z变换计算器

使用 MiniWebtool 的 Z 变换计算器，计算单边 Z 变换和因果逆 Z 变换。输入数列公式、有限样本列表或有理式 X(z)，即可获得变换结果、ROC、极点和零点、样本表以及可视化 z 平面分析。

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我想了解 MiniWebtool 的“z变换计算器”：https://miniwebtool.com/zh-cn/z%E5%8F%98%E6%8D%A2%E8%AE%A1%E7%AE%97%E5%99%A8/。这个工具适合用来做什么？需要输入哪些内容或选择哪些设置？请用一个简单例子，逐步说明使用方法和如何理解结果。请以该页面为依据，用简体中文回答。

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Z变换：Σ x[n] z⁻ⁿ 把 0.5ⁿ 变为 z/(z − 0.5)，条件 |z| > 0.5

在下方输入数列公式、采样值列表或有理式 X(z)，即可得到变换结果、收敛域、极点和零点，并显示步骤。

x[0]

q²

X(z)

序列样本变成 $z^{-1}$ 的幂。 使用 q 表示法、直接的 $z^{-1}$ 或常见的 z 域分式。计算器会报告因果 ROC 并绘制零极点图。

快速示例

Σ 正向 Z 变换 序列 x[n] → X(z) ↺ 逆 Z 变换 有理式 X(z) → 样本

序列或变换式

正向示例：0.5^n, n*0.8^n, cos(pi/4*n) 或 1, 2, 3。

样本数

显示的 x[n] 项数。

使用 q 作为 z^-1 的简写。所有逆变换结果均为因果单边展开。

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z变换计算器

z变换计算器可将离散时间序列转换为 $X(z)$，并将有理变换式展开回因果样本。它专为数字信号处理、控制系统、递推关系、差分方程和滤波器分析而设计，在这些领域中，零极点图和收敛域与代数公式同样重要。

功能概览

z变换计算器将离散时间序列转换为单边 Z 变换 X(z)，也可将有理函数 X(z) 展开回因果样本。它还会给出收敛域、极点和零点。

z变换计算器：功能一览
功能	具体内容	适用场景
正向变换	接受常数、a^n、na^n、n^2a^n、正弦和余弦项、阻尼正弦项、u[n]、delta[n-k]，或有限样本列表，例如 1, 2, 3。	教科书中的信号和较短的 FIR 滤波器系数列表
逆变换	以 z、z^-1 或 q = z^-1 输入有理函数 X(z)，例如 z/(z-0.8)。q^n 的系数显示为 x[n]。	由传递函数恢复样本
收敛域、极点与零点	返回因果收敛域（最外层极点之外的区域），以及极点和零点。	检查因果系统的稳定性和收敛性
z 平面图	用圆圈标出零点，用叉号标出极点，并以虚线参考曲线表示单位圆。	一眼看出极点和零点的位置
样本数量	可选择 4 至 40 个样本，显示在样本表和柱状图中。	查看数列的前几项
示例预设	按钮可载入几何衰减、加权斜坡、余弦序列、单极点和双极点响应等示例。	通过可运行的示例学习输入语法

Z 变换公式

$$X(z)=\mathcal{Z}\{x[n]\}=\sum_{n=0}^{\infty}x[n]z^{-n}$$

本工具默认使用单边约定。对于逆变换，它将输入重写为 $q=z^{-1}$ 的有理函数，展开 $X(q)=N(q)/D(q)$，并将 $q^n$ 的系数读取为 $x[n]$。

支持的输入

正向模式： 有限样本列表如 1, 2, 3，常数，a^n, n*a^n, n^2*a^n，正弦曲线如 cos(pi/4*n)，阻尼正弦曲线，u[n] 以及 delta[n-k]。

逆变换模式： $z$, $z^{-1}$ 或 $q$ 的有理表达式。示例包括 1/(1 - 0.5*z^-1), z/(z - 0.8) 以及 (1 + 2*q)/(1 - 0.75*q + 0.125*q^2)。

可视化输出： z 平面图用 ○ 标记零点，用 × 标记极点，并用虚线参考曲线表示单位圆，使稳定性和频率特性的检查更加容易。

如何使用

选择变换方向。 为序列 x[n] 选择正向 Z 变换，或为有理式 X(z) 选择逆 Z 变换。
输入序列或变换式。 对于正向变换，输入公式如 0.5^n, n*0.8^n, cos(pi/4*n) 或有限样本列表。对于逆变换，输入有理表达式如 1/(1 - 0.5*z^-1)。
设置样本数量。 选择在表格和条形图中显示的 x[n] 样本数量。
点击计算。 计算器返回 Z 变换表达式、因果 ROC、极点、零点、前几个样本和计算说明。
查看 z 平面。 使用 z 平面图检查极点位置、零点位置和单位圆参考。

常见 Z 变换对

z变换计算器: 常见 Z 变换对
序列	Z 变换	因果 ROC
$a^n u[n]$	$\frac{1}{1-az^{-1}}$	$\|z\|>\|a\|$
$n a^n u[n]$	$\frac{az^{-1}}{(1-az^{-1})^2}$	$\|z\|>\|a\|$
$\cos(\omega n)u[n]$	$\frac{1-\cos(\omega)z^{-1}}{1-2\cos(\omega)z^{-1}+z^{-2}}$	$\|z\|>1$
$\sin(\omega n)u[n]$	$\frac{\sin(\omega)z^{-1}}{1-2\cos(\omega)z^{-1}+z^{-2}}$	$\|z\|>1$

常见问题

什么是 Z 变换？

Z 变换将离散时间序列 x[n] 转换为复域函数 X(z) = Σ x[n]z^-n。它是 Laplace 变换的离散时间对应物，广泛用于数字滤波器、信号分析、控制系统和递推关系。

什么是收敛域？

收敛域（ROC）是使无限 Z 变换求和收敛的 z 值集合。对于右侧因果序列，ROC 位于最外层极点之外，因此其形式为 |z| 大于极点半径。

此计算器返回哪种逆 Z 变换？

此计算器返回因果单边逆 Z 变换。它将 X(z) 展开为 q = z^-1 的幂级数，因此 q^n 的系数即为显示的 x[n] 样本。

我可以输入像 z/(z-a) 这样的表达式吗？

可以。解析器接受 z 域表达式如 z/(z-0.5)，以及 q 表示法（其中 q = z^-1）和直接的 z^-1 表示法如 1/(1 - 0.5*z^-1)。

正向变换支持哪些序列公式？

正向模式支持有限样本列表和常见的右侧公式，包括常数、a^n、n*a^n、n^2*a^n、sin(ωn)、cos(ωn)、加权阻尼正弦、u[n] 和 delta[n-k]。

参考资料

引用此内容、页面或工具为：

"z变换计算器" 于 https://MiniWebtool.com/zh-cn/z变换计算器/，来自 MiniWebtool，https://MiniWebtool.com/

由 miniwebtool 团队。更新日期：2026年4月24日

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序列	Z 变换	因果 ROC
\(a^n u[n]\)	\(\frac{1}{1-az^{-1}}\)	\(\|z\|>\|a\|\)
\(n a^n u[n]\)	\(\frac{az^{-1}}{(1-az^{-1})^2}\)	\(\|z\|>\|a\|\)
\(\cos(\omega n)u[n]\)	\(\frac{1-\cos(\omega)z^{-1}}{1-2\cos(\omega)z^{-1}+z^{-2}}\)	\(\|z\|>1\)
\(\sin(\omega n)u[n]\)	\(\frac{\sin(\omega)z^{-1}}{1-2\cos(\omega)z^{-1}+z^{-2}}\)	\(\|z\|>1\)

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z变换计算器

功能概览

Z 变换公式

支持的输入

如何使用

常见 Z 变换对

常见问题

什么是 Z 变换？

什么是收敛域？

此计算器返回哪种逆 Z 变换？

我可以输入像 z/(z-a) 这样的表达式吗？

正向变换支持哪些序列公式？

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