Từ năm 2010 · Hơn 2 triệu lượt chạy công cụ mỗi tháng
Từ năm 2010
Thêm vào Chrome

Hộp Công Cụ Của Tôi

Chế Độ Tự Động

Chưa có công cụ nào được lưu.

Nâng Cấp Lên Phiên Bản Cao Cấp
Công cụ liên quan
Máy Tính Tích Vô HướngMáy tính VectorMáy Tính Góc Giữa Các VectoMáy Tính Vecto Đơn VịMáy tính Phép chiếu VectorMáy Tính Độ Lớn VectoMáy Tính cURL
Trang chủ > Toán học > Đại số Tuyến tính
 

Máy Tính Tích Có Hướng

Tính tích có hướng của hai vector 3D bằng công thức định thức. Xem khai triển từng bước, vector kết quả vuông góc, độ lớn của nó bằng diện tích hình bình hành, kiểm tra hướng và hình minh họa 3D.

Sử dụng miễn phíKhông cần đăng kýKết quả tức thì
Máy Tính Tích Có HướngDùng thử ngay — miễn phí ▼
Ví dụ:
XEM TRƯỚC 3D TRỰC TIẾP
Vector ax, y, z
×
Vector bx, y, z

Embed Máy Tính Tích Có Hướng Widget

Giới thiệu về Máy Tính Tích Có Hướng

Máy tính Tích có hướng tính toán tích vector của hai vector 3D bằng công thức định thức. Nhập các thành phần của hai vector để nhận ngay vector vuông góc thu được, độ lớn của nó (diện tích hình bình hành), góc giữa các vector đầu vào, khai triển định thức từng bước, xác minh tính vuông góc và sơ đồ 3D tương tác mà bạn có thể xoay bằng cách kéo chuột.

Công thức Tích có hướng

Tích có hướng của hai vector 3D \(\vec{a} = \langle a_1, a_2, a_3 \rangle\) và \(\vec{b} = \langle b_1, b_2, b_3 \rangle\) được định nghĩa là định thức:

$$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \end{vmatrix}$$

Khai triển theo các phần phụ đại số dọc theo hàng đầu tiên cho kết quả:

$$\vec{a} \times \vec{b} = \hat{i}(a_2 b_3 - a_3 b_2) - \hat{j}(a_1 b_3 - a_3 b_1) + \hat{k}(a_1 b_2 - a_2 b_1)$$

Ứng dụng thực tế

🔧
Mô-men xoắn
τ = r × F tính toán lực quay
🌊
Mô-men động lượng
L = r × p trong cơ học quay
🎮
Pháp tuyến bề mặt
Kết xuất 3D sử dụng pháp tuyến để chiếu sáng
✈
Điện từ học
F = qv × B cho lực Lorentz
📐
Tính diện tích
|a×b| cho diện tích hình bình hành/tam giác
🏗
Kỹ thuật cấu trúc
Mô-men của các lực quanh một điểm

Các công thức chính

Thuộc tínhCông thứcMô tả
Tích có hướng\(\vec{a} \times \vec{b} = \langle a_2 b_3 - a_3 b_2,\; a_3 b_1 - a_1 b_3,\; a_1 b_2 - a_2 b_1 \rangle\)Dạng thành phần của tích có hướng
Độ lớn\(|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}||\vec{b}|\sin\theta\)Bằng diện tích hình bình hành
Tính phản giao hoán\(\vec{a} \times \vec{b} = -(\vec{b} \times \vec{a})\)Hoán đổi thứ tự sẽ đảo ngược hướng
Tính vuông góc\((\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{a} = 0\)Kết quả luôn vuông góc với cả hai đầu vào
Kiểm tra song song\(\vec{a} \times \vec{b} = \vec{0} \iff \vec{a} \| \vec{b}\)Tích có hướng bằng không nghĩa là các vector song song
Diện tích tam giác\(A = \frac{1}{2}|\vec{a} \times \vec{b}|\)Bằng một nửa diện tích hình bình hành

Tích có hướng vs. Tích vô hướng

Tích có hướng (a × b)

Tạo ra một vector vuông góc với cả hai đầu vào. Chỉ được xác định trong 3D. Độ lớn bằng diện tích hình bình hành. Bằng không khi các vector song song. Đạt cực đại khi các vector vuông góc. Có tính phản giao hoán: a × b = -(b × a).

Tích vô hướng (a · b)

Tạo ra một giá trị vô hướng. Hoạt động trong mọi số chiều. Đo lường mức độ cùng hướng giữa các vector. Bằng không khi các vector vuông góc. Đạt cực đại khi các vector song song. Có tính giao hoán: a · b = b · a.

Các tính chất chính

Phản giao hoán
\(\vec{a} \times \vec{b} = -(\vec{b} \times \vec{a})\) — thứ tự rất quan trọng
Phân phối
\(\vec{a} \times (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} \times \vec{b} + \vec{a} \times \vec{c}\)
Nhân với vô hướng
\((k\vec{a}) \times \vec{b} = k(\vec{a} \times \vec{b})\)
Tự tích có hướng
\(\vec{a} \times \vec{a} = \vec{0}\) — luôn bằng không
Không kết hợp
\(\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}) \neq (\vec{a} \times \vec{b}) \times \vec{c}\)
Đồng nhất thức Lagrange
\(|\vec{a} \times \vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 |\vec{b}|^2 - (\vec{a} \cdot \vec{b})^2\)

Hiểu về Quy tắc Bàn tay phải

Hướng của tích có hướng tuân theo quy tắc bàn tay phải: đặt các ngón tay của bàn tay phải dọc theo vector thứ nhất \(\vec{a}\), khum chúng về phía vector thứ hai \(\vec{b}\), và ngón cái của bạn sẽ chỉ hướng của \(\vec{a} \times \vec{b}\). Đây là lý do tại sao tích có hướng có tính phản giao hoán — việc đảo ngược thứ tự sẽ đảo ngược hướng của ngón cái, cho ra \(\vec{b} \times \vec{a} = -(\vec{a} \times \vec{b})\).

Độ lớn \(|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}||\vec{b}|\sin\theta\) đại diện cho diện tích của hình bình hành được tạo bởi hai vector. Khi các vector song song (\(\theta = 0°\) hoặc \(180°\)), diện tích thu hẹp về không. Khi chúng vuông góc (\(\theta = 90°\)), diện tích đạt cực đại ở mức \(|\vec{a}| \times |\vec{b}|\).

Cách sử dụng Máy tính Tích có hướng

  1. Nhập Vector a: Nhập ba thành phần (x, y, z) phân cách bằng dấu phẩy — ví dụ: 2, 3, 4. Bạn cũng có thể nhấp vào một ví dụ nhanh để tự động điền cả hai vector.
  2. Nhập Vector b: Nhập ba thành phần của vector thứ hai theo cùng định dạng.
  3. Theo dõi xem trước trực tiếp: Bản xem trước 3D cập nhật theo thời gian thực, hiển thị cả hai vector, vector tích có hướng và hình bình hành.
  4. Nhấp Tính toán: Nhấn nút để nhận kết quả đầy đủ bao gồm vector kết quả vuông góc, diện tích hình bình hành, góc, khai triển định thức từng bước và sơ đồ 3D tương tác.
  5. Khám phá sơ đồ: Kéo để xoay chế độ xem 3D, bật/tắt các lớp (hình bình hành, vector tích có hướng, trục, nhãn) cho các hình ảnh trực quan khác nhau.

Câu hỏi thường gặp (FAQ)

Tích có hướng của hai vector là gì?
Tích có hướng (còn gọi là tích vector) của hai vector 3D a và b tạo ra một vector mới vuông góc với cả a và b. Nó được tính bằng định thức của một ma trận 3×3 với các vector đơn vị i, j, k ở hàng đầu tiên. Độ lớn của kết quả bằng diện tích của hình bình hành được tạo bởi hai vector.
Làm thế nào để tính tích có hướng bằng phương pháp định thức?
Thiết lập một ma trận 3×3 với i-hat, j-hat, k-hat ở hàng 1, các thành phần của vector a ở hàng 2 và các thành phần của vector b ở hàng 3. Sau đó khai triển theo hàng đầu tiên: i(a₂b₃ − a₃b₂) − j(a₁b₃ − a₃b₁) + k(a₁b₂ − a₂b₁). Điều này cho ra ba thành phần của vector tích có hướng.
Tại sao tích có hướng chỉ được xác định trong không gian 3D?
Tích có hướng dưới dạng một phép toán vector chỉ được xác định trong 3 chiều (và 7 chiều) bởi vì chỉ trong những không gian này, bạn mới có thể tìm thấy một vector duy nhất vuông góc với hai vector cho trước. Trong 2D không có hướng nằm ngoài mặt phẳng, và ở các chiều cao hơn, không gian vuông góc có nhiều hơn một chiều.
Ý nghĩa hình học của độ lớn tích có hướng là gì?
Độ lớn |a × b| bằng diện tích của hình bình hành được tạo bởi các vector a và b. Một nửa giá trị này cho diện tích tam giác. Điều này được sử dụng rộng rãi trong vật lý (mô-men xoắn = r × F) và đồ họa máy tính (tính toán pháp tuyến bề mặt để chiếu sáng).
Quy tắc bàn tay phải cho tích có hướng là gì?
Quy tắc bàn tay phải xác định hướng của tích có hướng: đặt các ngón tay dọc theo vector a, khum chúng về phía vector b, và ngón cái của bạn sẽ chỉ theo hướng của a × b. Điều này có nghĩa là tích có hướng có tính phản giao hoán — a × b bằng −(b × a).

Tham khảo nội dung, trang hoặc công cụ này như sau:

"Máy Tính Tích Có Hướng" tại https://MiniWebtool.com/vi/may-tinh-tich-co-huong/ từ MiniWebtool, https://MiniWebtool.com/

bởi đội ngũ miniwebtool. Cập nhật: 2026-04-10

Có API dành cho developer: Chạy công cụ này từ ứng dụng, tự động hóa hoặc agent của bạn bằng một yêu cầu HTTP JSON. Xem tài liệu API

Bạn cũng có thể thử AI Giải Toán GPT của chúng tôi để giải quyết các vấn đề toán học của bạn thông qua câu hỏi và trả lời bằng ngôn ngữ tự nhiên.

Đại số Tuyến tính:

Công cụ phổ biến và mới cập nhật:

Máy Tính Tích TensorMáy Tính Ký Hiệu Tích (Ký Hiệu Pi)Máy Tính Nhân ChéoXem tất cả →
Trang chủ > Toán học > Đại số Tuyến tính > Máy Tính Tích Có Hướng