Kalkulator Distribusi Hipergeometrik

Tentang Kalkulator Distribusi Hipergeometrik

Kalkulator Distribusi Hipergeometrik menghitung probabilitas eksak untuk skenario pengambilan sampel tanpa pengembalian. Masukkan ukuran populasi (N), jumlah item sukses (K), jumlah pengambilan (n), dan jumlah sukses yang diinginkan (k) untuk secara instan mendapatkan probabilitas titik dan kumulatif dengan solusi kombinatorial langkah demi langkah dan visualisasi interaktif.

Apa Itu Distribusi Hipergeometrik?

Distribusi hipergeometrik adalah distribusi probabilitas diskret yang menggambarkan jumlah sukses dalam urutan n pengambilan dari populasi terbatas berukuran N yang mengandung tepat K item sukses, yang diambil tanpa pengembalian. Berbeda dengan distribusi binomial — yang mengasumsikan setiap percobaan bersifat independen — distribusi hipergeometrik memperhitungkan fakta bahwa setiap pengambilan mengubah komposisi populasi yang tersisa.

Rumus PMF Hipergeometrik

Fungsi massa probabilitas (PMF) adalah:

P(X = k) = C(K, k) × C(N − K, n − k) / C(N, n)

Di mana C(a, b) = a! / (b! × (a − b)!) adalah koefisien binomial ("a pilih b"). Pembilang menghitung cara-cara yang menguntungkan untuk memilih k sukses dari K dan (n − k) kegagalan dari (N − K). Penyebut menghitung semua kemungkinan cara untuk mengambil n item dari N.

Penjelasan Parameter

• N (Ukuran Populasi) — Jumlah total item dalam populasi.
• K (Status Sukses) — Jumlah item yang diklasifikasikan sebagai "sukses" dalam populasi.
• n (Jumlah Pengambilan) — Berapa banyak item yang diambil tanpa pengembalian.
• k (Sukses yang Diamati) — Jumlah sukses spesifik yang ingin Anda temukan probabilitasnya.

Rata-rata, Varians, dan Standar Deviasi

Untuk variabel acak hipergeometrik X:

• Rata-rata: μ = nK / N
• Varians: σ² = n × (K/N) × ((N−K)/N) × ((N−n)/(N−1))
• Standar Deviasi: σ = √σ²

Faktor (N − n) / (N − 1) disebut faktor koreksi populasi terbatas. Ini mengurangi varians dibandingkan dengan binomial, mencerminkan bahwa pengambilan sampel tanpa pengembalian kurang bervariasi daripada pengambilan sampel dengan pengembalian.

Distribusi Hipergeometrik vs. Binomial

• Hipergeometrik: Pengambilan sampel tanpa pengembalian dari populasi terbatas. Setiap pengambilan mengubah probabilitas pengambilan berikutnya.
• Binomial: Pengambilan sampel dengan pengembalian (atau dari populasi tak terbatas). Setiap percobaan memiliki probabilitas yang sama.
• Ketika populasi sangat besar relatif terhadap sampel (N ≫ n), distribusi hipergeometrik mendekati binomial.

Aplikasi Umum

• Pengendalian Kualitas — Berapa probabilitas menemukan tepat 3 item cacat saat memeriksa 30 unit dari batch berisi 500 yang mengandung 20 item cacat?
• Permainan Kartu — Berapa probabilitas mendapatkan tepat 2 kartu heart dalam 5 kartu tangan poker dari satu set kartu standar berisi 52 kartu?
• Analisis Lotre — Berapa peluang mencocokkan jumlah tertentu dari angka yang ditarik?
• Ekologi (Tangkap-Kembali) — Memperkirakan populasi satwa liar dengan menandai dan menangkap kembali hewan.
• Pengujian Statistik — Uji eksak Fisher menggunakan distribusi hipergeometrik untuk menguji independensi dalam tabel kontingensi 2×2.

Cara Menggunakan Kalkulator Ini

1. Masukkan ukuran populasi N (total item).
2. Masukkan jumlah status sukses K (harus ≤ N).
3. Masukkan jumlah pengambilan n (harus ≤ N).
4. Masukkan sukses yang diamati k (harus memungkinkan untuk parameter yang diberikan).
5. Klik "Hitung Probabilitas" untuk melihat probabilitas eksak dan kumulatif, solusi langkah demi langkah, grafik batang PMF, dan visualisasi model guci.

Pertanyaan yang Sering Diajukan

Untuk apa distribusi hipergeometrik digunakan?

Distribusi hipergeometrik digunakan kapan pun Anda mengambil sampel dari populasi terbatas tanpa pengembalian dan ingin mengetahui probabilitas pengambilan jumlah item tertentu dengan karakteristik tertentu. Kasus penggunaan umum meliputi inspeksi kontrol kualitas, probabilitas permainan kartu, peluang lotre, dan studi penangkapan-kembali ekologis.

Apa perbedaan distribusi hipergeometrik dengan binomial?

Perbedaan utamanya adalah pengembalian. Binomial mengasumsikan percobaan independen (dengan pengembalian), sedangkan hipergeometrik memodelkan pengambilan dependen (tanpa pengembalian). Ketika populasi jauh lebih besar daripada sampel, kedua distribusi tersebut menyatu.

Berapa rentang nilai yang valid untuk k?

Sukses yang diamati k harus memenuhi: max(0, n − (N − K)) ≤ k ≤ min(n, K). Batas bawah memastikan ada cukup item gagal untuk pengambilan yang tersisa, dan batas atas memastikan Anda tidak melebihi sukses yang tersedia atau total pengambilan.

Bisakah saya menggunakan ini untuk uji eksak Fisher?

Ya. Uji eksak Fisher menghitung probabilitas menggunakan distribusi hipergeometrik. Jika Anda memiliki tabel kontingensi 2×2, Anda dapat menggunakan kalkulator ini untuk menghitung probabilitas mengamati jumlah sel yang diberikan di bawah hipotesis nol independensi.

Apa itu faktor koreksi populasi terbatas?

Faktor (N − n) / (N − 1) dalam rumus varians memperhitungkan pengambilan sampel tanpa pengembalian. Faktor ini selalu mengurangi varians dibandingkan dengan binomial. Ketika n kecil relatif terhadap N, faktor ini mendekati 1 dan koreksinya dapat diabaikan.