外積的右手定則是什麽？

右手定則決定了外積的方向：將手指沿著向量 a 指向，向向量 b 彎曲，此時大拇指指向的方向即為 a cross b 的方向。這意味著外積具有反交換性：a cross b 等於負的 b cross a。

向量外積計算機

使用行列式公式計算兩個 3D 向量的外積（向量積）。獲取逐步展開過程、垂直的結果向量、其長度（平行四邊形面積）、方向驗證以及互動式 3D 視覺化圖表。

向量外積計算機

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向量外積計算機

這款向量外積計算機使用行列式公式計算兩個 3D 向量的向量積。輸入兩個向量的分量即可立即獲得產生的垂直向量、其模長（平行四邊形面積）、輸入向量間的夾角、行列式的逐步展開、垂直性驗證，以及一個可通過拖曳旋轉的互動式 3D 圖表。

向量外積公式

兩個 3D 向量 $\vec{a} = \langle a_1, a_2, a_3 \rangle$ 和 $\vec{b} = \langle b_1, b_2, b_3 \rangle$ 的外積定義為下列行列式：

$$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \end{vmatrix}$$

沿第一行進行餘因子展開得到：

$$\vec{a} \times \vec{b} = \hat{i}(a_2 b_3 - a_3 b_2) - \hat{j}(a_1 b_3 - a_3 b_1) + \hat{k}(a_1 b_2 - a_2 b_1)$$

實際應用

🔧

力矩

τ = r × F 計算轉動力

🌊

角動量

轉動力學中的 L = r × p

🎮

表面法線

3D 渲染使用法線進行光照計算

✈

電磁學

勞侖茲力的 F = qv × B

📐

面積計算

|a×b| 得出平行四邊形/三角形面積

🏗

結構工程

力對某點的力矩

關鍵公式

性質	公式	說明
向量外積	$\vec{a} \times \vec{b} = \langle a_2 b_3 - a_3 b_2,\; a_3 b_1 - a_1 b_3,\; a_1 b_2 - a_2 b_1 \rangle$	外積的分量形式
模長	$\|\vec{a} \times \vec{b}\| = \|\vec{a}\|\|\vec{b}\|\sin\theta$	等於平行四邊形面積
反交換性	$\vec{a} \times \vec{b} = -(\vec{b} \times \vec{a})$	交換順序會反轉方向
垂直性	$(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{a} = 0$	結果永遠垂直於兩個輸入向量
平行測試	$\vec{a} \times \vec{b} = \vec{0} \iff \vec{a} \\| \vec{b}$	外積為零意味著向量平行
三角形面積	$A = \frac{1}{2}\|\vec{a} \times \vec{b}\|$	平行四邊形面積的一半

外積與內積的比較

外積 (a × b)

產生一個垂直於兩個輸入的向量。僅在 3D 中定義。模長等於平行四邊形面積。當向量平行時為零。當向量垂直時達到最大值。具備反交換性：a × b = -(b × a)。

內積 (a · b)

產生一個純量值。適用於任何維度。衡量向量間的對齊程度。當向量垂直時為零。當向量平行時達到最大值。具備交換性：a · b = b · a。

主要性質

反交換性

$\vec{a} \times \vec{b} = -(\vec{b} \times \vec{a})$ — 順序很重要

分配律

$\vec{a} \times (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} \times \vec{b} + \vec{a} \times \vec{c}$

純量積

$(k\vec{a}) \times \vec{b} = k(\vec{a} \times \vec{b})$

自身外積

$\vec{a} \times \vec{a} = \vec{0}$ — 永遠為零

不具結合律

$\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}) \neq (\vec{a} \times \vec{b}) \times \vec{c}$

拉格朗日恆等式

$|\vec{a} \times \vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 |\vec{b}|^2 - (\vec{a} \cdot \vec{b})^2$

理解右手定則

外積的方向遵循右手定則：將右手的四指沿著第一個向量 $\vec{a}$ 方向，向第二個向量 $\vec{b}$ 彎曲，大拇指所指的方向即為 $\vec{a} \times \vec{b}$ 的方向。這就是為什麼外積具有反交換性 —— 反轉順序會反轉大拇指的方向，得到 $\vec{b} \times \vec{a} = -(\vec{a} \times \vec{b})$。

模長 $|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}||\vec{b}|\sin\theta$ 代表由這兩個向量組成的平行四邊形面積。當向量平行（$\theta = 0°$ 或 $180°$）時，面積塌陷為零。當它們垂直（$\theta = 90°$）時，面積達到最大值 $|\vec{a}| \times |\vec{b}|$。

如何使用向量外積計算機

輸入向量 a： 輸入以逗號分隔的三個分量 (x, y, z) —— 例如：2, 3, 4。您也可以點擊快速範例來自動填充兩個向量。
輸入向量 b： 以相同的格式輸入第二個向量的三個分量。
觀看即時預覽： 3D 預覽會即時更新，顯示兩個向量、外積向量以及平行四邊形。
點擊計算： 按下按鈕即可獲得完整結果，包括垂直的結果向量、平行四邊形面積、夾角、逐步行列式展開以及互動式 3D 圖表。
探索圖表： 拖曳以旋轉 3D 視圖，切換圖層（平行四邊形、外積向量、軸線、標籤）以進行不同的視覺化觀察。

常見問題

什麼是兩個向量的外積？

兩個 3D 向量 a 和 b 的外積（也稱為向量積）會產生一個同時垂直於 a 和 b 的新向量。它是使用第一行為單位向量 i, j, k 的 3×3 矩陣行列式計算得出的。結果的模長等於由這兩個向量組成的平行四邊形面積。

如何使用行列式方法計算外積？

建立一個 3×3 矩陣，第 1 行為 i-hat, j-hat, k-hat，第 2 行為向量 a 的分量，第 3 行為向量 b 的分量。然後沿第一行展開：i(a₂b₃ − a₃b₂) − j(a₁b₃ − a₃b₁) + k(a₁b₂ − a₂b₁)。這就得到了外積向量的三個分量。

為什麼外積只在 3D 中定義？

外積作為一種向量運算僅在 3 維（和 7 維）空間中定義，因為只有在這些空間中，您才能找到唯一垂直於兩個給定向量的向量。在 2D 中沒有平面外方向，而在更高維度中，垂直空間則擁有多個維度。

外積模長的幾何意義是什麼？

模長 |a × b| 等於由向量 a 和 b 組成的平行四邊形面積。此值的一半即為三角形面積。這廣泛應用於物理學 (力矩 = r × F) 和電腦圖形學 (計算光照所需的表面法線)。

外積的右手定則是什麼？

右手定則決定了外積的方向：將手指沿著向量 a 指向，向向量 b 彎曲，此時大拇指指向的方向即為 a × b。這意味著外積具有反交換性 —— a × b 等於 −(b × a)。

引用此內容、頁面或工具為：

"向量外積計算機" 於 https://MiniWebtool.com/zh-tw/向量外積計算機/，來自 MiniWebtool，https://MiniWebtool.com/

由 MiniWebtool 團隊製作。更新日期：2026-04-10

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向量外積計算機

向量外積計算機

向量外積公式

實際應用

關鍵公式

外積與內積的比較

外積 (a × b)

內積 (a · b)

主要性質

理解右手定則

如何使用向量外積計算機

常見問題

線性代數:

常用工具:

性質	公式	說明
向量外積	\(\vec{a} \times \vec{b} = \langle a_2 b_3 - a_3 b_2,\; a_3 b_1 - a_1 b_3,\; a_1 b_2 - a_2 b_1 \rangle\)	外積的分量形式
模長	\(\|\vec{a} \times \vec{b}\| = \|\vec{a}\|\|\vec{b}\|\sin\theta\)	等於平行四邊形面積
反交換性	\(\vec{a} \times \vec{b} = -(\vec{b} \times \vec{a})\)	交換順序會反轉方向
垂直性	\((\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{a} = 0\)	結果永遠垂直於兩個輸入向量
平行測試	\(\vec{a} \times \vec{b} = \vec{0} \iff \vec{a} \\| \vec{b}\)	外積為零意味著向量平行
三角形面積	\(A = \frac{1}{2}\|\vec{a} \times \vec{b}\|\)	平行四邊形面積的一半