Z變換計算機

這款 z變換計算機 可將離散時間序列轉換為 \(X(z)\)，並將有理變換式展開回因果樣本。它專為數位訊號處理、控制系統、遞迴關係、差分方程和濾波器分析而設計，在這些領域中，極點-零點圖和收斂區域與代數公式同樣重要。

Z 變換公式

此工具預設使用單邊慣例。對於逆變換，它將輸入重寫為 \(q=z^{-1}\) 的有理函數，展開 \(X(q)=N(q)/D(q)\)，並將 \(q^n\) 的係數讀取為 \(x[n]\)。

支援的輸入

如何使用

1. 選擇變換方向。 選擇序列 x[n] 的正向 Z 變換，或有理 X(z) 的逆 Z 變換。
2. 輸入序列或變換式。 對於正向變換，輸入公式如 0.5^n、n*0.8^n、cos(pi/4*n) 或有限樣本列表。對於逆變換，輸入有理表達式如 1/(1 - 0.5*z^-1)。
3. 設置樣本數量。 選擇要在表格和條形圖中顯示的 x[n] 樣本數量。
4. 點擊計算。 計算機將返回 Z 變換表達式、因果 ROC、極點、零點、前幾個樣本和計算備註。
5. 查看 z 平面。 使用 z 平面圖檢查極點位置、零點位置和單位圓參考。

常見 Z 變換對

常見問題 (FAQ)

什麼是 Z 變換？

Z 變換將離散時間序列 x[n] 轉換為複數域函數 X(z) = Σ x[n]z^-n。它是拉普拉斯變換的離散時間對應物，廣泛用於數位濾波器、訊號分析、控制系統和遞迴關係。

什麼是收斂區域？

收斂區域（ROC）是使無限 Z 變換總和收斂的 z 值集合。對於右側因果序列，ROC 位於最外層極點之外，因此具有 |z| 大於某個極點半徑的形式。

此計算機返回哪種逆 Z 變換？

此計算機返回因果單邊逆 Z 變換。它將 X(z) 展開為 q = z^-1 的冪級數，因此 q^n 的係數即為顯示的 x[n] 樣本。

我可以輸入像 z/(z-a) 這樣的表達式嗎？

可以。解析器接受 z 域表達式（如 z/(z-0.5)），以及 q 符號（其中 q = z^-1）和直接的 z^-1 符號（如 1/(1 - 0.5*z^-1)）。

正向變換支援哪些序列公式？

正向模式支援有限樣本列表和常見的右側公式，包括常數、a^n、n*a^n、n^2*a^n、sin(ωn)、cos(ωn)、縮放阻尼正弦曲線、u[n] 和 delta[n-k]。

參考資料

• Z-transform — 維基百科
• Pole-zero plot — 維基百科
• Digital filter — 維基百科