Z變換計算機

計算單邊 Z變換與因果逆 Z變換。輸入序列公式、有限樣本列表或有理式 X(z) 以獲取變換結果、收斂域 (ROC)、極點與零點、樣本表以及視覺化 z 平面分析。

Z變換計算機

x[0]

q²

X(z)

序列樣本變為 $z^{-1}$ 的冪次。 使用 q 符號、直接 $z^{-1}$ 或常見的 z 域分數。計算機報告因果 ROC 並繪製極點-零點圖。

快速示例

Σ 正向 Z 變換 序列 x[n] → X(z) ↺ 逆 Z 變換 有理 X(z) → 樣本

序列或變換式

正向示例：0.5^n、n*0.8^n、cos(pi/4*n) 或 1, 2, 3。

樣本數

顯示的 x[n] 項數。

使用 q 作為 z^-1 的簡寫。所有逆變換結果均為因果單邊展開。

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Z變換計算機

這款 z變換計算機 可將離散時間序列轉換為 $X(z)$，並將有理變換式展開回因果樣本。它專為數位訊號處理、控制系統、遞迴關係、差分方程和濾波器分析而設計，在這些領域中，極點-零點圖和收斂區域與代數公式同樣重要。

Z 變換公式

$$X(z)=\mathcal{Z}\{x[n]\}=\sum_{n=0}^{\infty}x[n]z^{-n}$$

此工具預設使用單邊慣例。對於逆變換，它將輸入重寫為 $q=z^{-1}$ 的有理函數，展開 $X(q)=N(q)/D(q)$，並將 $q^n$ 的係數讀取為 $x[n]$。

支持的輸入

正向模式： 有限樣本列表（如 1, 2, 3）、常數、a^n、n*a^n、n^2*a^n、正弦曲線（如 cos(pi/4*n)）、阻尼正弦曲線、u[n] 以及 delta[n-k]。

逆變換模式： $z$、$z^{-1}$ 或 $q$ 的有理表達式。示例包括 1/(1 - 0.5*z^-1)、z/(z - 0.8) 和 (1 + 2*q)/(1 - 0.75*q + 0.125*q^2)。

視覺化輸出： z 平面圖用 ○ 標記零點，用 × 標記極點，並用虛線參考曲線標記單位圓，以便於檢查穩定性和頻率特性。

如何使用

選擇變換方向。 選擇序列 x[n] 的正向 Z 變換，或有理 X(z) 的逆 Z 變換。
輸入序列或變換式。 對於正向變換，輸入公式如 0.5^n、n*0.8^n、cos(pi/4*n) 或有限樣本列表。對於逆變換，輸入有理表達式如 1/(1 - 0.5*z^-1)。
設置樣本數量。 選擇要在表格和條形圖中顯示的 x[n] 樣本數量。
點擊計算。 計算機將返回 Z 變換表達式、因果 ROC、極點、零點、前幾個樣本和計算備註。
查看 z 平面。 使用 z 平面圖檢查極點位置、零點位置和單位圓參考。

常見 Z 變換對

序列	Z 變換	因果 ROC
$a^n u[n]$	$\frac{1}{1-az^{-1}}$	$\|z\|>\|a\|$
$n a^n u[n]$	$\frac{az^{-1}}{(1-az^{-1})^2}$	$\|z\|>\|a\|$
$\cos(\omega n)u[n]$	$\frac{1-\cos(\omega)z^{-1}}{1-2\cos(\omega)z^{-1}+z^{-2}}$	$\|z\|>1$
$\sin(\omega n)u[n]$	$\frac{\sin(\omega)z^{-1}}{1-2\cos(\omega)z^{-1}+z^{-2}}$	$\|z\|>1$

常見問題 (FAQ)

什麼是 Z 變換？

Z 變換將離散時間序列 x[n] 轉換為複數域函數 X(z) = Σ x[n]z^-n。它是拉普拉斯變換的離散時間對應物，廣泛用於數位濾波器、訊號分析、控制系統和遞迴關係。

什麼是收斂區域？

收斂區域（ROC）是使無限 Z 變換總和收斂的 z 值集合。對於右側因果序列，ROC 位於最外層極點之外，因此具有 |z| 大於某個極點半徑的形式。

此計算機返回哪種逆 Z 變換？

此計算機返回因果單邊逆 Z 變換。它將 X(z) 展開為 q = z^-1 的冪級數，因此 q^n 的係數即為顯示的 x[n] 樣本。

我可以輸入像 z/(z-a) 這樣的表達式嗎？

可以。解析器接受 z 域表達式（如 z/(z-0.5)），以及 q 符號（其中 q = z^-1）和直接的 z^-1 符號（如 1/(1 - 0.5*z^-1)）。

正向變換支持哪些序列公式？

正向模式支持有限樣本列表和常見的右側公式，包括常數、a^n、n*a^n、n^2*a^n、sin(ωn)、cos(ωn)、縮放阻尼正弦曲線、u[n] 和 delta[n-k]。

參考資料

引用此內容、頁面或工具為：

"Z變換計算機" 於 https://MiniWebtool.com/zh-tw/z變換計算機/，來自 MiniWebtool，https://MiniWebtool.com/

由 miniwebtool 團隊提供。更新於：2026年4月24日

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序列	Z 變換	因果 ROC
\(a^n u[n]\)	\(\frac{1}{1-az^{-1}}\)	\(\|z\|>\|a\|\)
\(n a^n u[n]\)	\(\frac{az^{-1}}{(1-az^{-1})^2}\)	\(\|z\|>\|a\|\)
\(\cos(\omega n)u[n]\)	\(\frac{1-\cos(\omega)z^{-1}}{1-2\cos(\omega)z^{-1}+z^{-2}}\)	\(\|z\|>1\)
\(\sin(\omega n)u[n]\)	\(\frac{\sin(\omega)z^{-1}}{1-2\cos(\omega)z^{-1}+z^{-2}}\)	\(\|z\|>1\)

Z變換計算機

Z變換計算機

Z 變換公式

支持的輸入

如何使用

常見 Z 變換對

常見問題 (FAQ)

什麼是 Z 變換？

什麼是收斂區域？

此計算機返回哪種逆 Z 變換？

我可以輸入像 z/(z-a) 這樣的表達式嗎？

正向變換支持哪些序列公式？

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