khi nào quy tắc Cramer thất bại?
Quy tắc Cramer thất bại khi định thức của ma trận hệ số bằng không. Điều này có nghĩa là hệ phương trình vô nghiệm (không nhất quán — các phương trình mô tả các đường thẳng hoặc mặt phẳng song song) hoặc có vô số nghiệm (phụ thuộc — các phương trình bị dư thừa). Trong những trường hợp như vậy, cần các phương pháp khác như khử Gauss.
Công thức quy tắc Cramer cho hệ 2×2 là gì?
Đối với hệ a1*x + b1*y = c1, a2*x + b2*y = c2: x = Dx/D và y = Dy/D, trong đó D = a1*b2 - b1*a2 là định thức của ma trận hệ số, Dx thay thế cột x bằng các hằng số, và Dy thay thế cột y bằng các hằng số.
Quy tắc Cramer có thể giải các hệ lớn hơn 3×3 không?
Về mặt lý thuyết, quy tắc Cramer có thể giải bất kỳ hệ n×n nào, nhưng nó trở nên tốn kém về mặt tính toán đối với các hệ lớn vì yêu cầu tính toán n+1 định thức, mỗi định thức có kích thước n×n. Đối với các hệ lớn hơn 3×3, các phương pháp như khử Gauss hoặc phân rã LU hiệu quả hơn nhiều trong thực tế.
Định thức bằng không có ý nghĩa gì về mặt hình học?
Đối với hệ 2×2, định thức bằng không có nghĩa là hai đường thẳng song song (vô nghiệm) hoặc trùng nhau (vô số nghiệm). Đối với hệ 3×3, điều đó có nghĩa là ba mặt phẳng không giao nhau tại một điểm duy nhất — chúng có thể song song, giao nhau dọc theo một đường thẳng, hoặc tất cả trùng nhau trong một mặt phẳng.

Tham khảo nội dung, trang hoặc công cụ này như sau:

"Máy tính Quy tắc Cramer" tại https://MiniWebtool.com/vi/may-tinh-quy-tac-cramer/ từ MiniWebtool, https://MiniWebtool.com/

bởi đội ngũ miniwebtool. Cập nhật: 2026-04-12

Có API dành cho developer: Chạy công cụ này từ ứng dụng, tự động hóa hoặc agent của bạn bằng một yêu cầu HTTP JSON. Xem tài liệu API

Bạn cũng có thể thử AI Giải Toán GPT của chúng tôi để giải quyết các vấn đề toán học của bạn thông qua câu hỏi và trả lời bằng ngôn ngữ tự nhiên.

Đại số Tuyến tính:

Công cụ phổ biến và mới cập nhật:

Máy tính tuổiTrình Trích Xuất Ảnh từ VideoCông cụ Mã hóa CaesarTrình tạo bài tây ngẫu nhiênCông cụ đổi Pound sang KilogramTra cứu ID người dùng FacebookTra cứu ID người dùng InstagramĐảo ngược văn bảnMáy Tính Số Mũ (Độ Chính Xác Cao)⏱️ Máy Tính GiờCông cụ đếm hàngCông cụ chuyển đổi kg sang lbs🖱️ Bộ Đếm ClickTrình tạo oẳn tù tìBộ chuyển đổi thập phân sang nhị phânSắp xếp sốTrình tạo chuỗi ngẫu nhiênTrình Tạo Mã MorseMáy tính giảm giá phần trămTrình Luyện Toán NhẩmMáy tính Phân tích Thừa số Nguyên tốCông cụ chuyển đổi chữ số La MãMáy tính thương và số dưĐổ xúc xắcThống kê Kênh YouTubeBộ Chuyển Đổi Số Sang ChữTrình nhân hóa văn bản AITrình tạo đồ vật ngẫu nhiênTrình tạo thẻ tín dụng ngẫu nhiênTrình trích xuất âm thanh📷 OCR Chuyển Ảnh Thành Văn BảnBộ chuyển đổi HEXTrình phát hiện nội dung AICông Cụ Vẽ Đồ Thị Hệ Bất Phương TrìnhTrình nén VideoTrình tạo ngày sinh ngẫu nhiênMáy tính nhị phânMáy tính thời gianMáy tính căn bậc hai🔍 Kiểm tra Đạo vănTrình tạo nhánh giải đấu ngẫu nhiênBộ lặp MP3⏰ Đồng Hồ Báo Thức Trực TuyếnCông cụ tạo Sự thật hay Thách đốMáy tính thập phân sang phân sốBộ chuyển đổi FPSGhép Video📅 Máy tính ngàyMáy tính phân số tối giảnBộ chuyển đổi Thập phân sang Thập lục phânSắp xếp theo thứ tự bảng chữ cáiBộ chuyển đổi Feet và Inch sang CmMáy Tính Số TuầnCông cụ chuyển đổi nhị phân sang thập phânCông cụ chia ảnhMáy tính Cạnh huyềnTạo Ô ChữXóa dấu cáchTạo Trò Chơi Tìm TừBộ chuyển đổi hex sang thập phânCon số may mắn của tôi là gì?Gộp PDFTung đồng xuĐây có phải là Số Nguyên Tố?Công cụ xáo trộn chữ cáiMáy Giải Phương Trình Bậc BaMáy tính chuyển đổi phân số sang số thập phânCông cụ chuyển đổi milimet sang inchCông cụ chuyển đổi cm sang feet và inchMáy tính Cung Mặt trời, Mặt trăng & Cung mọc 🌞🌙✨Trình tạo mê cungTrình tạo tên ngẫu nhiênTrình Tạo Bài Toán Ngẫu NhiênDanh sách các số nguyên tốMáy tính Kiểm tra Chia hếtBộ chuyển đổi Nhị phân sang HexChuyển đổi Số thành Phân sốCông cụ loại bỏ dấu câu trực tuyếnTrình chuyển đổi SRT sang TXTĐố Vui Bảng Cửu ChươngCông cụ chuyển đổi psi sang kPaCông cụ vẽ đồ thị hàm số⏱️ Bộ Đếm Ngược Thời GianMáy tính ngày trong năm - Hôm nay là ngày thứ mấy trong nămTrình chuyển đổi hình ảnh sang nghệ thuật ASCIITrình tạo thời gian ngẫu nhiênBộ Chia Âm ThanhSo sánh hai chuỗiBộ chọn bình luận YouTubeChuyển đổi Thời gian SRTMáy tính So sánh Phân sốTrình tạo thẻ BingoCông cụ tạo nhóm ngẫu nhiênMáy tính ModuloTrình Tạo Công Thức Nấu Ăn AI Từ Nguyên LiệuTrình tạo PIN ngẫu nhiên⏱️ Đồng Hồ Bấm Giờ Trực TuyếnCông cụ chuyển đổi centimet sang inchCông cụ chuyển đổi pound sang gamMáy tính Pha Mặt TrăngXoay VideoChuyển đổi Tốc độ Truyền dữ liệuCông cụ chuyển đổi DMS sang độ thập phânCông cụ chuyển đổi inch sang centimetMáy tính BMRMáy Tính Giờ Làm ViệcBộ chuyển đổi hệ cơ sốn chữ số đầu tiên của piTrình tạo từ ngẫu nhiên tiếng AnhCông cụ chuyển đổi kPa sang psi💧 Máy Tính Điểm SươngMáy tính Công thức Dây giàyMáy tính trung bình mẫuTrình tạo số nguyên ngẫu nhiênTạo và giải SudokuĐiều chỉnh tốc độ videoBảng mã ASCIIBộ đếm ký tựCân Bằng Phương Trình Hóa HọcCông cụ chuyển đổi Phần trăm sang PPMCông cụ chuyển đổi thập phân sang bát phânLịch trăng non và trăng trònMáy Tính Chu Vi Hình ElipMáy tính mã màu điện trởMáy tính trung bìnhMáy tính định lý PythagoreTrình tạo địa chỉ giả ngẫu nhiênBộ Đếm Token AIBộ chuyển đổi RGB sang Hex🥧 Công Cụ Tạo Biểu Đồ TrònCông cụ Chuyển đổi Tần số và Bước sóngMáy Tính Diện TíchMáy tính Ước số chung lớn nhấtTra Cứu Địa Chỉ MACTrình truy vết ảnh sang SVGTrình tạo số xổ sốBộ chuyển đổi Hex sang RGBChuyển đổi CSV sang JSONMáy tính mỡ cơ thể Quân độiMáy tính giai thừaQuay vòng quayCông cụ Chuyển đổi Mét sang FeetBộ chia videoDanh sách năm nhuậnMáy tính HEXMáy tính Số Nhân CáchTrình tạo mã vạchBộ Chuyển Đổi Nhị PhânBộ mã hóa Base64Công cụ tính điểm trung bình GPAMáy Tính Diện Tích Đa Giác Bất Quy TắcMáy Tính Điện Trở LEDMáy tính Natri hiệu chuẩnMáy tính thể tíchMáy tính Độ dốc và CấpMáy tính TổngBộ tính lượng nước cần thiếtChuyển đổi Kích thước Tập tinChuyển đổi Nhị phân sang Bát phânMáy tính Vị trí Mặt trờiMáy tính thừa số nguyên tốTrình Mô Phỏng Bàn Tính Soroban NhậtWorld ClockChuyển video sang Twitter (X)Trình tạo gamertagTrình tạo tên độiTrình tạo biệt danhTrình tạo tên rapTrình tạo tên ban nhạcTrình tạo tên FantasyTrình tạo bánh quy may mắnTrình tạo ý tưởng vẽTrình tạo gợi ý nhật kýTrình tạo câu khẳng định hàng ngàyTrình tạo lời khenTrình tạo câu thả thínhTrình tạo truyện cười của bốTrình tạo truyện cười ngẫu nhiênTrình tạo sự thật ngẫu nhiênTrình tạo câu hỏi triviaTrình tạo từ HangmanTrình tạo từ PictionaryTrình tạo trò chơi ô hành độngTrình tạo câu hỏi phá băngTrình tạo Tôi chưa bao giờTrình tạo Bạn chọn cái nàoTrình tạo Câu hỏi Ngẫu nhiênTrình giải mã giấc mơ AITrình tạo lời cảm ơn AITrình tạo bài phát biểu đám cưới AITrình tạo thông cáo báo chí AITrình tạo mô tả sản phẩm AITrình tạo kịch bản video AITrình tạo tiêu đề và mô tả YouTube bằng AITrình tạo chú thích Instagram AITrình tạo tiêu đề và tiểu sử LinkedIn AITrình tạo gạch đầu dòng CV AITrình tạo thư xin việc AITrình tạo lời bài hát rap AILàm phẳng PDFMở khóa PDF (Xóa mật khẩu chủ sở hữu)Trích xuất văn bản từ PDFTrích xuất trang PDFCông cụ đếm từ PDFBảo vệ PDFThêm số trang vào PDFSắp xếp lại trang PDFXóa trang PDFXoay PDFChuyển JPG sang PDFPDF sang JPGNén PDFTách PDFCông cụ chuyển đổi PT sang PXCông cụ chuyển đổi PX sang REMCông cụ chuyển đổi Tola sang GramCông cụ chuyển đổi đơn vị đất Ấn ĐộCông cụ chuyển đổi mcg sang mgTrình tạo lời bài hát AITrình tạo thơ AITrình tạo truyện AITrình dịch AICông cụ Tóm tắt Văn bản AICông cụ chuyển đổi Mg sang MlBộ chuyển đổi MPH sang KMH / KMH sang MPHCông cụ chuyển đổi hải lý trên giờ sang MPHMét khối sang feet khốiCông cụ chuyển đổi feet khối sang yard khốiCông cụ chuyển đổi feet vuông sang mét vuôngBộ chuyển đổi mét vuông sang feet vuôngBộ chuyển đổi Oz sang MLBộ chuyển đổi ML sang ozBộ chuyển đổi gallon sang lítCông cụ chuyển đổi lít sang gallonChuyển Đổi Kg Sang StoneMáy Chuyển Đổi Stone Sang KgCông cụ chuyển đổi inch sang milimetChuyển đổi Dặm sang KmBộ chuyển đổi Km sang DặmBộ chuyển đổi Fahrenheit sang CelsiusMáy đổi Celsius sang FahrenheitCông cụ tính cỡ ba lôCông cụ tính thể tích ván lướt sóngCông cụ tính cỡ cán vợt tennisMáy tính kích thước mũ bảo hiểmCông cụ tính cỡ găng tayCông cụ chuyển đổi cỡ mũMáy tính kích thước ván trượt tuyếtCông cụ tính kích thước ván trượtCông cụ tính kích thước xe đạpBộ hẹn giờ Split SpeedrunMáy tính StablefordMáy tính checkout phi tiêuMáy tính Economy Bowling CricketMáy tính Strike Rate CricketMáy tính Net Run RateMáy Tính Tỷ Lệ K/DMáy Tính Xếp Hạng EloMáy tính phục hồi nhịp timMáy Tính Thời Gian Đi Bộ Đường DàiMáy tính Pace Chèo thuyềnMáy Tính Hiệu Suất Chạy Theo TuổiMáy tính FTP và Vùng Công suấtMáy Tính Beep TestMáy tính Điểm ACFTMáy tính Wilks & DOTSMáy tính Offset Bánh xeTra cứu Chỉ số Tải trọng & Xếp hạng Tốc độ LốpMáy tính Chi phí Mỗi DặmMáy Tính Mua Lại Hợp Đồng ThuêMáy Tính Pha Trộn OctanMáy Tính Pha Nhớt Xăng 2 ThìMáy Tính Dung Tích Động CơMáy Tính Ghế Sofa Qua CửaMáy Tính Dây CủiMáy Tính CADR Máy Lọc Không KhíMáy Tính Kích Thước Máy Hút ẨmMáy Tính Kích Thước Quạt TrầnMáy Tính Kích Thước Rèm CửaMáy Tính Kích Thước ThảmMáy tính chiều cao treo tranhMáy Tính Chiều Cao Lắp Đặt TVMáy Tính Kích Thước TVMáy Tính Thể Tích và Bạt Lót HồMáy Tính Muối Hồ BộiMáy Tính Thể Tích Hồ BơiMáy Tính Kích Thước Máy Nước NóngMáy Tính Nhựa EpoxyMáy Tính Khoảng Cách Con Tiện Lan CanMáy Tính Len Chân Tường và Nẹp Trang TríMáy Tính Ốp TườngMáy Tính Sơn Phủ Sàn GỗMáy Tính Hạt Giống CỏMáy Tính Cỏ NềnMáy Tính Nhựa ĐườngMáy Tính Yard KhốiMáy Tính Chiều Dài AntenMáy Tính Độ Lấp Đầy Ống Lót DâyMáy Tính Tụ Điện Nối Tiếp và Song SongMáy Tính Cảm KhángMáy Tính Chiếu Sáng PhòngMáy Tính Lux Sang LumenMáy Chuyển Đổi Lumen Sang WattMáy Tính Công Suất Máy Phát ĐiệnCông Cụ Chuyển Đổi mAh Sang WhMáy Tính Công Suất 3 PhaMáy Tính kVAMáy Tính Ampe Sang WattMáy Tính Watt Sang AmpeMáy Tính Điện Trở Nối TiếpMáy Tính Lực Ma SátMáy Tính Mặt Phẳng NghiêngMáy tính Lợi thế Cơ họcMáy tính Tốc độ Âm thanhMáy Tính Tốc Độ SóngMáy tính Lực nổiMáy tính Vận tốc Tới hạnMáy tính Bước sóng de BroglieMáy tính năng lượng photonMáy Tính E=mc²Máy Tính Giãn Nở Thời GianMáy tính Định luật thứ ba của KeplerMáy tính Vận tốc ThoátMáy Tính Lực Hấp DẫnMáy tính Định luật Beer-LambertMáy Tính Phương Trình NernstMáy tính Áp suất Thẩm thấuMáy Tính Độ Tăng Điểm SôiMáy Tính Độ Giảm Điểm Đông BăngMáy Tính Thành Phần Phần TrămMáy Tính Nồng Độ Đương LượngMáy tính Nồng độ MolanBộ Chuyển Đổi pKa Sang KaMáy tính Henderson-HasselbalchMáy Tính Sản Lượng Lý ThuyếtMáy tính Chất phản ứng Giới hạnMáy tính Cấu hình ElectronBảng tuần hoàn tương tácTrình Tạo Giáo Án AITrình tạo Câu đố AITrình tạo trích dẫn (APA/MLA/Chicago)Máy Tính Phần Trăm Điểm DanhMáy Tính Điểm APMáy Tính Điểm ACTMáy Tính Điểm SATCông cụ ước tính thu nhập YouTubeTrình tạo nhân vật RPG ngẫu nhiên
Trang chủ > Toán học > Đại số Tuyến tính > Máy tính Quy tắc Cramer