Kalkulator Perkalian Silang Vektor

Hitung perkalian silang (produk vektor) dari dua vektor 3D menggunakan rumus determinan. Dapatkan ekspansi langkah demi langkah, vektor hasil tegak lurus, magnitudonya (luas jajaran genjang), verifikasi arah, dan visualisasi 3D interaktif.

Embed Kalkulator Perkalian Silang Vektor Widget

Tentang Kalkulator Perkalian Silang Vektor

Kalkulator Perkalian Silang Vektor menghitung produk vektor dari dua vektor 3D menggunakan rumus determinan. Masukkan komponen dari dua vektor untuk secara instan mendapatkan hasil vektor tegak lurus, magnitudonya (luas jajaran genjang), sudut antar vektor masukan, ekspansi determinan langkah demi langkah, verifikasi tegak lurus, dan diagram 3D interaktif yang dapat Anda putar dengan menyeretnya.

Rumus Perkalian Silang

Perkalian silang dari dua vektor 3D $\vec{a} = \langle a_1, a_2, a_3 \rangle$ dan $\vec{b} = \langle b_1, b_2, b_3 \rangle$ didefinisikan sebagai determinan:

$$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \end{vmatrix}$$

Berekspansi dengan kofaktor sepanjang baris pertama menghasilkan:

$$\vec{a} \times \vec{b} = \hat{i}(a_2 b_3 - a_3 b_2) - \hat{j}(a_1 b_3 - a_3 b_1) + \hat{k}(a_1 b_2 - a_2 b_1)$$

Aplikasi Dunia Nyata

🔧

Torsi

τ = r × F menghitung gaya rotasi

🌊

Momentum Sudut

L = r × p dalam mekanika rotasi

🎮

Normal Permukaan

Rendering 3D menggunakan normal untuk pencahayaan

✈

Elektromagnetisme

F = qv × B untuk gaya Lorentz

📐

Perhitungan Luas

|a×b| memberikan luas jajaran genjang/segitiga

🏗

Teknik Struktural

Momen gaya terhadap suatu titik

Rumus Utama

Properti	Rumus	Deskripsi
Perkalian Silang	$\vec{a} \times \vec{b} = \langle a_2 b_3 - a_3 b_2,\; a_3 b_1 - a_1 b_3,\; a_1 b_2 - a_2 b_1 \rangle$	Bentuk komponen dari perkalian silang
Magnitudo	$\|\vec{a} \times \vec{b}\| = \|\vec{a}\|\|\vec{b}\|\sin\theta$	Sama dengan luas jajaran genjang
Anti-komutativitas	$\vec{a} \times \vec{b} = -(\vec{b} \times \vec{a})$	Menukar urutan membalikkan arah
Tegak Lurus	$(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{a} = 0$	Hasilnya selalu tegak lurus terhadap kedua masukan
Uji Paralel	$\vec{a} \times \vec{b} = \vec{0} \iff \vec{a} \\| \vec{b}$	Perkalian silang nol berarti vektor sejajar
Luas Segitiga	$A = \frac{1}{2}\|\vec{a} \times \vec{b}\|$	Setengah dari luas jajaran genjang

Perkalian Silang vs. Perkalian Titik

Perkalian Silang (a × b)

Menghasilkan sebuah vektor yang tegak lurus terhadap kedua masukan. Hanya didefinisikan dalam 3D. Magnitudo sama dengan luas jajaran genjang. Nol saat vektor paralel. Maksimum saat vektor tegak lurus. Anti-komutatif: a × b = -(b × a).

Perkalian Titik (a · b)

Menghasilkan sebuah nilai skalar. Bekerja di dimensi apa pun. Mengukur keselarasan antar vektor. Nol saat vektor tegak lurus. Maksimum saat vektor paralel. Komutatif: a · b = b · a.

Properti Utama

Anti-komutatif

$\vec{a} \times \vec{b} = -(\vec{b} \times \vec{a})$ — urutan berpengaruh

Distributif

$\vec{a} \times (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} \times \vec{b} + \vec{a} \times \vec{c}$

Faktor Skalar

$(k\vec{a}) \times \vec{b} = k(\vec{a} \times \vec{b})$

Silang Diri Sendiri

$\vec{a} \times \vec{a} = \vec{0}$ — selalu nol

Tidak Asosiatif

$\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}) \neq (\vec{a} \times \vec{b}) \times \vec{c}$

Identitas Lagrange

$|\vec{a} \times \vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 |\vec{b}|^2 - (\vec{a} \cdot \vec{b})^2$

Memahami Aturan Tangan Kanan

Arah perkalian silang mengikuti aturan tangan kanan: arahkan jari tangan kanan Anda di sepanjang vektor pertama $\vec{a}$, tekuk jari tersebut ke arah vektor kedua $\vec{b}$, dan ibu jari Anda menunjukkan arah dari $\vec{a} \times \vec{b}$. Inilah sebabnya mengapa perkalian silang bersifat anti-komutatif — membalikkan urutan akan membalikkan arah ibu jari, menghasilkan $\vec{b} \times \vec{a} = -(\vec{a} \times \vec{b})$.

Magnitudo $|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}||\vec{b}|\sin\theta$ mewakili luas jajaran genjang yang dibentuk oleh kedua vektor tersebut. Ketika vektor-vektor tersebut sejajar ($\theta = 0°$ atau $180°$), luasnya menjadi nol. Ketika mereka tegak lurus ($\theta = 90°$), luasnya dimaksimalkan pada $|\vec{a}| \times |\vec{b}|$.

Cara Menggunakan Kalkulator Perkalian Silang Vektor

Masukkan Vektor a: Ketik tiga komponen (x, y, z) yang dipisahkan dengan koma — misalnya, 2, 3, 4. Anda juga dapat mengeklik contoh cepat untuk mengisi kedua vektor secara otomatis.
Masukkan Vektor b: Ketik tiga komponen vektor kedua dalam format yang sama.
Lihat pratinjau langsung: Pratinjau 3D diperbarui secara real-time, menunjukkan kedua vektor, vektor perkalian silang, dan jajaran genjang.
Klik Hitung: Tekan tombol untuk mendapatkan hasil lengkap termasuk vektor hasil tegak lurus, luas jajaran genjang, sudut, ekspansi determinan langkah demi langkah, dan diagram 3D interaktif.
Jelajahi diagram: Seret untuk memutar tampilan 3D, alihkan lapisan (jajaran genjang, vektor perkalian silang, sumbu, label) untuk visualisasi yang berbeda.

FAQ

Apa itu perkalian silang dua vektor?

Perkalian silang (juga disebut produk vektor) dari dua vektor 3D a dan b menghasilkan vektor baru yang tegak lurus terhadap keduanya. Ini dihitung menggunakan determinan matriks 3×3 dengan vektor satuan i, j, k pada baris pertama. Magnitudo hasilnya sama dengan luas jajaran genjang yang dibentuk oleh kedua vektor tersebut.

Bagaimana cara menghitung perkalian silang menggunakan metode determinan?

Siapkan matriks 3×3 dengan i-topi, j-topi, k-topi di baris 1, komponen vektor a di baris 2, dan komponen vektor b di baris 3. Kemudian berekspansi di sepanjang baris pertama: i(a₂b₃ − a₃b₂) − j(a₁b₃ − a₃b₁) + k(a₁b₂ − a₂b₁). Ini memberikan tiga komponen vektor hasil perkalian silang.

Mengapa perkalian silang hanya didefinisikan dalam 3D?

Perkalian silang sebagai operasi vektor hanya didefinisikan dalam 3 dimensi (dan 7 dimensi) karena hanya di ruang-ruang ini Anda dapat menemukan vektor unik yang tegak lurus terhadap dua vektor yang diberikan. Dalam 2D tidak ada arah di luar bidang, dan dalam dimensi yang lebih tinggi ruang tegak lurus memiliki lebih dari satu dimensi.

Apa arti geometris dari magnitudo perkalian silang?

Magnitudo |a × b| sama dengan luas jajaran genjang yang dibentuk oleh vektor a dan b. Setengah dari nilai ini memberikan luas segitiga. Ini banyak digunakan dalam fisika (torsi = r × F) dan grafis komputer (menghitung normal permukaan untuk pencahayaan).

Apa itu aturan tangan kanan untuk perkalian silang?

Aturan tangan kanan menentukan arah perkalian silang: arahkan jari Anda di sepanjang vektor a, tekuk ke arah vektor b, dan ibu jari Anda menunjuk ke arah a × b. Ini berarti perkalian silang bersifat anti-komutatif — a × b sama dengan −(b × a).

Kutip konten, halaman, atau alat ini sebagai:

"Kalkulator Perkalian Silang Vektor" di https://MiniWebtool.com/id// dari MiniWebtool, https://MiniWebtool.com/

oleh tim miniwebtool. Diperbarui: 2026-04-10

Anda juga dapat mencoba Penyelesai Matematika AI GPT kami untuk menyelesaikan masalah matematika Anda melalui pertanyaan dan jawaban dalam bahasa alami.

Properti	Rumus	Deskripsi
Perkalian Silang	\(\vec{a} \times \vec{b} = \langle a_2 b_3 - a_3 b_2,\; a_3 b_1 - a_1 b_3,\; a_1 b_2 - a_2 b_1 \rangle\)	Bentuk komponen dari perkalian silang
Magnitudo	\(\|\vec{a} \times \vec{b}\| = \|\vec{a}\|\|\vec{b}\|\sin\theta\)	Sama dengan luas jajaran genjang
Anti-komutativitas	\(\vec{a} \times \vec{b} = -(\vec{b} \times \vec{a})\)	Menukar urutan membalikkan arah
Tegak Lurus	\((\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{a} = 0\)	Hasilnya selalu tegak lurus terhadap kedua masukan
Uji Paralel	\(\vec{a} \times \vec{b} = \vec{0} \iff \vec{a} \\| \vec{b}\)	Perkalian silang nol berarti vektor sejajar
Luas Segitiga	\(A = \frac{1}{2}\|\vec{a} \times \vec{b}\|\)	Setengah dari luas jajaran genjang

Kalkulator Perkalian Silang Vektor

Tentang Kalkulator Perkalian Silang Vektor

Rumus Perkalian Silang

Aplikasi Dunia Nyata

Rumus Utama

Perkalian Silang vs. Perkalian Titik

Perkalian Silang (a × b)

Perkalian Titik (a · b)

Properti Utama

Memahami Aturan Tangan Kanan

Cara Menggunakan Kalkulator Perkalian Silang Vektor

FAQ

Alat unggulan: