Kalkulator Polinomial Karakteristik

Hitung polinomial karakteristik det(A − λI) dari matriks persegi. Mendukung matriks 2×2 hingga 6×6 dengan ekspansi kofaktor langkah demi langkah, ekstraksi nilai eigen, analisis koefisien, dan visualisasi polinomial interaktif.

Embed Kalkulator Polinomial Karakteristik Widget

Tentang Kalkulator Polinomial Karakteristik

Kalkulator Polinomial Karakteristik menghitung polinomial karakteristik $p(\lambda) = \det(\lambda I - A)$ dari matriks persegi apa pun mulai dari 2×2 hingga 6×6. Masukkan nilai matriks Anda, dan langsung dapatkan polinomial dalam bentuk ekspansi dan faktorisasi, nilai eigen dengan multiplisitasnya, tabel analisis koefisien, grafik polinomial interaktif, dan solusi lengkap langkah demi langkah dengan rumus yang dirender oleh MathJax.

Apa Itu Polinomial Karakteristik?

Polinomial karakteristik dari sebuah matriks $n \times n$ $A$ didefinisikan sebagai:

$$p(\lambda) = \det(\lambda I - A)$$

Ini adalah polinomial derajat-$n$ dalam $\lambda$, dan akar-akarnya tepat merupakan nilai eigen dari $A$. Polinomial karakteristik mengkodekan invarian fundamental matriks: trace-nya sama dengan negatif dari koefisien $\lambda^{n-1}$, dan determinannya sama dengan suku konstan (tergantung tanda). Berdasarkan teorema Cayley–Hamilton, setiap matriks persegi memenuhi persamaan karakteristiknya sendiri: $p(A) = 0$.

Konsep Kunci

🔢

Nilai Eigen

Akar dari p(λ) = 0. Ini adalah nilai λ di mana det(A − λI) = 0.

∑

Trace = Σλᵢ

Jumlah entri diagonal sama dengan jumlah semua nilai eigen.

∏

Det = ∏λᵢ

Determinan sama dengan hasil kali semua nilai eigen.

📜

Cayley–Hamilton

Setiap matriks memenuhi persamaan karakteristiknya sendiri: p(A) = 0.

Rumus Polinomial Karakteristik Berdasarkan Ukuran

Ukuran	Polinomial Karakteristik p(λ)	Properti Kunci
2×2	$\lambda^2 - \text{tr}(A)\lambda + \det(A)$	Selalu derajat 2; dua akar (riil atau pasangan konjugasi kompleks)
3×3	$\lambda^3 - \text{tr}(A)\lambda^2 + (\text{jumlah minor 2×2})\lambda - \det(A)$	Dijamin memiliki setidaknya satu akar riil
n×n	$\det(\lambda I - A) = \lambda^n - s_1\lambda^{n-1} + s_2\lambda^{n-2} - \ldots$	$s_k$ = jumlah semua minor utama k×k

Aplikasi Polinomial Karakteristik

Bidang	Aplikasi	Bagaimana Polinomial Karakteristik Membantu
Persamaan Diferensial	Menyelesaikan sistem ODE linier	Nilai eigen dari p(λ) menentukan mode solusi (pertumbuhan, peluruhan, osilasi)
Teori Kontrol	Analisis stabilitas sistem	Akar dari polinomial karakteristik menunjukkan mode stabil vs tidak stabil
Mekanika Kuantum	Tingkat energi sistem	Nilai eigen dari matriks Hamiltonian adalah tingkat energi yang dapat diukur
Teori Graf	Analisis graf spektral	Polinomial karakteristik dari matriks ketetangga mengkodekan struktur graf
Analisis Getaran	Frekuensi alami	Nilai eigen memberikan frekuensi resonansi dari sistem mekanis
Sains Data	PCA / reduksi dimensi	Nilai eigen terbesar mengidentifikasi komponen utama dalam matriks kovarians

Cara Menggunakan Kalkulator Polinomial Karakteristik

Pilih ukuran matriks: Gunakan tombol +/− untuk memilih matriks dari 2×2 hingga 6×6. Atau klik contoh cepat untuk memuat matriks prasetel.
Masukkan nilai matriks: Ketik angka ke dalam kisi matriks. Gunakan Tab atau tombol panah untuk menavigasi antar sel. Sel diagonal disorot dengan warna biru untuk membantu orientasi.
Klik Hitung: Kalkulator membentuk matriks (A − λI), menghitung determinan secara simbolis untuk menghasilkan polinomial karakteristik, lalu memfaktorkannya untuk menemukan nilai eigen.
Tinjau hasil: Periksa polinomial karakteristik dalam bentuk ekspansi dan faktorisasi. Lihat kartu nilai eigen untuk akar dan multiplisitasnya. Grafik interaktif menunjukkan di mana p(λ) memotong nol.
Jelajahi langkah demi langkah: Gunakan navigator langkah atau tombol Auto untuk menelusuri derivasi lengkap — dari pembentukan A − λI hingga verifikasi akhir melalui trace dan determinan.

FAQ

Apa itu polinomial karakteristik?

Polinomial karakteristik dari matriks persegi A adalah p(λ) = det(λI − A), sebuah polinomial derajat-n yang akar-akarnya adalah nilai eigen dari A. Ini menyimpan informasi penting tentang matriks termasuk nilai eigen, trace, dan determinannya. Polinomial karakteristik adalah salah satu objek paling mendasar dalam aljabar linier.

Bagaimana cara mencari polinomial karakteristik dari matriks 2×2?

Untuk matriks 2×2 [[a, b], [c, d]], polinomial karakteristiknya adalah λ² − (a+d)λ + (ad − bc). Ini disederhanakan menjadi λ² − tr(A)λ + det(A), di mana tr(A) = a+d adalah trace dan det(A) = ad − bc adalah determinan. Kedua akarnya memberikan nilai eigen kepada Anda.

Apa hubungan antara polinomial karakteristik dan nilai eigen?

Nilai eigen dari sebuah matriks tepat merupakan akar-akar dari polinomial karakteristiknya. Jika λ₀ adalah akar dari p(λ) = det(λI − A) = 0, maka λ₀ adalah nilai eigen. Multiplisitas aljabar dari sebuah nilai eigen adalah multiplisitasnya sebagai akar dari p(λ). Sebagai contoh, jika p(λ) = (λ − 3)²(λ − 1), maka λ = 3 memiliki multiplisitas aljabar 2 dan λ = 1 memiliki multiplisitas aljabar 1.

Bisakah polinomial karakteristik memiliki akar kompleks?

Ya. Bahkan untuk matriks riil, polinomial karakteristik dapat memiliki akar kompleks (nilai eigen). Nilai eigen kompleks dari matriks riil selalu muncul dalam pasangan konjugasi: jika a + bi adalah nilai eigen, maka a − bi juga merupakan nilai eigen. Sebagai contoh, matriks rotasi [[0, −1], [1, 0]] memiliki polinomial karakteristik λ² + 1, dengan akar ±i.

Apa yang diberitahukan oleh koefisien polinomial karakteristik kepada kita?

Koefisien mengkodekan invarian matriks yang penting. Koefisien utama selalu 1 (polinomial monik). Koefisien dari λ^(n−1) sama dengan −tr(A) (negatif trace). Suku konstan sama dengan (−1)ⁿ det(A). Secara umum, koefisien dari λ^(n−k) adalah (−1)^k kali jumlah dari semua minor utama k×k dari A. Ini disebut polinomial simetris elementer dari nilai eigen.

Kutip konten, halaman, atau alat ini sebagai:

"Kalkulator Polinomial Karakteristik" di https://MiniWebtool.com/id// dari MiniWebtool, https://MiniWebtool.com/

oleh tim miniwebtool. Diperbarui: 2026-04-13

Anda juga dapat mencoba Penyelesai Matematika AI GPT kami untuk menyelesaikan masalah matematika Anda melalui pertanyaan dan jawaban dalam bahasa alami.

Ukuran	Polinomial Karakteristik p(λ)	Properti Kunci
2×2	\(\lambda^2 - \text{tr}(A)\lambda + \det(A)\)	Selalu derajat 2; dua akar (riil atau pasangan konjugasi kompleks)
3×3	\(\lambda^3 - \text{tr}(A)\lambda^2 + (\text{jumlah minor 2×2})\lambda - \det(A)\)	Dijamin memiliki setidaknya satu akar riil
n×n	\(\det(\lambda I - A) = \lambda^n - s_1\lambda^{n-1} + s_2\lambda^{n-2} - \ldots\)	\(s_k\) = jumlah semua minor utama k×k

Kalkulator Polinomial Karakteristik

Tentang Kalkulator Polinomial Karakteristik

Apa Itu Polinomial Karakteristik?

Konsep Kunci

Rumus Polinomial Karakteristik Berdasarkan Ukuran

Aplikasi Polinomial Karakteristik

Cara Menggunakan Kalkulator Polinomial Karakteristik

FAQ

Alat unggulan: