Endgeschwindigkeit-Rechner

Der Endgeschwindigkeit-Rechner ermittelt die maximale gleichbleibende Geschwindigkeit, die ein fallendes Objekt erreicht, sobald der Luftwiderstand der Schwerkraft die Waage hält — allein basierend auf seiner Masse, seinem Strömungswiderstandskoeffizienten und seiner Querschnittsfläche. Wählen Sie einen Fallschirmspringer, Regentropfen, eine Katze, Bowlingkugel oder Feder aus, oder geben Sie Ihr eigenes Objekt ein, wählen Sie das Medium (Luft, Wasser oder Honig), und das Tool berechnet die Endgeschwindigkeit aus \(v_t = \sqrt{2mg / (\rho A C_d)}\) und zeigt exakt an, wie lange und wie weit das Objekt fallen muss, um diese tatsächlich zu erreichen.

Was ist die Endgeschwindigkeit?

Die Endgeschwindigkeit ist die konstante Geschwindigkeit, die ein fallendes Objekt letztendlich erreicht, wenn die nach oben gerichtete Strömungswiderstandskraft des umgebenden Fluids so groß wird, dass sie die nach unten gerichtete Schwerkraft exakt aufhebt. Bei einer Nettokraft von null stoppt die Beschleunigung (Newtons erstes Gesetz) und das Objekt fällt mit dieser gleichmäßigen Maximalgeschwindigkeit weiter. Alles, was in der Luft fallengelassen wird — ein Fallschirmspringer, ein Hagelkorn, ein Blatt —, nähert sich seiner eigenen Endgeschwindigkeit an, die davon bestimmt wird, wie schwer es ist und wie viel Widerstand seine Form und Größe erzeugen.

Im Vakuum gibt es kein Fluid und folglich auch keinen Strömungswiderstand, weshalb dort keine Endgeschwindigkeit existiert: Eine Feder und ein Hammer fallen gleich schnell, wie der Astronaut David Scott während der Apollo-15-Mission auf dem Mond eindrucksvoll demonstrierte.

Formel für die Endgeschwindigkeit

Die Endgeschwindigkeit ergibt sich, indem man die Strömungswiderstandskraft mit dem Gewicht gleichsetzt. Die quadratische Widerstandskraft lautet \(F_d = \tfrac{1}{2}\rho v^2 A C_d\); setzt man \(F_d = mg\) an und löst nach \(v\) auf, erhält man:

wobei:

• \(v_t\) — Endgeschwindigkeit (Meter pro Sekunde)
• \(m\) — Masse des Objekts (Kilogramm)
• \(g\) — Erdbeschleunigung, \(9.80665\ \text{m/s}^2\) auf der Erde
• \(\rho\) — Dichte des Fluids (etwa \(1.225\ \text{kg/m}^3\) für Luft auf Meereshöhe)
• \(A\) — der Strömung zugewandte Querschnittsfläche (Quadratmeter)
• \(C_d\) — Strömungswiderstandskoeffizient (Cw-Wert), eine dimensionslose Kennzahl, die von der Form abhängt (≈0,5 für eine Kugel, ≈1,0–1,3 für eine flache Platte oder einen Fallschirmspringer in Bauchlage)

Wie lange dauert es, bis die Endgeschwindigkeit erreicht ist?

Ein aus der Ruhe fallengelassenes Objekt erreicht die Endgeschwindigkeit nicht sofort — es nähert sich ihr kontinuierlich entlang einer hyperbolischen Tangens-Kurve an und erreicht die 100% streng genommen nie ganz:

Die charakteristische Zeit \(\tau = v_t/g\) gibt Aufschluss darüber, wie schnell diese Annäherung erfolgt. In der Praxis spricht man in der Physik davon, dass ein Objekt die "Endgeschwindigkeit erreicht" hat, sobald es sich innerhalb von ein oder zwei Prozent dieser Geschwindigkeit befindet. Dieser Rechner ermittelt die exakte Zeit und Fallstrecke, um sowohl 95% als auch 99% der Endgeschwindigkeit Ihres Objekts zu erreichen, unter Verwendung von \(t_f = \tau\,\operatorname{arctanh}(f)\) und \(x_f = \tfrac{v_t^2}{2g}\ln\!\big(1/(1-f^2)\big)\). Ein Fallschirmspringer in Bauchlage benötigt beispielsweise rund 10 Sekunden und etwa 450 Meter Fallstrecke, um 95% zu erreichen.

Endgeschwindigkeiten gängiger Objekte (in Luft)

Was beeinflusst die Endgeschwindigkeit?

So bedienen Sie diesen Rechner

1. Objekt auswählen: Wählen Sie eine Vorgabe wie einen Fallschirmspringer, Regentropfen oder eine Bowlingkugel, oder wählen Sie "Benutzerdefiniertes Objekt", um eigene Daten einzugeben.
2. Masse, Widerstand und Fläche eingeben: Tippen Sie bei einem benutzerdefinierten Objekt dessen Masse, den Strömungswiderstandskoeffizienten sowie die Querschnittsfläche ein und wählen Sie die Einheiten (kg/g/lb und m²/cm²/ft²).
3. Medium bestimmen: Wählen Sie zwischen Luft auf Meereshöhe, dünner Höhenluft, Wasser oder Honig — dies legt die Dichte des Fluids fest.
4. Auf Berechnen klicken: Das Tool wendet die Formel \(v_t = \sqrt{2mg / (\rho A C_d)}\) an und zeigt das Ergebnis augenblicklich.
5. Das Ergebnis erkunden: Lesen Sie die Endgeschwindigkeit in m/s, km/h, mph und Mach ab, betrachten Sie die Fallanimation sowie die Tanh-Annäherungskurve, sehen Sie, wie viel Zeit und Weg bis zum Erreichen nötig sind, und vollziehen Sie den Rechenweg Schritt für Schritt nach.

Häufig gestellte Fragen (FAQ)

Was ist die Endgeschwindigkeit?

Die Endgeschwindigkeit ist die konstante maximale Geschwindigkeit, die ein fallendes Objekt erreicht, wenn die nach oben wirkende Strömungswiderstandskraft der Luft (oder eines anderen Fluids) der nach unten gerichteten Schwerkraft exakt entgegenwirkt. Ab diesem Punkt ist die Gesamtkraft null, sodass das Objekt nicht weiter beschleunigt. Bei einem Fallschirmspringer in Bauchlage beträgt diese circa 190 km/h.

Wie berechnet man die Endgeschwindigkeit?

Die Endgeschwindigkeit berechnet sich aus der Quadratwurzel von (2 × Masse × Schwerkraft, geteilt durch das Produkt aus Fluiddichte, Querschnittsfläche und Strömungswiderstandskoeffizient): \(v_t = \sqrt{2mg / (\rho A C_d)}\). Die Erdbeschleunigung beträgt \(9.81\ \text{m/s}^2\) und die Luftdichte auf Meereshöhe liegt bei ca. \(1.225\ \text{kg/m}^3\). Schwerere oder kompaktere Objekte fallen schneller; größere oder aerodynamisch ungünstigere fallen langsamer.

Erreicht ein schwereres Objekt eine höhere Endgeschwindigkeit?

Ja. Die Endgeschwindigkeit wächst mit der Quadratwurzel der Masse, folglich fällt ein schwereres Objekt bei identischer Form schneller. Dies steht im Gegensatz zum Vakuum, wo sämtliche Objekte mit derselben Rate beschleunigen. Unter Einfluss des Luftwiderstands erzielt eine Bowlingkugel eine bedeutend höhere Endgeschwindigkeit als ein gleich dimensionierter Wasserball.

Wie lange dauert es, bis man die Endgeschwindigkeit erreicht?

Ein aus dem Stand fallengelassenes Objekt nähert sich der Endgeschwindigkeit entlang einer Tanh-Kurve an und erreicht die 100% nie vollkommen. In der Regel werden ca. 95% binnen weniger Sekunden erzielt. Ein menschlicher Fallschirmspringer verbucht circa 95% nach etwa 10 Sekunden und 450 Metern Fallstrecke. Dieser Rechner ermittelt für Ihr Objekt die präzise Zeit und Distanz bis zum Erreichen von 95% und 99%.

Wie hoch ist die Endgeschwindigkeit eines Menschen?

Ein Fallschirmspringer in flacher Bauchlage weist eine Endgeschwindigkeit von ungefähr 53 m/s auf — das entspricht etwa 190 km/h oder 120 mph. Beim Sturz mit dem Kopf voran, der eine erheblich kleinere Stirnfläche bietet, kann diese auf circa 90 m/s oder mehr ansteigen. Ein Wingsuit konvertiert Vertikalgeschwindigkeit in ein langsameres, gleitflugartiges Sinken.

Warum fallen eine Feder und ein Hammer auf dem Mond im gleichen Tempo?

Eine Endgeschwindigkeit kann sich nur einstellen, wenn ein Fluid vorhanden ist, das einen Strömungswiderstand hervorruft. Auf dem atmosphärenlosen Mond existiert kein Luftwiderstand und somit keine Endgeschwindigkeit, weshalb alle Objekte gleichermaßen beschleunigen — wie das Experiment mit Feder und Hammer bei Apollo 15 bewies. Auf der Erde bedingen die ausladende Fläche und die geringe Masse der Feder eine minimale Endgeschwindigkeit, weshalb sie gemächlich herabsegelt.

Zusätzliche Ressourcen

• Endgeschwindigkeit - Wikipedia
• Strömungswiderstandskoeffizient - Wikipedia