Từ năm 2010 · Hơn 2 triệu lượt chạy công cụ mỗi tháng
Từ năm 2010
Thêm vào Chrome

Hộp Công Cụ Của Tôi

Chế Độ Tự Động

Chưa có công cụ nào được lưu.

Nâng Cấp Lên Phiên Bản Cao Cấp
Công cụ liên quan
Máy Tính Tích Vô HướngMáy tính VectorMáy Tính Góc Giữa Các VectoMáy Tính Vecto Đơn VịMáy tính Phép chiếu VectorMáy Tính Độ Lớn VectoMáy Tính cURL
Trang chủ > Toán học > Đại số Tuyến tính
 

Máy Tính Tích Có Hướng

Tính tích có hướng của hai vector 3D bằng công thức định thức. Xem khai triển từng bước, vector kết quả vuông góc, độ lớn của nó bằng diện tích hình bình hành, kiểm tra hướng và hình minh họa 3D.

Sử dụng miễn phíKhông cần đăng kýKết quả tức thì
Máy Tính Tích Có HướngDùng thử ngay — miễn phí ▼
Ví dụ:
XEM TRƯỚC 3D TRỰC TIẾP
Vector ax, y, z
×
Vector bx, y, z

Embed Máy Tính Tích Có Hướng Widget

Giới thiệu về Máy Tính Tích Có Hướng

Máy tính Tích có hướng tính toán tích vector của hai vector 3D bằng công thức định thức. Nhập các thành phần của hai vector để nhận ngay vector vuông góc thu được, độ lớn của nó (diện tích hình bình hành), góc giữa các vector đầu vào, khai triển định thức từng bước, xác minh tính vuông góc và sơ đồ 3D tương tác mà bạn có thể xoay bằng cách kéo chuột.

Công thức Tích có hướng

Tích có hướng của hai vector 3D \(\vec{a} = \langle a_1, a_2, a_3 \rangle\) và \(\vec{b} = \langle b_1, b_2, b_3 \rangle\) được định nghĩa là định thức:

$$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \end{vmatrix}$$

Khai triển theo các phần phụ đại số dọc theo hàng đầu tiên cho kết quả:

$$\vec{a} \times \vec{b} = \hat{i}(a_2 b_3 - a_3 b_2) - \hat{j}(a_1 b_3 - a_3 b_1) + \hat{k}(a_1 b_2 - a_2 b_1)$$

Ứng dụng thực tế

🔧
Mô-men xoắn
τ = r × F tính toán lực quay
🌊
Mô-men động lượng
L = r × p trong cơ học quay
🎮
Pháp tuyến bề mặt
Kết xuất 3D sử dụng pháp tuyến để chiếu sáng
✈
Điện từ học
F = qv × B cho lực Lorentz
📐
Tính diện tích
|a×b| cho diện tích hình bình hành/tam giác
🏗
Kỹ thuật cấu trúc
Mô-men của các lực quanh một điểm

Các công thức chính

Thuộc tínhCông thứcMô tả
Tích có hướng\(\vec{a} \times \vec{b} = \langle a_2 b_3 - a_3 b_2,\; a_3 b_1 - a_1 b_3,\; a_1 b_2 - a_2 b_1 \rangle\)Dạng thành phần của tích có hướng
Độ lớn\(|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}||\vec{b}|\sin\theta\)Bằng diện tích hình bình hành
Tính phản giao hoán\(\vec{a} \times \vec{b} = -(\vec{b} \times \vec{a})\)Hoán đổi thứ tự sẽ đảo ngược hướng
Tính vuông góc\((\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{a} = 0\)Kết quả luôn vuông góc với cả hai đầu vào
Kiểm tra song song\(\vec{a} \times \vec{b} = \vec{0} \iff \vec{a} \| \vec{b}\)Tích có hướng bằng không nghĩa là các vector song song
Diện tích tam giác\(A = \frac{1}{2}|\vec{a} \times \vec{b}|\)Bằng một nửa diện tích hình bình hành

Tích có hướng vs. Tích vô hướng

Tích có hướng (a × b)

Tạo ra một vector vuông góc với cả hai đầu vào. Chỉ được xác định trong 3D. Độ lớn bằng diện tích hình bình hành. Bằng không khi các vector song song. Đạt cực đại khi các vector vuông góc. Có tính phản giao hoán: a × b = -(b × a).

Tích vô hướng (a · b)

Tạo ra một giá trị vô hướng. Hoạt động trong mọi số chiều. Đo lường mức độ cùng hướng giữa các vector. Bằng không khi các vector vuông góc. Đạt cực đại khi các vector song song. Có tính giao hoán: a · b = b · a.

Các tính chất chính

Phản giao hoán
\(\vec{a} \times \vec{b} = -(\vec{b} \times \vec{a})\) — thứ tự rất quan trọng
Phân phối
\(\vec{a} \times (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} \times \vec{b} + \vec{a} \times \vec{c}\)
Nhân với vô hướng
\((k\vec{a}) \times \vec{b} = k(\vec{a} \times \vec{b})\)
Tự tích có hướng
\(\vec{a} \times \vec{a} = \vec{0}\) — luôn bằng không
Không kết hợp
\(\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}) \neq (\vec{a} \times \vec{b}) \times \vec{c}\)
Đồng nhất thức Lagrange
\(|\vec{a} \times \vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 |\vec{b}|^2 - (\vec{a} \cdot \vec{b})^2\)

Hiểu về Quy tắc Bàn tay phải

Hướng của tích có hướng tuân theo quy tắc bàn tay phải: đặt các ngón tay của bàn tay phải dọc theo vector thứ nhất \(\vec{a}\), khum chúng về phía vector thứ hai \(\vec{b}\), và ngón cái của bạn sẽ chỉ hướng của \(\vec{a} \times \vec{b}\). Đây là lý do tại sao tích có hướng có tính phản giao hoán — việc đảo ngược thứ tự sẽ đảo ngược hướng của ngón cái, cho ra \(\vec{b} \times \vec{a} = -(\vec{a} \times \vec{b})\).

Độ lớn \(|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}||\vec{b}|\sin\theta\) đại diện cho diện tích của hình bình hành được tạo bởi hai vector. Khi các vector song song (\(\theta = 0°\) hoặc \(180°\)), diện tích thu hẹp về không. Khi chúng vuông góc (\(\theta = 90°\)), diện tích đạt cực đại ở mức \(|\vec{a}| \times |\vec{b}|\).

Cách sử dụng Máy tính Tích có hướng

  1. Nhập Vector a: Nhập ba thành phần (x, y, z) phân cách bằng dấu phẩy — ví dụ: 2, 3, 4. Bạn cũng có thể nhấp vào một ví dụ nhanh để tự động điền cả hai vector.
  2. Nhập Vector b: Nhập ba thành phần của vector thứ hai theo cùng định dạng.
  3. Theo dõi xem trước trực tiếp: Bản xem trước 3D cập nhật theo thời gian thực, hiển thị cả hai vector, vector tích có hướng và hình bình hành.
  4. Nhấp Tính toán: Nhấn nút để nhận kết quả đầy đủ bao gồm vector kết quả vuông góc, diện tích hình bình hành, góc, khai triển định thức từng bước và sơ đồ 3D tương tác.
  5. Khám phá sơ đồ: Kéo để xoay chế độ xem 3D, bật/tắt các lớp (hình bình hành, vector tích có hướng, trục, nhãn) cho các hình ảnh trực quan khác nhau.

Câu hỏi thường gặp (FAQ)

Tích có hướng của hai vector là gì?
Tích có hướng (còn gọi là tích vector) của hai vector 3D a và b tạo ra một vector mới vuông góc với cả a và b. Nó được tính bằng định thức của một ma trận 3×3 với các vector đơn vị i, j, k ở hàng đầu tiên. Độ lớn của kết quả bằng diện tích của hình bình hành được tạo bởi hai vector.
Làm thế nào để tính tích có hướng bằng phương pháp định thức?
Thiết lập một ma trận 3×3 với i-hat, j-hat, k-hat ở hàng 1, các thành phần của vector a ở hàng 2 và các thành phần của vector b ở hàng 3. Sau đó khai triển theo hàng đầu tiên: i(a₂b₃ − a₃b₂) − j(a₁b₃ − a₃b₁) + k(a₁b₂ − a₂b₁). Điều này cho ra ba thành phần của vector tích có hướng.
Tại sao tích có hướng chỉ được xác định trong không gian 3D?
Tích có hướng dưới dạng một phép toán vector chỉ được xác định trong 3 chiều (và 7 chiều) bởi vì chỉ trong những không gian này, bạn mới có thể tìm thấy một vector duy nhất vuông góc với hai vector cho trước. Trong 2D không có hướng nằm ngoài mặt phẳng, và ở các chiều cao hơn, không gian vuông góc có nhiều hơn một chiều.
Ý nghĩa hình học của độ lớn tích có hướng là gì?
Độ lớn |a × b| bằng diện tích của hình bình hành được tạo bởi các vector a và b. Một nửa giá trị này cho diện tích tam giác. Điều này được sử dụng rộng rãi trong vật lý (mô-men xoắn = r × F) và đồ họa máy tính (tính toán pháp tuyến bề mặt để chiếu sáng).
Quy tắc bàn tay phải cho tích có hướng là gì?
Quy tắc bàn tay phải xác định hướng của tích có hướng: đặt các ngón tay dọc theo vector a, khum chúng về phía vector b, và ngón cái của bạn sẽ chỉ theo hướng của a × b. Điều này có nghĩa là tích có hướng có tính phản giao hoán — a × b bằng −(b × a).

Tham khảo nội dung, trang hoặc công cụ này như sau:

"Máy Tính Tích Có Hướng" tại https://MiniWebtool.com/vi/may-tinh-tich-co-huong/ từ MiniWebtool, https://MiniWebtool.com/

bởi đội ngũ miniwebtool. Cập nhật: 2026-04-10

Có API dành cho developer: Chạy công cụ này từ ứng dụng, tự động hóa hoặc agent của bạn bằng một yêu cầu HTTP JSON. Xem tài liệu API

Bạn cũng có thể thử AI Giải Toán GPT của chúng tôi để giải quyết các vấn đề toán học của bạn thông qua câu hỏi và trả lời bằng ngôn ngữ tự nhiên.

Đại số Tuyến tính:

Công cụ phổ biến và mới cập nhật:

Máy tính tuổiTrình Trích Xuất Ảnh từ VideoCông cụ Mã hóa CaesarTrình tạo bài tây ngẫu nhiênCông cụ đổi Pound sang KilogramTra cứu ID người dùng FacebookTra cứu ID người dùng InstagramĐảo ngược văn bảnMáy Tính Số Mũ (Độ Chính Xác Cao)⏱️ Máy Tính GiờCông cụ đếm hàngCông cụ chuyển đổi kg sang lbs🖱️ Bộ Đếm ClickTrình tạo oẳn tù tìBộ chuyển đổi thập phân sang nhị phânSắp xếp sốTrình tạo chuỗi ngẫu nhiênTrình Tạo Mã MorseMáy tính giảm giá phần trămTrình Luyện Toán NhẩmMáy tính Phân tích Thừa số Nguyên tốCông cụ chuyển đổi chữ số La MãMáy tính thương và số dưĐổ xúc xắcThống kê Kênh YouTubeBộ Chuyển Đổi Số Sang ChữTrình nhân hóa văn bản AITrình tạo đồ vật ngẫu nhiênTrình tạo thẻ tín dụng ngẫu nhiênTrình trích xuất âm thanh📷 OCR Chuyển Ảnh Thành Văn BảnBộ chuyển đổi HEXTrình phát hiện nội dung AICông Cụ Vẽ Đồ Thị Hệ Bất Phương TrìnhTrình nén VideoTrình tạo ngày sinh ngẫu nhiênMáy tính nhị phânMáy tính thời gianMáy tính căn bậc hai🔍 Kiểm tra Đạo vănTrình tạo nhánh giải đấu ngẫu nhiênBộ lặp MP3⏰ Đồng Hồ Báo Thức Trực TuyếnCông cụ tạo Sự thật hay Thách đốMáy tính thập phân sang phân sốBộ chuyển đổi FPSGhép Video📅 Máy tính ngàyMáy tính phân số tối giảnBộ chuyển đổi Thập phân sang Thập lục phânSắp xếp theo thứ tự bảng chữ cáiBộ chuyển đổi Feet và Inch sang CmMáy Tính Số TuầnCông cụ chuyển đổi nhị phân sang thập phânCông cụ chia ảnhMáy tính Cạnh huyềnTạo Ô ChữXóa dấu cáchTạo Trò Chơi Tìm TừBộ chuyển đổi hex sang thập phânCon số may mắn của tôi là gì?Gộp PDFTung đồng xuĐây có phải là Số Nguyên Tố?Công cụ xáo trộn chữ cáiMáy Giải Phương Trình Bậc BaMáy tính chuyển đổi phân số sang số thập phânCông cụ chuyển đổi milimet sang inchCông cụ chuyển đổi cm sang feet và inchMáy tính Cung Mặt trời, Mặt trăng & Cung mọc 🌞🌙✨Trình tạo mê cungTrình tạo tên ngẫu nhiênTrình Tạo Bài Toán Ngẫu NhiênDanh sách các số nguyên tốMáy tính Kiểm tra Chia hếtBộ chuyển đổi Nhị phân sang HexChuyển đổi Số thành Phân sốCông cụ loại bỏ dấu câu trực tuyếnTrình chuyển đổi SRT sang TXTĐố Vui Bảng Cửu ChươngCông cụ chuyển đổi psi sang kPaCông cụ vẽ đồ thị hàm số⏱️ Bộ Đếm Ngược Thời GianMáy tính ngày trong năm - Hôm nay là ngày thứ mấy trong nămTrình chuyển đổi hình ảnh sang nghệ thuật ASCIITrình tạo thời gian ngẫu nhiênBộ Chia Âm ThanhSo sánh hai chuỗiBộ chọn bình luận YouTubeChuyển đổi Thời gian SRTMáy tính So sánh Phân sốTrình tạo thẻ BingoCông cụ tạo nhóm ngẫu nhiênMáy tính ModuloTrình Tạo Công Thức Nấu Ăn AI Từ Nguyên LiệuTrình tạo PIN ngẫu nhiên⏱️ Đồng Hồ Bấm Giờ Trực TuyếnCông cụ chuyển đổi centimet sang inchCông cụ chuyển đổi pound sang gamMáy tính Pha Mặt TrăngXoay VideoChuyển đổi Tốc độ Truyền dữ liệuCông cụ chuyển đổi DMS sang độ thập phânCông cụ chuyển đổi inch sang centimetMáy tính BMRMáy Tính Giờ Làm ViệcBộ chuyển đổi hệ cơ sốn chữ số đầu tiên của piTrình tạo từ ngẫu nhiên tiếng AnhCông cụ chuyển đổi kPa sang psi💧 Máy Tính Điểm SươngMáy tính Công thức Dây giàyMáy tính trung bình mẫuTrình tạo số nguyên ngẫu nhiênTạo và giải SudokuĐiều chỉnh tốc độ videoBảng mã ASCIIBộ đếm ký tựCân Bằng Phương Trình Hóa HọcCông cụ chuyển đổi Phần trăm sang PPMCông cụ chuyển đổi thập phân sang bát phânLịch trăng non và trăng trònMáy Tính Chu Vi Hình ElipMáy tính mã màu điện trởMáy tính trung bìnhMáy tính định lý PythagoreTrình tạo địa chỉ giả ngẫu nhiênBộ Đếm Token AIBộ chuyển đổi RGB sang Hex🥧 Công Cụ Tạo Biểu Đồ TrònCông cụ Chuyển đổi Tần số và Bước sóngMáy Tính Diện TíchMáy tính Ước số chung lớn nhấtTra Cứu Địa Chỉ MACTrình truy vết ảnh sang SVGTrình tạo số xổ sốBộ chuyển đổi Hex sang RGBChuyển đổi CSV sang JSONMáy tính mỡ cơ thể Quân độiMáy tính giai thừaQuay vòng quayCông cụ Chuyển đổi Mét sang FeetBộ chia videoDanh sách năm nhuậnMáy tính HEXMáy tính Số Nhân CáchTrình tạo mã vạchBộ Chuyển Đổi Nhị PhânBộ mã hóa Base64Công cụ tính điểm trung bình GPAMáy Tính Diện Tích Đa Giác Bất Quy TắcMáy Tính Điện Trở LEDMáy tính Natri hiệu chuẩnMáy tính thể tíchMáy tính Độ dốc và CấpMáy tính TổngBộ tính lượng nước cần thiếtChuyển đổi Kích thước Tập tinChuyển đổi Nhị phân sang Bát phânMáy tính Vị trí Mặt trờiMáy tính thừa số nguyên tốTrình Mô Phỏng Bàn Tính Soroban NhậtWorld ClockChuyển video sang Twitter (X)Trình tạo gamertagTrình tạo tên độiTrình tạo biệt danhTrình tạo tên rapTrình tạo tên ban nhạcTrình tạo tên FantasyTrình tạo bánh quy may mắnTrình tạo ý tưởng vẽTrình tạo gợi ý nhật kýTrình tạo câu khẳng định hàng ngàyTrình tạo lời khenTrình tạo câu thả thínhTrình tạo truyện cười của bốTrình tạo truyện cười ngẫu nhiênTrình tạo sự thật ngẫu nhiênTrình tạo câu hỏi triviaTrình tạo từ HangmanTrình tạo từ PictionaryTrình tạo trò chơi ô hành độngTrình tạo câu hỏi phá băngTrình tạo Tôi chưa bao giờTrình tạo Bạn chọn cái nàoTrình tạo Câu hỏi Ngẫu nhiênTrình giải mã giấc mơ AITrình tạo lời cảm ơn AITrình tạo bài phát biểu đám cưới AITrình tạo thông cáo báo chí AITrình tạo mô tả sản phẩm AITrình tạo kịch bản video AITrình tạo tiêu đề và mô tả YouTube bằng AITrình tạo chú thích Instagram AITrình tạo tiêu đề và tiểu sử LinkedIn AITrình tạo gạch đầu dòng CV AITrình tạo thư xin việc AITrình tạo lời bài hát rap AILàm phẳng PDFMở khóa PDF (Xóa mật khẩu chủ sở hữu)Trích xuất văn bản từ PDFTrích xuất trang PDFCông cụ đếm từ PDFBảo vệ PDFThêm số trang vào PDFSắp xếp lại trang PDFXóa trang PDFXoay PDFChuyển JPG sang PDFPDF sang JPGNén PDFTách PDFCông cụ chuyển đổi PT sang PXCông cụ chuyển đổi PX sang REMCông cụ chuyển đổi Tola sang GramCông cụ chuyển đổi đơn vị đất Ấn ĐộCông cụ chuyển đổi mcg sang mgTrình tạo lời bài hát AITrình tạo thơ AITrình tạo truyện AITrình dịch AICông cụ Tóm tắt Văn bản AICông cụ chuyển đổi Mg sang MlBộ chuyển đổi MPH sang KMH / KMH sang MPHCông cụ chuyển đổi hải lý trên giờ sang MPHMét khối sang feet khốiCông cụ chuyển đổi feet khối sang yard khốiCông cụ chuyển đổi feet vuông sang mét vuôngBộ chuyển đổi mét vuông sang feet vuôngBộ chuyển đổi Oz sang MLBộ chuyển đổi ML sang ozBộ chuyển đổi gallon sang lítCông cụ chuyển đổi lít sang gallonChuyển Đổi Kg Sang StoneMáy Chuyển Đổi Stone Sang KgCông cụ chuyển đổi inch sang milimetChuyển đổi Dặm sang KmBộ chuyển đổi Km sang DặmBộ chuyển đổi Fahrenheit sang CelsiusMáy đổi Celsius sang FahrenheitCông cụ tính cỡ ba lôCông cụ tính thể tích ván lướt sóngCông cụ tính cỡ cán vợt tennisMáy tính kích thước mũ bảo hiểmCông cụ tính cỡ găng tayCông cụ chuyển đổi cỡ mũMáy tính kích thước ván trượt tuyếtCông cụ tính kích thước ván trượtCông cụ tính kích thước xe đạpBộ hẹn giờ Split SpeedrunMáy tính StablefordMáy tính checkout phi tiêuMáy tính Economy Bowling CricketMáy tính Strike Rate CricketMáy tính Net Run RateMáy Tính Tỷ Lệ K/DMáy Tính Xếp Hạng EloMáy tính phục hồi nhịp timMáy Tính Thời Gian Đi Bộ Đường DàiMáy tính Pace Chèo thuyềnMáy Tính Hiệu Suất Chạy Theo TuổiMáy tính FTP và Vùng Công suấtMáy Tính Beep TestMáy tính Điểm ACFTMáy tính Wilks & DOTSMáy tính Offset Bánh xeTra cứu Chỉ số Tải trọng & Xếp hạng Tốc độ LốpMáy tính Chi phí Mỗi DặmMáy Tính Mua Lại Hợp Đồng ThuêMáy Tính Pha Trộn OctanMáy Tính Pha Nhớt Xăng 2 ThìMáy Tính Dung Tích Động CơMáy Tính Ghế Sofa Qua CửaMáy Tính Dây CủiMáy Tính CADR Máy Lọc Không KhíMáy Tính Kích Thước Máy Hút ẨmMáy Tính Kích Thước Quạt TrầnMáy Tính Kích Thước Rèm CửaMáy Tính Kích Thước ThảmMáy tính chiều cao treo tranhMáy Tính Chiều Cao Lắp Đặt TVMáy Tính Kích Thước TVMáy Tính Thể Tích và Bạt Lót HồMáy Tính Muối Hồ BộiMáy Tính Thể Tích Hồ BơiMáy Tính Kích Thước Máy Nước NóngMáy Tính Nhựa EpoxyMáy Tính Khoảng Cách Con Tiện Lan CanMáy Tính Len Chân Tường và Nẹp Trang TríMáy Tính Ốp TườngMáy Tính Sơn Phủ Sàn GỗMáy Tính Hạt Giống CỏMáy Tính Cỏ NềnMáy Tính Nhựa ĐườngMáy Tính Yard KhốiMáy Tính Chiều Dài AntenMáy Tính Độ Lấp Đầy Ống Lót DâyMáy Tính Tụ Điện Nối Tiếp và Song SongMáy Tính Cảm KhángMáy Tính Chiếu Sáng PhòngMáy Tính Lux Sang LumenMáy Chuyển Đổi Lumen Sang WattMáy Tính Công Suất Máy Phát ĐiệnCông Cụ Chuyển Đổi mAh Sang WhMáy Tính Công Suất 3 PhaMáy Tính kVAMáy Tính Ampe Sang WattMáy Tính Watt Sang AmpeMáy Tính Điện Trở Nối TiếpMáy Tính Lực Ma SátMáy Tính Mặt Phẳng NghiêngMáy tính Lợi thế Cơ họcMáy tính Tốc độ Âm thanhMáy Tính Tốc Độ SóngMáy tính Lực nổiMáy tính Vận tốc Tới hạnMáy tính Bước sóng de BroglieMáy tính năng lượng photonMáy Tính E=mc²Máy Tính Giãn Nở Thời GianMáy tính Định luật thứ ba của KeplerMáy tính Vận tốc ThoátMáy Tính Lực Hấp DẫnMáy tính Định luật Beer-LambertMáy Tính Phương Trình NernstMáy tính Áp suất Thẩm thấuMáy Tính Độ Tăng Điểm SôiMáy Tính Độ Giảm Điểm Đông BăngMáy Tính Thành Phần Phần TrămMáy Tính Nồng Độ Đương LượngMáy tính Nồng độ MolanBộ Chuyển Đổi pKa Sang KaMáy tính Henderson-HasselbalchMáy Tính Sản Lượng Lý ThuyếtMáy tính Chất phản ứng Giới hạnMáy tính Cấu hình ElectronBảng tuần hoàn tương tácTrình Tạo Giáo Án AITrình tạo Câu đố AITrình tạo trích dẫn (APA/MLA/Chicago)Máy Tính Phần Trăm Điểm DanhMáy Tính Điểm APMáy Tính Điểm ACTMáy Tính Điểm SATCông cụ ước tính thu nhập YouTubeTrình tạo nhân vật RPG ngẫu nhiên
Trang chủ > Toán học > Đại số Tuyến tính > Máy Tính Tích Có Hướng