自 2010 年 · 每月支援超過 200 萬次工具執行
自 2010 年
加到 Chrome

我的工具箱

自動模式

尚未收藏任何工具。

升級為高級版
相關工具
向量點積計算機向量計算機向量夾角計算機單位向量計算機向量投影計算機向量大小計算機旋度計算機
主頁 > 數學 > 線性代數
 

向量外積計算機

用行列式公式計算兩個3D向量的叉積，提供逐步展開、垂直的結果向量、其長度（等於平行四邊形面積）、方向檢查與3D視覺化呈現。

免費使用無需註冊即時出結果
向量外積計算機立即免費試用 ▼
範例：
即時 3D 預覽
向量 ax, y, z
×
向量 bx, y, z

Embed 向量外積計算機 Widget

向量外積計算機

這款向量外積計算機使用行列式公式計算兩個 3D 向量的向量積。輸入兩個向量的分量即可立即獲得產生的垂直向量、其模長（平行四邊形面積）、輸入向量間的夾角、行列式的逐步展開、垂直性驗證，以及一個可通過拖曳旋轉的互動式 3D 圖表。

向量外積公式

兩個 3D 向量 \(\vec{a} = \langle a_1, a_2, a_3 \rangle\) 和 \(\vec{b} = \langle b_1, b_2, b_3 \rangle\) 的外積定義為下列行列式：

$$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \end{vmatrix}$$

沿第一行進行餘因子展開得到：

$$\vec{a} \times \vec{b} = \hat{i}(a_2 b_3 - a_3 b_2) - \hat{j}(a_1 b_3 - a_3 b_1) + \hat{k}(a_1 b_2 - a_2 b_1)$$

實際應用

🔧
力矩
τ = r × F 計算轉動力
🌊
角動量
轉動力學中的 L = r × p
🎮
表面法線
3D 渲染使用法線進行光照計算
✈
電磁學
勞侖茲力的 F = qv × B
📐
面積計算
|a×b| 得出平行四邊形/三角形面積
🏗
結構工程
力對某點的力矩

關鍵公式

性質公式說明
向量外積\(\vec{a} \times \vec{b} = \langle a_2 b_3 - a_3 b_2,\; a_3 b_1 - a_1 b_3,\; a_1 b_2 - a_2 b_1 \rangle\)外積的分量形式
模長\(|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}||\vec{b}|\sin\theta\)等於平行四邊形面積
反交換性\(\vec{a} \times \vec{b} = -(\vec{b} \times \vec{a})\)交換順序會反轉方向
垂直性\((\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{a} = 0\)結果永遠垂直於兩個輸入向量
平行測試\(\vec{a} \times \vec{b} = \vec{0} \iff \vec{a} \| \vec{b}\)外積為零意味著向量平行
三角形面積\(A = \frac{1}{2}|\vec{a} \times \vec{b}|\)平行四邊形面積的一半

外積與內積的比較

外積 (a × b)

產生一個垂直於兩個輸入的向量。僅在 3D 中定義。模長等於平行四邊形面積。當向量平行時為零。當向量垂直時達到最大值。具備反交換性：a × b = -(b × a)。

內積 (a · b)

產生一個純量值。適用於任何維度。衡量向量間的對齊程度。當向量垂直時為零。當向量平行時達到最大值。具備交換性：a · b = b · a。

主要性質

反交換性
\(\vec{a} \times \vec{b} = -(\vec{b} \times \vec{a})\) — 順序很重要
分配律
\(\vec{a} \times (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} \times \vec{b} + \vec{a} \times \vec{c}\)
純量積
\((k\vec{a}) \times \vec{b} = k(\vec{a} \times \vec{b})\)
自身外積
\(\vec{a} \times \vec{a} = \vec{0}\) — 永遠為零
不具結合律
\(\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}) \neq (\vec{a} \times \vec{b}) \times \vec{c}\)
拉格朗日恆等式
\(|\vec{a} \times \vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 |\vec{b}|^2 - (\vec{a} \cdot \vec{b})^2\)

理解右手定則

外積的方向遵循右手定則：將右手的四指沿著第一個向量 \(\vec{a}\) 方向，向第二個向量 \(\vec{b}\) 彎曲，大拇指所指的方向即為 \(\vec{a} \times \vec{b}\) 的方向。這就是為什麼外積具有反交換性 —— 反轉順序會反轉大拇指的方向，得到 \(\vec{b} \times \vec{a} = -(\vec{a} \times \vec{b})\)。

模長 \(|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}||\vec{b}|\sin\theta\) 代表由這兩個向量組成的平行四邊形面積。當向量平行（\(\theta = 0°\) 或 \(180°\)）時，面積塌陷為零。當它們垂直（\(\theta = 90°\)）時，面積達到最大值 \(|\vec{a}| \times |\vec{b}|\)。

如何使用向量外積計算機

  1. 輸入向量 a： 輸入以逗號分隔的三個分量 (x, y, z) —— 例如：2, 3, 4。您也可以點擊快速範例來自動填充兩個向量。
  2. 輸入向量 b： 以相同的格式輸入第二個向量的三個分量。
  3. 觀看即時預覽： 3D 預覽會即時更新，顯示兩個向量、外積向量以及平行四邊形。
  4. 點擊計算： 按下按鈕即可獲得完整結果，包括垂直的結果向量、平行四邊形面積、夾角、逐步行列式展開以及互動式 3D 圖表。
  5. 探索圖表： 拖曳以旋轉 3D 視圖，切換圖層（平行四邊形、外積向量、軸線、標籤）以進行不同的視覺化觀察。

常見問題

什麼是兩個向量的外積？
兩個 3D 向量 a 和 b 的外積（也稱為向量積）會產生一個同時垂直於 a 和 b 的新向量。它是使用第一行為單位向量 i, j, k 的 3×3 矩陣行列式計算得出的。結果的模長等於由這兩個向量組成的平行四邊形面積。
如何使用行列式方法計算外積？
建立一個 3×3 矩陣，第 1 行為 i-hat, j-hat, k-hat，第 2 行為向量 a 的分量，第 3 行為向量 b 的分量。然後沿第一行展開：i(a₂b₃ − a₃b₂) − j(a₁b₃ − a₃b₁) + k(a₁b₂ − a₂b₁)。這就得到了外積向量的三個分量。
為什麼外積只在 3D 中定義？
外積作為一種向量運算僅在 3 維（和 7 維）空間中定義，因為只有在這些空間中，您才能找到唯一垂直於兩個給定向量的向量。在 2D 中沒有平面外方向，而在更高維度中，垂直空間則擁有多個維度。
外積模長的幾何意義是什麼？
模長 |a × b| 等於由向量 a 和 b 組成的平行四邊形面積。此值的一半即為三角形面積。這廣泛應用於物理學 (力矩 = r × F) 和電腦圖形學 (計算光照所需的表面法線)。
外積的右手定則是什麼？
右手定則決定了外積的方向：將手指沿著向量 a 指向，向向量 b 彎曲，此時大拇指指向的方向即為 a × b。這意味著外積具有反交換性 —— a × b 等於 −(b × a)。

引用此內容、頁面或工具為：

"向量外積計算機" 於 https://MiniWebtool.com/zh-tw/向量外積計算機/，來自 MiniWebtool，https://MiniWebtool.com/

由 MiniWebtool 團隊製作。更新日期：2026-04-10

開發者 API 可用: 用一次 JSON HTTP 請求，把這個工具接入你的應用程式、自動化流程或代理。 查看 API 文件

您還可以嘗試我們的 AI數學解題器 GPT，通過自然語言問答解決您的數學問題。

線性代數:

熱門與最新工具:

輪胎負載指數與速度等級查詢總和計算機手套尺寸計算機查看全部 →
主頁 > 數學 > 線性代數 > 向量外積計算機