Đơn giản hóa quy trình làm việc của bạn: Tìm kiếm miniwebtool.
Thêm
Công cụ liên quan
Máy Tính Góc Giữa Các VectoMáy Tính Tích Vô HướngMáy Tính Vecto Đơn VịMáy tính VectorMáy Tính Độ Lớn Vecto
Trang chủ > Toán học > Đại số Tuyến tính > Máy Tính Tích Có Hướng
 

Máy Tính Tích Có Hướng

Tính tích có hướng (tích vectơ) của hai vectơ 3D bằng công thức định thức. Nhận khai triển từng bước, vectơ kết quả vuông góc, độ lớn (diện tích hình bình hành), xác minh hướng và hình ảnh trực quan 3D tương tác.

Máy Tính Tích Có Hướng
Ví dụ:
XEM TRƯỚC 3D TRỰC TIẾP
Vector ax, y, z
×
Vector bx, y, z

Embed Máy Tính Tích Có Hướng Widget

Giới thiệu về Máy Tính Tích Có Hướng

Máy tính Tích có hướng tính toán tích vector của hai vector 3D bằng công thức định thức. Nhập các thành phần của hai vector để nhận ngay vector vuông góc thu được, độ lớn của nó (diện tích hình bình hành), góc giữa các vector đầu vào, khai triển định thức từng bước, xác minh tính vuông góc và sơ đồ 3D tương tác mà bạn có thể xoay bằng cách kéo chuột.

Công thức Tích có hướng

Tích có hướng của hai vector 3D \(\vec{a} = \langle a_1, a_2, a_3 \rangle\) và \(\vec{b} = \langle b_1, b_2, b_3 \rangle\) được định nghĩa là định thức:

$$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \end{vmatrix}$$

Khai triển theo các phần phụ đại số dọc theo hàng đầu tiên cho kết quả:

$$\vec{a} \times \vec{b} = \hat{i}(a_2 b_3 - a_3 b_2) - \hat{j}(a_1 b_3 - a_3 b_1) + \hat{k}(a_1 b_2 - a_2 b_1)$$

Ứng dụng thực tế

🔧
Mô-men xoắn
τ = r × F tính toán lực quay
🌊
Mô-men động lượng
L = r × p trong cơ học quay
🎮
Pháp tuyến bề mặt
Kết xuất 3D sử dụng pháp tuyến để chiếu sáng
✈
Điện từ học
F = qv × B cho lực Lorentz
📐
Tính diện tích
|a×b| cho diện tích hình bình hành/tam giác
🏗
Kỹ thuật cấu trúc
Mô-men của các lực quanh một điểm

Các công thức chính

Thuộc tínhCông thứcMô tả
Tích có hướng\(\vec{a} \times \vec{b} = \langle a_2 b_3 - a_3 b_2,\; a_3 b_1 - a_1 b_3,\; a_1 b_2 - a_2 b_1 \rangle\)Dạng thành phần của tích có hướng
Độ lớn\(|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}||\vec{b}|\sin\theta\)Bằng diện tích hình bình hành
Tính phản giao hoán\(\vec{a} \times \vec{b} = -(\vec{b} \times \vec{a})\)Hoán đổi thứ tự sẽ đảo ngược hướng
Tính vuông góc\((\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{a} = 0\)Kết quả luôn vuông góc với cả hai đầu vào
Kiểm tra song song\(\vec{a} \times \vec{b} = \vec{0} \iff \vec{a} \| \vec{b}\)Tích có hướng bằng không nghĩa là các vector song song
Diện tích tam giác\(A = \frac{1}{2}|\vec{a} \times \vec{b}|\)Bằng một nửa diện tích hình bình hành

Tích có hướng vs. Tích vô hướng

Tích có hướng (a × b)

Tạo ra một vector vuông góc với cả hai đầu vào. Chỉ được xác định trong 3D. Độ lớn bằng diện tích hình bình hành. Bằng không khi các vector song song. Đạt cực đại khi các vector vuông góc. Có tính phản giao hoán: a × b = -(b × a).

Tích vô hướng (a · b)

Tạo ra một giá trị vô hướng. Hoạt động trong mọi số chiều. Đo lường mức độ cùng hướng giữa các vector. Bằng không khi các vector vuông góc. Đạt cực đại khi các vector song song. Có tính giao hoán: a · b = b · a.

Các tính chất chính

Phản giao hoán
\(\vec{a} \times \vec{b} = -(\vec{b} \times \vec{a})\) — thứ tự rất quan trọng
Phân phối
\(\vec{a} \times (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} \times \vec{b} + \vec{a} \times \vec{c}\)
Nhân với vô hướng
\((k\vec{a}) \times \vec{b} = k(\vec{a} \times \vec{b})\)
Tự tích có hướng
\(\vec{a} \times \vec{a} = \vec{0}\) — luôn bằng không
Không kết hợp
\(\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}) \neq (\vec{a} \times \vec{b}) \times \vec{c}\)
Đồng nhất thức Lagrange
\(|\vec{a} \times \vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 |\vec{b}|^2 - (\vec{a} \cdot \vec{b})^2\)

Hiểu về Quy tắc Bàn tay phải

Hướng của tích có hướng tuân theo quy tắc bàn tay phải: đặt các ngón tay của bàn tay phải dọc theo vector thứ nhất \(\vec{a}\), khum chúng về phía vector thứ hai \(\vec{b}\), và ngón cái của bạn sẽ chỉ hướng của \(\vec{a} \times \vec{b}\). Đây là lý do tại sao tích có hướng có tính phản giao hoán — việc đảo ngược thứ tự sẽ đảo ngược hướng của ngón cái, cho ra \(\vec{b} \times \vec{a} = -(\vec{a} \times \vec{b})\).

Độ lớn \(|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}||\vec{b}|\sin\theta\) đại diện cho diện tích của hình bình hành được tạo bởi hai vector. Khi các vector song song (\(\theta = 0°\) hoặc \(180°\)), diện tích thu hẹp về không. Khi chúng vuông góc (\(\theta = 90°\)), diện tích đạt cực đại ở mức \(|\vec{a}| \times |\vec{b}|\).

Cách sử dụng Máy tính Tích có hướng

  1. Nhập Vector a: Nhập ba thành phần (x, y, z) phân cách bằng dấu phẩy — ví dụ: 2, 3, 4. Bạn cũng có thể nhấp vào một ví dụ nhanh để tự động điền cả hai vector.
  2. Nhập Vector b: Nhập ba thành phần của vector thứ hai theo cùng định dạng.
  3. Theo dõi xem trước trực tiếp: Bản xem trước 3D cập nhật theo thời gian thực, hiển thị cả hai vector, vector tích có hướng và hình bình hành.
  4. Nhấp Tính toán: Nhấn nút để nhận kết quả đầy đủ bao gồm vector kết quả vuông góc, diện tích hình bình hành, góc, khai triển định thức từng bước và sơ đồ 3D tương tác.
  5. Khám phá sơ đồ: Kéo để xoay chế độ xem 3D, bật/tắt các lớp (hình bình hành, vector tích có hướng, trục, nhãn) cho các hình ảnh trực quan khác nhau.

Câu hỏi thường gặp (FAQ)

Tích có hướng của hai vector là gì?
Tích có hướng (còn gọi là tích vector) của hai vector 3D a và b tạo ra một vector mới vuông góc với cả a và b. Nó được tính bằng định thức của một ma trận 3×3 với các vector đơn vị i, j, k ở hàng đầu tiên. Độ lớn của kết quả bằng diện tích của hình bình hành được tạo bởi hai vector.
Làm thế nào để tính tích có hướng bằng phương pháp định thức?
Thiết lập một ma trận 3×3 với i-hat, j-hat, k-hat ở hàng 1, các thành phần của vector a ở hàng 2 và các thành phần của vector b ở hàng 3. Sau đó khai triển theo hàng đầu tiên: i(a₂b₃ − a₃b₂) − j(a₁b₃ − a₃b₁) + k(a₁b₂ − a₂b₁). Điều này cho ra ba thành phần của vector tích có hướng.
Tại sao tích có hướng chỉ được xác định trong không gian 3D?
Tích có hướng dưới dạng một phép toán vector chỉ được xác định trong 3 chiều (và 7 chiều) bởi vì chỉ trong những không gian này, bạn mới có thể tìm thấy một vector duy nhất vuông góc với hai vector cho trước. Trong 2D không có hướng nằm ngoài mặt phẳng, và ở các chiều cao hơn, không gian vuông góc có nhiều hơn một chiều.
Ý nghĩa hình học của độ lớn tích có hướng là gì?
Độ lớn |a × b| bằng diện tích của hình bình hành được tạo bởi các vector a và b. Một nửa giá trị này cho diện tích tam giác. Điều này được sử dụng rộng rãi trong vật lý (mô-men xoắn = r × F) và đồ họa máy tính (tính toán pháp tuyến bề mặt để chiếu sáng).
Quy tắc bàn tay phải cho tích có hướng là gì?
Quy tắc bàn tay phải xác định hướng của tích có hướng: đặt các ngón tay dọc theo vector a, khum chúng về phía vector b, và ngón cái của bạn sẽ chỉ theo hướng của a × b. Điều này có nghĩa là tích có hướng có tính phản giao hoán — a × b bằng −(b × a).

Tham khảo nội dung, trang hoặc công cụ này như sau:

"Máy Tính Tích Có Hướng" tại https://MiniWebtool.com/vi/may-tinh-tich-co-huong/ từ MiniWebtool, https://MiniWebtool.com/

bởi đội ngũ miniwebtool. Cập nhật: 2026-04-10

Có API dành cho developer: Chạy công cụ này từ ứng dụng, tự động hóa hoặc agent của bạn bằng một yêu cầu HTTP JSON. Xem tài liệu API

Bạn cũng có thể thử AI Giải Toán GPT của chúng tôi để giải quyết các vấn đề toán học của bạn thông qua câu hỏi và trả lời bằng ngôn ngữ tự nhiên.

Đại số Tuyến tính:

Công cụ nổi bật:

Máy tính tuổiTrình Trích Xuất Ảnh từ Videomáy-tính-số-mũ-độ-chính-xác-cao⏱️ Máy Tính GiờTrình tạo bài tây ngẫu nhiênCông cụ đổi Pound sang KilogramCông cụ đếm hàngCông cụ Mã hóa CaesarMáy tính Phân tích Thừa số Nguyên tốTra cứu ID người dùng FacebookMáy tính phân số tối giảnCông cụ chuyển đổi kg sang lbs🖱️ Bộ Đếm ClickTrình Tạo Mã MorseTrình tạo oẳn tù tìTrình tạo chuỗi ngẫu nhiênMáy tính giảm giá phần trămBộ Chuyển Đổi Số Sang ChữMáy tính thương và số dưTra cứu ID người dùng InstagramĐảo ngược văn bảnCông cụ chuyển đổi chữ số La MãMáy tính ngày trong năm - Hôm nay là ngày thứ mấy trong nămTrình tạo nhánh giải đấu ngẫu nhiênMáy tính thời gianCông cụ chuyển đổi nhị phân sang thập phân📅 Máy tính ngàyBộ lặp MP3Máy tính Cạnh huyềnMáy tính thập phân sang phân sốSắp xếp sốĐổ xúc xắcBộ chuyển đổi thập phân sang nhị phânTrình Luyện Toán NhẩmĐây có phải là Số Nguyên Tố?Máy tính Kiểm tra Chia hếtBộ chuyển đổi FPSMáy Giải Phương Trình Bậc BaTrình chuyển đổi SRT sang TXTTrình nhân hóa văn bản AICông Cụ Vẽ Đồ Thị Hệ Bất Phương TrìnhBộ chuyển đổi Feet và Inch sang CmBộ chuyển đổi Nhị phân sang HexThống kê Kênh YouTubeGhép VideoTrình tạo số nguyên ngẫu nhiênCông cụ chuyển đổi phân số thành hỗn sốTung đồng xuCông cụ chuyển đổi cm sang feet và inchBộ chuyển đổi HEXBộ chuyển đổi Thập phân sang Thập lục phânXóa dấu cáchSo sánh hai chuỗiMáy tính chuyển đổi phân số sang số thập phân🔍 Kiểm tra Đạo vănTrình phát hiện nội dung AIMáy tính thâm hụt caloCông cụ chuyển đổi kPa sang psiMáy tính căn bậc haiMáy tính nhị phânCông cụ chuyển đổi centimet sang inchTạo Ô ChữCông cụ xáo trộn chữ cáiTrình tạo tên ngẫu nhiênDanh sách các số nguyên tốMáy tính trung bình mẫuTrình trích xuất âm thanhMáy tính giai thừaTrình tạo ngày sinh ngẫu nhiênBộ chuyển đổi hex sang thập phânCông cụ chia ảnhMáy tính HEX📷 OCR Chuyển Ảnh Thành Văn BảnCông cụ loại bỏ dấu câu trực tuyếnLịch Sao Thủy Nghịch HànhTạo Trò Chơi Tìm TừMáy tính So sánh Phân sốCân Bằng Phương Trình Hóa HọcCông cụ chuyển đổi hỗn số thành phân sốSắp xếp theo thứ tự bảng chữ cáiCông cụ chuyển đổi Phần trăm sang PPMĐiều chỉnh tốc độ videoBộ chuyển đổi hệ cơ sốBộ Chia Âm ThanhBộ chọn bình luận YouTubeCông cụ Giải Quy hoạch Tuyến tínhCông cụ tạo nhóm ngẫu nhiêntra-cứu-địa-chỉ-MACCông cụ Mã hóa VigenèreTrình tạo thẻ BingoCon số may mắn của tôi là gì?Máy Tính Số TuầnMáy Tính Chia Đa ThứcTrình tạo thẻ tín dụng ngẫu nhiênTrình tạo đồ vật ngẫu nhiên📈 Công Cụ Tạo Biểu Đồ ĐườngMáy Tính Điểm SốMáy Tính Chu Vi Hình ElipMáy tính Độ dốc và CấpCông cụ chuyển đổi hệ thập lục phân sang nhị phânCông cụ chuyển đổi Radian sang ĐộMáy tính ModuloTrình Mô Phỏng Cổng LogicMáy tính Tổng⏰ Đồng Hồ Báo Thức Trực TuyếnTạo và giải SudokuCông cụ chuyển đổi thời gian phân sốLịch trăng non và trăng trònTrình tạo mê cungBộ chuyển đổi RGB sang HexMáy tính BSAChuyển đổi Số thành Phân sốChọn tên ngẫu nhiênMáy tính Tuổi thaiBảng mã ASCII💧 Máy Tính Điểm SươngTrình chuyển đổi HTML sang văn bảnBộ Chuyển Đổi Nhị PhânChuyển Đổi GócDanh sách năm nhuậnXoay VideoCông cụ ước tính thu nhập YouTubeCông cụ tính điểm trung bình GPAMáy tính GFRMáy tính Tuổi thọ Trung bìnhmáy-tính-hba1cMáy tính WHtR⏱️ Bộ Đếm Ngược Thời GianMáy tính bước chân sang khoảng cáchMáy tính Cầu thangMáy tính Điện trở Song songMáy Tính Ký Hiệu Sigma (Tổng)Máy tính số thiên thầnMáy Tính Độ Lệch Chuẩn Tương ĐốiĐố Vui Bảng Cửu ChươngChuyển Đổi Mô-men Xoắn (Nm, ft-lb, kgf-cm)công cụ chuyển đổi ppm sang phần trămMáy tính hệ sốMáy tính trung bìnhMáy tính tỷ lệ BUN và Creatininemáy-tính-tỷ-lệ-bánh-mìMáy tính Đạo hàmMáy tính Ước số chung lớn nhấtTrình tạo từ ngẫu nhiên tiếng AnhCông cụ chuyển đổi psi sang kPaCông cụ Xoay ẢnhDanh sách Dãy số FibonacciMáy Tính Giờ Làm ViệcMáy tính Hình trònn chữ số đầu tiên của piTrình tạo chữ cái ngẫu nhiênBộ chuyển đổi địa chỉ IP sang HexBộ Chuyển Đổi Thời Gian Sang Thập Phân🥧 Công Cụ Tạo Biểu Đồ TrònCông cụ Trực quan hóa Dữ liệu AI (Dán CSV)Công cụ chuyển đổi thập phân sang bát phânCông cụ chuyển đổi Độ sang Radian⏱️ Đồng Hồ Bấm Giờ Trực TuyếnMáy tính lương hưuNgười chọn ngẫu nhiênTrình nén VideoTrình tạo GIFAI Trình thêm dấu câuBộ chuyển đổi địa chỉ IP sang nhị phânCông cụ Kiểm tra APICông cụ Tìm Quy luật Dãy sốCông cụ chuyển đổi gam sang poundKiểm Tra Số Chẵn Hay Số LẻMáy Tính Diện Tích Đa Giác Bất Quy TắcMáy Tính Thời Gian ĐọcMáy tính Vị trí Mặt trờiMáy Tính Hoa HồngMáy tính LogaritMáy tính phân tích thừa số đa thứcMáy tính Tổng Bình phươngTrình tạo Hash MD5Trình tạo PIN ngẫu nhiênMáy Tính Len Chân Tường và Nẹp Trang TríMáy Tính Ốp TườngMáy Tính Sơn Phủ Sàn GỗMáy Tính Hạt Giống CỏMáy Tính Cỏ NềnMáy Tính Nhựa ĐườngMáy Tính Yard KhốiMáy Tính Chiều Dài AntenMáy Tính Độ Lấp Đầy Ống Lót DâyMáy Tính Tụ Điện Nối Tiếp và Song SongMáy Tính Cảm KhángMáy Tính Chiếu Sáng PhòngMáy Tính Lux Sang LumenMáy Chuyển Đổi Lumen Sang WattMáy Tính Công Suất Máy Phát ĐiệnCông Cụ Chuyển Đổi mAh Sang WhMáy Tính Công Suất 3 PhaMáy Tính kVAMáy Tính Ampe Sang WattMáy Tính Watt Sang AmpeMáy Tính Điện Trở Nối TiếpMáy Tính Lực Ma SátMáy Tính Mặt Phẳng NghiêngMáy tính Lợi thế Cơ họcMáy tính Tốc độ Âm thanhMáy Tính Tốc Độ SóngMáy tính Lực nổiMáy tính Vận tốc Tới hạnMáy tính Bước sóng de BroglieMáy tính năng lượng photonMáy Tính E=mc²Máy Tính Giãn Nở Thời GianMáy tính Định luật thứ ba của KeplerMáy tính Vận tốc ThoátMáy Tính Lực Hấp DẫnMáy tính Định luật Beer-LambertMáy Tính Phương Trình NernstMáy tính Áp suất Thẩm thấuMáy Tính Độ Tăng Điểm SôiMáy Tính Độ Giảm Điểm Đông BăngMáy Tính Thành Phần Phần TrămMáy Tính Nồng Độ Đương LượngMáy tính Nồng độ MolanBộ Chuyển Đổi pKa Sang KaMáy tính Henderson-HasselbalchMáy Tính Sản Lượng Lý ThuyếtMáy tính Chất phản ứng Giới hạnMáy tính Cấu hình ElectronBảng tuần hoàn tương tácTrình Tạo Giáo Án AITrình tạo Câu đố AITrình tạo trích dẫn (APA/MLA/Chicago)Máy Tính Phần Trăm Điểm DanhMáy Tính Điểm APMáy Tính Điểm ACTMáy Tính Điểm SATChuyển đổi Phần trăm sang CGPATrình chuyển đổi CGPA sang phần trămCông Cụ Chấm Điểm Dễ Dàng (EZ Grader)Máy tính Chi phí Nuôi conMáy Tính Lượng Sữa Cho BéMáy Tính Kích Cỡ TãTrình Tạo Tên Em BéCông Cụ Dự Đoán Màu Mắt Em BéMáy Tính Phân Vị BMI Cho Trẻ EmCông Cụ Dự Đoán Chiều Cao Của TrẻMáy Tính Thời Gian Tăng Gấp Đôi hCGMáy tính ngày dự sinh IVFMáy tính làm tổ của phôiCông cụ dự đoán giới tính kiểu Trung QuốcCông cụ định dạng ngày ISO 8601Trình Chuyển Đổi Ngày JulianNap CalculatorMáy tính Pha Mặt TrăngMáy tính hoàng hôn và bình minhWorld ClockBộ chuyển đổi Ngày sang Chữ số La MãĐếm Ngược Đến Khi Nghỉ HưuMáy Tính Cai NghiệnMáy Tính Nửa Sinh NhậtMáy Tính Ngày Kỷ NiệmMáy Tính Chia Tiền BoaMáy Tính ROI Email MarketingMáy tính Chi phí trên Mỗi Khách hàng Tiềm năngMáy Tính Vốn Lưu ĐộngMáy tính số dư đảm phíMáy tính FIFO / LIFOMáy Tính Tồn Kho An ToànMáy Tính Điểm Đặt Hàng LạiMáy tính Lượng đặt hàng Kinh tế EOQMáy Tính Khấu HaoMáy Tính Giá Đồ Thủ CôngMáy tính giá bán buônMáy tính Lợi nhuận ShopifyMáy tính Amazon FBAMáy Tính Phí eBayMáy tính phí EtsyMáy tính Phí StripeMáy Tính Phí PayPalCông Cụ Chuyển Đổi Tỷ Lệ CượcMáy Tính Tiền Dâng Một Phần MườiMáy tính ZakatMáy Tính Thuế Trước Bạ Vương Quốc AnhMáy Tính Miễn Thuế HRAMáy tính GratuityMáy tính NPSMáy tính EPFMáy tính PPFMáy tính RDMáy tính SWPMáy Tính Gross-UpMáy Tính So Sánh Khoản VayMáy Tính Tỷ Lệ Sử Dụng Tín DụngMáy Tính Bậc Thang CDMáy tính Tín phiếu Kho bạc T-BillMáy Tính Trái Phiếu IMáy tính Tiết kiệm Đại học 529Máy tính HSAMáy Tính Trợ Cấp Thôi ViệcMáy Tính Tăng LươngTrình tạo Hóa đơnMáy Tính Công Tác PhíMáy tính Hoàn tiền Quãng đườngMáy Tính Tăng Tiền Thuê NhàMáy Tính Tiền Thuê Theo Tỷ LệMáy tính Khả năng Chi trả Tiền thuê nhàMáy Tính Giá Lăn Bánh Ô TôMáy Tính Khả Năng Mua XeMáy Tính Khoản Vay Xe MáyMáy Tính Khoản Vay Xe RVMáy Tính Khoản Vay Mua ThuyềnMáy Tính Khoản Vay ĐấtMáy Tính Khoản Vay Xây DựngMáy Tính Vay Thế Chấp Chỉ Trả LãiMáy Tính Khoản Vay Bong BóngMáy Tính Điểm Vay Thế ChấpMáy Tính PMIMáy Tính Thanh Toán Thế Chấp Hai Tuần Một LầnMáy Tính Vay Thế Chấp ARMMáy Tính Khoản Vay VAMáy Tính Lương Thực NhậnTrình tạo truy vấn SQL bằng AITrình Tạo RegEx AICông cụ Phân tích Giọng văn bằng AICông cụ Phân tích CV bằng AICông cụ Chuyển đổi Đơn vị AI (Ngôn ngữ Tự nhiên)Trình Viết Thư Xin Lỗi AITrình Tạo Lời Từ Chối Lịch Sự Bằng AITrình Tạo Lịch Trình Du Lịch AITrình Tạo Danh Sách Đọc Sách AITrình Tạo Kế Hoạch Tập Luyện AITrình Tạo Kế Hoạch Bữa Ăn AITrình Tạo Ý Tưởng Quà Tặng AITrình Tạo Công Thức Nấu Ăn AI Từ Nguyên LiệuMáy Tính ROI Học BổngMáy Tính Chi Phí Đại HọcMáy Tính Số Giờ Học Để Thông Thạo Ngôn NgữTrình Tạo Câu Đố Từ VựngTrình tạo Ghi chú CornellMáy Tính Đường Cong Học TậpBộ Lập Lịch Lặp Lại Ngắt Quãng Thẻ Ghi NhớMáy Tính Pha Trộn Màu SơnMáy Tính Keo Chà Ròn GạchMáy Tính Năng Lực Quá Trình Six SigmaTrình tải hình thu nhỏ YouTubeTrình tạo nhân vật RPG ngẫu nhiên