如何求 2x2 矩陣的特徵多項式？

對於包含元素 a, b, c, d 的 2x2 矩陣，特徵多項式為 lambda 平方減去 (a+d) lambda 加上 (ad minus bc)。這等於 lambda 平方減去跡乘以 lambda 加上行列式。

特徵多項式計算機

計算方陣的特徵多項式 det(A − λI)。支援 2×2 到 6×6 矩陣，提供逐步的餘因子展開、特徵值提取、係數分析以及互動式多項式視覺化。

特徵多項式計算機

特徵多項式計算機可計算任何 2×2 到 6×6 方陣的特徵多項式 $p(\lambda) = \det(\lambda I - A)$。輸入您的矩陣數值，即可立即獲得展開式和因式分解形式的多項式、帶有重數的特徵值、係數分析表、互動式多項式圖表，以及使用 MathJax 渲染公式的完整逐步解法。

什麼是特徵多項式？

$n \times n$ 矩陣 $A$ 的特徵多項式定義為：

$$p(\lambda) = \det(\lambda I - A)$$

這是一個關於 $\lambda$ 的 $n$ 次多項式，其根恰好是 $A$ 的特徵值。特徵多項式編碼了矩陣的基本不變量：其跡等於 $\lambda^{n-1}$ 係數的負值，而其行列式等於常數項（取決於正負號）。根據 Cayley–Hamilton 定理，每個方陣都滿足其自身的特徵方程式：$p(A) = 0$。

關鍵概念

🔢

特徵值

p(λ) = 0 的根。即 det(A − λI) = 0 時的 λ 值。

∑

跡 = Σλᵢ

對角線元素之和等於所有特徵值之和。

∏

行列式 = ∏λᵢ

行列式等於所有特徵值的乘積。

📜

Cayley–Hamilton

每個矩陣都滿足其自身的特徵方程式：p(A) = 0。

不同維度的特徵多項式公式

大小	特徵多項式 p(λ)	關鍵屬性
2×2	$\lambda^2 - \text{tr}(A)\lambda + \det(A)$	恆為 2 次；兩個根（實數或共軛複數對）
3×3	$\lambda^3 - \text{tr}(A)\lambda^2 + (\text{2×2 主子式之和})\lambda - \det(A)$	保證至少有一個實數根
n×n	$\det(\lambda I - A) = \lambda^n - s_1\lambda^{n-1} + s_2\lambda^{n-2} - \ldots$	$s_k$ = 所有 k×k 主子行列式的和

特徵多項式的應用

領域	應用	特徵多項式的幫助
微分方程	求解線性 ODE 系統	來自 p(λ) 的特徵值決定了解的模式（增長、衰減、振盪）
控制理論	系統穩定性分析	特徵多項式的根指示系統是否穩定
量子力學	系統的能階	哈密頓矩陣的特徵值是可測量的能量狀態
圖論	譜圖分析	鄰接矩陣的特徵多項式編碼了圖的結構
振動分析	固有頻率	特徵值給出了機械系統的共振頻率
數據科學	PCA / 降維	最大的特徵值識別協方差矩陣中的主成分

如何使用特徵多項式計算機

選擇矩陣大小：使用 +/− 按鈕選擇 2×2 到 6×6 的矩陣。或點擊快速範例以載入預設矩陣。
輸入矩陣數值：在矩陣網格中輸入數字。使用 Tab 或方向鍵在單元格間切換。對角線單元格以藍色突出顯示，方便識別。
點擊計算：計算機會形成矩陣 (A − λI)，符號化計算行列式以生成特徵多項式，然後對其進行因式分解以求得特徵值。
查看結果：檢查展開式和因式分解形式的特徵多項式。查看特徵值卡片中的根和重數。互動式圖表顯示了 p(λ) 穿過零點的位置。
探索逐步解法：使用步驟導覽或「自動播放」按鈕瀏覽完整推導過程 —— 從形成 A − λI 到最終透過跡和行列式進行驗證。

常見問題

什麼是特徵多項式？

方陣 A 的特徵多項式是 p(λ) = det(λI − A)，這是一個 n 次多項式，其根即為 A 的特徵值。它編碼了矩陣的重要資訊，包括其特徵值、跡和行列式。特徵多項式是線性代數中最基礎的概念之一。

如何求 2×2 矩陣的特徵多項式？

對於 2×2 矩陣 [[a, b], [c, d]]，其特徵多項式為 λ² − (a+d)λ + (ad − bc)。這可以簡化為 λ² − tr(A)λ + det(A)，其中 tr(A) = a+d 是跡，det(A) = ad − bc 是行列式。這兩個根即為特徵值。

特徵多項式與特徵值之間有什麼關係？

矩陣的特徵值恰好是其特徵多項式的根。如果 λ₀ 是 p(λ) = det(λI − A) = 0 的根，那麼 λ₀ 就是一個特徵值。特徵值的代數重數是它作為 p(λ) 之根的重數。例如，如果 p(λ) = (λ − 3)²(λ − 1)，則 λ = 3 的代數重數為 2，而 λ = 1 的代數重數為 1。

特徵多項式會有複數根嗎？

是的。即使矩陣元素全是實數，特徵多項式也可能有複數根（特徵值）。實矩陣的複特徵值總是成對共軛出現：如果 a + bi 是特徵值，那麼 a − bi 也是特徵值。例如，旋轉矩陣 [[0, −1], [1, 0]] 的特徵多項式為 λ² + 1，其根為 ±i。

特徵多項式的係數告訴我們什麼？

係數編碼了重要的矩陣不變量。最高次項係數總是 1（首一多項式）。λ^(n−1) 的係數等於 −tr(A)（跡的負值）。常數項等於 (−1)ⁿ det(A)。更廣義地說，λ^(n−k) 的係數是 (−1)^k 乘以 A 的所有 k×k 主子行列式的和。這些被稱為特徵值的初等對稱多項式。

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