Máy Tính Không Gian Null
Nhập một ma trận. Nhận cơ sở cho nghiệm của Ax = 0, số chiều nullity, các bước khử hàng và kiểm tra hạng-nullity bằng phân số đúng.
Trình chặn quảng cáo đang ngăn chúng tôi hiển thị quảng cáo
MiniWebtool miễn phí nhờ quảng cáo. Nếu công cụ này hữu ích với bạn, hãy ủng hộ chúng tôi bằng cách nâng cấp để duyệt không quảng cáo và có nhiều lượt dùng mỗi ngày hơn, hoặc cho phép MiniWebtool.com rồi tải lại.
- Cho phép quảng cáo cho MiniWebtool.com, rồi tải lại
- Hoặc nâng cấp để không quảng cáo và có giới hạn hằng ngày cao hơn
Giới thiệu về Máy Tính Không Gian Null
Máy tính Không gian Null tìm không gian null (hạt nhân) của bất kỳ ma trận nào bằng cách giải hệ phương trình thuần nhất Ax = 0. Nhập một ma trận có kích thước bất kỳ lên đến 8×8 và nhận cơ sở không gian null hoàn chỉnh với các phép tính phân số chính xác, từng bước khử Gauss sang RREF, phân loại cột (chốt so với tự do) và xác minh định lý hạng-số-chiều.
Không gian Null của một ma trận là gì?
Không gian null (còn được gọi là hạt nhân) của một ma trận \(m \times n\) \(A\) là tập hợp tất cả các vectơ \(\mathbf{x}\) trong \(\mathbb{R}^n\) thỏa mãn:
$$A\mathbf{x} = \mathbf{0}$$
Được viết dưới dạng tập hợp: \(\text{Null}(A) = \{ \mathbf{x} \in \mathbb{R}^n : A\mathbf{x} = \mathbf{0} \}\). Không gian null luôn là một không gian con của \(\mathbb{R}^n\), nghĩa là nó chứa vectơ không và đóng kín đối với phép cộng và phép nhân vô hướng.
Làm thế nào để tìm không gian null
Bước 1. Thiết lập số hàng (m) và số cột (n) cho ma trận của bạn bằng các nút điều khiển +/−, hoặc nhấp vào một ví dụ nhanh để tải ma trận có sẵn.
Bước 2. Nhập các giá trị ma trận của bạn vào lưới. Bạn có thể nhập số nguyên, số thập phân hoặc phân số như 1/3 hoặc -5/2. Sử dụng phím Tab, Enter hoặc các phím mũi tên để di chuyển giữa các ô.
Bước 3. Nhấp vào Tìm Không gian Null. Máy tính thực hiện phép khử Gauss để chuyển đổi ma trận của bạn sang dạng bậc thang rút gọn theo hàng (RREF).
Bước 4. Xác định các cột chốt và cột tự do. Mỗi cột tự do tương ứng với một biến tự do có thể nhận bất kỳ giá trị nào.
Bước 5. Đối với mỗi biến tự do, hãy đặt nó bằng 1 và tất cả các biến tự do khác bằng 0, sau đó giải các biến chốt. Các vectơ kết quả tạo thành một cơ sở cho không gian null.
Không gian Null so với Không gian Cột
| Thuộc tính | Không gian Null | Không gian Cột |
|---|---|---|
| Định nghĩa | Tất cả x sao cho Ax = 0 | Tất cả b sao cho Ax = b có nghiệm |
| Nằm trong | \(\mathbb{R}^n\) (miền xác định) | \(\mathbb{R}^m\) (miền giá trị) |
| Số chiều | nullity = n − rank | rank |
| Tìm được từ | Cột tự do của RREF | Các cột chốt của A |
Định lý Hạng-Số-chiều (Rank-Nullity)
Cho bất kỳ ma trận \(m \times n\) \(A\):
$$\text{rank}(A) + \text{nullity}(A) = n$$
Hạng (rank) là số lượng cột chốt trong RREF, và số chiều null (nullity) là số lượng cột tự do. Cùng nhau, chúng chiếm mọi cột. Định lý này còn được gọi là định lý số chiều cho các ánh xạ tuyến tính.
Các trường hợp đặc biệt
| Kịch bản | Không gian Null | Nghĩa là |
|---|---|---|
| Hạng cột đầy đủ (rank = n) | Chỉ có {0} | Các cột độc lập tuyến tính; Ax = 0 chỉ có nghiệm tầm thường |
| Số cột nhiều hơn số hàng (n > m) | Luôn không tầm thường | Có ít nhất n − m biến tự do, do đó tồn tại vô số nghiệm |
| Ma trận vuông suy biến | Không tầm thường | Ma trận có định thức bằng không và các hàng/cột phụ thuộc tuyến tính |
| Ma trận không | Toàn bộ \(\mathbb{R}^n\) | Mọi vectơ đều nằm trong không gian null; cơ sở là cơ sở chính tắc |
Ứng dụng của Không gian Null
Câu hỏi thường gặp
Không gian null của một ma trận là gì?
Không gian null (hay hạt nhân) của một ma trận A là tập hợp tất cả các vectơ x sao cho Ax = 0. Nó là một không gian con của R^n trong đó n là số cột. Không gian null luôn chứa vectơ không và có thể chứa vô số vectơ khác không nếu ma trận có các biến tự do.
Làm thế nào để tìm không gian null?
Đưa ma trận A về dạng bậc thang rút gọn theo hàng (RREF) bằng phương pháp khử Gauss. Xác định các cột chốt và cột tự do. Đối với mỗi biến tự do, hãy đặt nó bằng 1 và tất cả các biến tự do khác bằng 0, sau đó giải các biến chốt. Các vectơ kết quả tạo thành một cơ sở cho không gian null.
Định lý hạng-số-chiều (rank-nullity) là gì?
Định lý hạng-số-chiều phát biểu rằng đối với một ma trận m x n A, rank(A) + nullity(A) = n, trong đó n là số cột. Hạng là số lượng cột chốt và nullity là số chiều của không gian null (số lượng biến tự do).
Điều đó có nghĩa là gì nếu không gian null là tầm thường?
Một không gian null tầm thường có nghĩa là nghiệm duy nhất cho Ax = 0 là vectơ không x = 0. Điều này xảy ra khi mọi cột đều là cột chốt (hạng cột đầy đủ). Nó có nghĩa là các cột của A độc lập tuyến tính.
Các ma trận không vuông có không gian null không?
Có. Bất kỳ ma trận nào cũng có không gian null. Đối với một ma trận m x n với m nhỏ hơn n, không gian null được đảm bảo là không tầm thường (số chiều ít nhất là n - m) bởi vì có nhiều ẩn số hơn phương trình, vì vậy các biến tự do luôn tồn tại.
Tham khảo nội dung, trang hoặc công cụ này như sau:
"Máy Tính Không Gian Null" tại https://MiniWebtool.com/vi/may-tinh-khong-gian-null/ từ MiniWebtool, https://MiniWebtool.com/
bởi đội ngũ miniwebtool. Cập nhật: 2026-04-10
Đại số Tuyến tính:
- Máy Tính Góc Giữa Các Vecto Mới
- Máy Tính Đa Thức Đặc Trưng Mới
- Máy Tính Phân Rã Cholesky Mới
- Máy Tính Không Gian Cột Mới
- Máy tính Quy tắc Cramer Mới
- Máy Tính Tích Có Hướng Mới
- Máy Tính Định Thức Phổ biến
- Máy Tính Tích Vô Hướng Mới
- Máy tính Giá trị riêng và Vectơ riêng
- Máy tính Gram-Schmidt
- Máy Tính Ma Trận Jacobian Mới
- Máy Tính Dạng Chuẩn Jordan Mới
- Máy Tính Ma Trận
- Máy Tính Chéo Hóa Ma Trận Mới
- Máy Tính Hàm Mũ Ma Trận Mới
- Máy Tính Ma Trận Nghịch Đảo Mới
- Máy tính Phân tích LU Ma trận
- Máy Tính Nhân Ma Trận Mới
- Máy Tính Lũy Thừa Ma Trận Mới
- Máy tính Hạng Ma trận
- Máy tính Vết Ma trận
- Máy Tính Không Gian Null Mới
- Máy tính phân tích phân số từng phần
- Máy Tính Phân Tích QR Mới
- Máy tính RREF (Dạng Bậc Thang Rút Gọn) Mới
- Máy tính Phân tích Giá trị Kỳ dị (SVD)
- Máy Tính Tích Tensor Mới
- Máy Tính Vecto Đơn Vị Mới
- Máy tính Vector Phổ biến
- Máy Tính Độ Lớn Vecto Mới
- Máy tính Phép chiếu Vector