Rechner für das dritte Keplersche Gesetz

Der Rechner für das Dritte Keplersche Gesetz ermittelt die Umlaufzeit eines beliebigen Himmelskörpers — eines Planeten, Mondes, künstlichen Satelliten oder eines Sterns, der ein Schwarzes Loch umkreist — aus nur zwei Zahlen: der großen Halbachse der Umlaufbahn und der Masse des Zentralkörpers. Er verwendet die von Newton verallgemeinerte Form des Dritten Keplerschen Gesetzes und zeigt jeden Schritt, ein animiertes Umlaufbahndiagramm sowie einen Vergleich mit realen Umlaufbahnen unseres Sonnensystems.

Was ist das Dritte Keplersche Gesetz?

Isoliertes Newtonsches Zweikörpermodell: T = 2π√[a³/G(M+m)]. a gehört zur relativen Bahn, nicht zur Einzelbahn um den Schwerpunkt. Leeres m bedeutet m=0, eine Näherung für m≪M. Die Grafik zeigt Relativbewegung. v=2πa/T gilt für die relative Kreisbahn, nicht als mittlere Geschwindigkeit einer Ellipse. Störungen und Relativität fehlen.

Formel des Dritten Keplerschen Gesetzes

Die von diesem Rechner verwendete Newtonsche Form lautet:

wobei T die Umlaufzeit ist, a die große Halbachse (der mittlere Umlaufradius), M die Masse des Zentralkörpers und G die Gravitationskonstante, \( 6.674 \times 10^{-11}\ \text{m}^3\,\text{kg}^{-1}\,\text{s}^{-2} \). Beachten Sie, dass die Masse des umlaufenden Körpers und die Exzentrizität der Umlaufbahn in der Formel nicht vorkommen.

Die vereinfachte Sonnensystem-Version

Wenn es sich beim Zentralkörper um die Sonne handelt, fallen die Konstanten in eine wunderbar einfache Beziehung zusammen, sofern Sie die Umlaufzeit in Jahren und die Entfernung in Astronomischen Einheiten (AE) messen:

Somit hat die Erde (a = 1 AE) ein T = 1 Jahr, Mars (a = 1,52 AE) ein T ≈ 1,88 Jahre und Jupiter (a = 5,20 AE) ein T ≈ 11,86 Jahre. Dieser Rechner wendet diese Abkürzung automatisch an, sobald Sie die Zentralmasse auf eine Sonnenmasse einstellen.

Umlaufzeiten der Planeten

Warum die Umlaufzeit die Exzentrizität ignoriert

Eine der überraschendsten Konsequenzen des Dritten Keplerschen Gesetzes ist, dass zwei Umlaufbahnen mit derselben großen Halbachse die gleiche Umlaufzeit haben, ganz egal wie unterschiedlich ihre Formen sind. Eine fast kreisrunde Umlaufbahn und eine lange, schmale, zigarrenförmige Ellipse benötigen exakt dieselbe Zeit für eine vollständige Runde, solange ihre großen Halbachsen übereinstimmen. Die Exzentrizität ändert lediglich, wo der Körper beschleunigt oder langsamer wird (Zweites Keplersches Gesetz), beeinflusst jedoch nicht die gesamte Umlaufzeit.

Was beeinflusst die Umlaufzeit?

So nutzen Sie diesen Rechner

1. Große Halbachse eingeben: Tippen Sie die große Halbachse der Umlaufbahn ein und wählen Sie eine Einheit — AE, Millionen km, km, Meter oder Sonnenradien.
2. Zentralmasse eingeben: Tippen Sie die Masse des Körpers ein, der umkreist wird, und wählen Sie eine Einheit — Sonnenmassen, Erdmassen, Jupitermassen oder Kilogramm.
3. Auf Berechnen klicken: Das Tool wendet die Formel \( T = 2\pi\sqrt{a^3 / G(M+m)} \) an und liefert sofort die Umlaufzeit.
4. Ergebnisse überprüfen: Sehen Sie die Umlaufzeit in allen Einheiten, die mittlere Orbitalgeschwindigkeit, eine animierte Umlaufbahn und wie Ihre Umlaufbahn im Vergleich zu realen Objekten von der ISS bis hin zu Neptun abschneidet.

Rechenbeispiel: Die Erde um die Sonne

Mit einer großen Halbachse von 1 AE (\( 1.496 \times 10^{11} \) m) und einer Zentralmasse von einer Sonnenmasse (\( 1.989 \times 10^{30} \) kg) liefert die Formel \( T = 2\pi\sqrt{a^3/G(M+m)} \approx 3.156 \times 10^{7} \) Sekunden, was 365,25 Tagen entspricht — also exakt einem Jahr, wie man es erwartet.

Häufig gestellte Fragen

Was ist das Dritte Keplersche Gesetz?

Isoliertes Newtonsches Zweikörpermodell: T = 2π√[a³/G(M+m)]. a gehört zur relativen Bahn, nicht zur Einzelbahn um den Schwerpunkt. Leeres m bedeutet m=0, eine Näherung für m≪M. Die Grafik zeigt Relativbewegung. v=2πa/T gilt für die relative Kreisbahn, nicht als mittlere Geschwindigkeit einer Ellipse. Störungen und Relativität fehlen.

Welche Eingaben benötigt der Rechner?

Nur zwei: die große Halbachse der Umlaufbahn und die Masse des Zentralkörpers, den sie umkreist. Die Umlaufzeit hängt weder von der Masse des umlaufenden Objekts noch von der Exzentrizität der Umlaufbahn ab, daher sind diese nicht erforderlich.

Warum hängt die Umlaufzeit nicht von der Exzentrizität ab?

Das Dritte Keplersche Gesetz verwendet die große Halbachse, welche den Durchschnitt des geringsten und weitesten Bahnabstands darstellt. Zwei Umlaufbahnen mit derselben großen Halbachse haben exakt dieselbe Umlaufzeit, selbst wenn eine fast kreisrund und die andere eine lange, schmale Ellipse ist. Die Exzentrizität verändert die Form und die Geschwindigkeit an verschiedenen Punkten, nicht aber die Gesamtzeit für einen Umlauf.

Welche Einheiten kann ich verwenden?

Für die große Halbachse können Sie astronomische Einheiten (AE), Millionen km, km, Meter oder Sonnenradien verwenden. Für die Zentralmasse können Sie Sonnenmassen, Erdmassen, Jupitermassen oder Kilogramm verwenden. Der Rechner rechnet intern alles in SI-Einheiten um und gibt die Umlaufzeit in Sekunden, Minuten, Stunden, Tagen und Jahren aus.

Was ist die vereinfachte Sonnensystem-Version?

M+m ≈ 1 M☉: T(yr) ≈ a(AU)^(3/2). Isoliertes Newtonsches Zweikörpermodell: T = 2π√[a³/G(M+m)]. a gehört zur relativen Bahn, nicht zur Einzelbahn um den Schwerpunkt. Leeres m bedeutet m=0, eine Näherung für m≪M. Die Grafik zeigt Relativbewegung. v=2πa/T gilt für die relative Kreisbahn, nicht als mittlere Geschwindigkeit einer Ellipse. Störungen und Relativität fehlen.

Kann I den Rechner für künstliche Satelliten und Monde verwenden?

Ja. Stellen Sie die Zentralmasse auf die Erde (oder einen anderen Planeten) und geben Sie den Umlaufradius als große Halbachse ein. Für einen niedrigen Erdorbit nahe 6.791 km liefert der Rechner eine Umlaufzeit von etwa 93 Minuten, was der realen Umlaufzeit der Internationalen Raumstation entspricht.