벡터 외적 계산기

행렬식 공식을 사용하여 두 3D 벡터의 외적(벡터곱)을 계산합니다. 단계별 전개 과정, 수직 결과 벡터, 크기(평행사변형 넓이), 방향 검증 및 대화형 3D 시각화 정보를 제공합니다.

벡터 외적 계산기

벡터 외적 계산기 정보

벡터 외적 계산기는 행렬식 공식을 사용하여 두 3D 벡터의 벡터 곱을 계산합니다. 두 벡터의 성분을 입력하면 즉시 결과 수직 벡터, 크기(평행사변형 면적), 입력 벡터 간의 각도, 단계별 행렬식 전개 과정, 수직성 검증 및 드래그하여 회전할 수 있는 대화형 3D 다이어그램을 얻을 수 있습니다.

벡터 외적 공식

두 3D 벡터 $\vec{a} = \langle a_1, a_2, a_3 \rangle$ 및 $\vec{b} = \langle b_1, b_2, b_3 \rangle$의 외적은 다음 행렬식으로 정의됩니다.

$$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \end{vmatrix}$$

첫 번째 행을 따라 여인수 전개를 하면 다음과 같습니다.

$$\vec{a} \times \vec{b} = \hat{i}(a_2 b_3 - a_3 b_2) - \hat{j}(a_1 b_3 - a_3 b_1) + \hat{k}(a_1 b_2 - a_2 b_1)$$

실생활 응용 분야

🔧

토크

τ = r × F로 회전력을 계산합니다.

🌊

각운동량

회전 역학에서 L = r × p입니다.

🎮

표면 법선

3D 렌더링에서 조명 처리를 위해 법선을 사용합니다.

✈

전자기학

로런츠 힘 계산을 위한 F = qv × B입니다.

📐

면적 계산

|a×b|는 평행사변형/삼각형 면적을 나타냅니다.

🏗

구조 공학

한 점에 대한 힘의 모멘트를 계산합니다.

주요 공식

속성	공식	설명
벡터 외적	$\vec{a} \times \vec{b} = \langle a_2 b_3 - a_3 b_2,\; a_3 b_1 - a_1 b_3,\; a_1 b_2 - a_2 b_1 \rangle$	외적의 성분 형식
크기	$\|\vec{a} \times \vec{b}\| = \|\vec{a}\|\|\vec{b}\|\sin\theta$	평행사변형의 면적과 동일
반교환성	$\vec{a} \times \vec{b} = -(\vec{b} \times \vec{a})$	순서를 바꾸면 방향이 반대가 됨
수직성	$(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{a} = 0$	결과는 항상 두 입력 벡터에 수직임
평행 판별	$\vec{a} \times \vec{b} = \vec{0} \iff \vec{a} \\| \vec{b}$	외적이 0이면 두 벡터는 평행함
삼각형 면적	$A = \frac{1}{2}\|\vec{a} \times \vec{b}\|$	평행사변형 면적의 절반

외적 vs 내적

벡터 외적 (a × b)

두 입력 벡터에 수직인 벡터를 생성합니다. 3D에서만 정의됩니다. 크기는 평행사변형의 면적과 같습니다. 벡터가 평행할 때 0입니다. 벡터가 수직일 때 최대가 됩니다. 반교환 법칙이 성립합니다: a × b = -(b × a).

벡터 내적 (a · b)

스칼라 값을 생성합니다. 모든 차원에서 작동합니다. 벡터 간의 정렬 상태를 측정합니다. 벡터가 수직일 때 0입니다. 벡터가 평행할 때 최대가 됩니다. 교환 법칙이 성립합니다: a · b = b · a.

주요 속성

반교환성

$\vec{a} \times \vec{b} = -(\vec{b} \times \vec{a})$ — 순서가 중요함

분배 법칙

$\vec{a} \times (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} \times \vec{b} + \vec{a} \times \vec{c}$

스칼라 배

$(k\vec{a}) \times \vec{b} = k(\vec{a} \times \vec{b})$

자기 외적

$\vec{a} \times \vec{a} = \vec{0}$ — 항상 0

결합 법칙 성립 안 함

$\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}) \neq (\vec{a} \times \vec{b}) \times \vec{c}$

라그랑주 항등식

$|\vec{a} \times \vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 |\vec{b}|^2 - (\vec{a} \cdot \vec{b})^2$

오른손 법칙 이해하기

외적의 방향은 오른손 법칙을 따릅니다. 오른손 손가락을 첫 번째 벡터 $\vec{a}$를 따라 펼치고, 두 번째 벡터 $\vec{b}$ 쪽으로 감싸 쥐면 엄지손가락이 $\vec{a} \times \vec{b}$의 방향을 가리킵니다. 이것이 외적이 반교환 법칙을 따르는 이유입니다. 순서를 바꾸면 엄지손가락의 방향이 반대가 되어 $\vec{b} \times \vec{a} = -(\vec{a} \times \vec{b})$가 됩니다.

크기 $|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}||\vec{b}|\sin\theta$는 두 벡터에 의해 형성된 평행사변형의 면적을 나타냅니다. 벡터가 평행하면 ($\theta = 0°$ 또는 $180°$) 면적이 0이 됩니다. 수직이면 ($\theta = 90°$) 면적은 $|\vec{a}| \times |\vec{b}|$로 최대가 됩니다.

벡터 외적 계산기 사용 방법

벡터 a 입력: 세 성분(x, y, z)을 쉼표로 구분하여 입력합니다 (예: 2, 3, 4). 빠른 예제를 클릭하여 두 벡터를 자동으로 채울 수도 있습니다.
벡터 b 입력: 두 번째 벡터의 세 성분을 동일한 형식으로 입력합니다.
실시간 미리보기 확인: 3D 미리보기가 실시간으로 업데이트되어 두 벡터, 외적 벡터 및 평행사변형을 보여줍니다.
계산 클릭: 버튼을 눌러 수직 결과 벡터, 평행사변형 면적, 각도, 단계별 행렬식 전개 과정 및 대화형 3D 다이어그램을 포함한 전체 결과를 확인합니다.
다이어그램 탐색: 드래그하여 3D 뷰를 회전하고, 다양한 시각화를 위해 레이어(평행사변형, 외적 벡터, 축, 레이블)를 켜고 끕니다.

FAQ

두 벡터의 외적이란 무엇입니까?

두 3D 벡터 a와 b의 외적(벡터 곱이라고도 함)은 a와 b 모두에 수직인 새로운 벡터를 생성합니다. 이는 첫 번째 행에 단위 벡터 i, j, k가 있는 3×3 행렬의 행렬식을 사용하여 계산됩니다. 결과의 크기는 두 벡터에 의해 형성된 평행사변형의 면적과 같습니다.

행렬식 방법을 사용하여 외적을 어떻게 계산합니까?

1행에 i-hat, j-hat, k-hat을, 2행에 벡터 a의 성분을, 3행에 벡터 b의 성분을 배치하여 3×3 행렬을 만듭니다. 그런 다음 첫 번째 행을 따라 전개합니다: i(a₂b₃ − a₃b₂) − j(a₁b₃ − a₃b₁) + k(a₁b₂ − a₂b₁). 이것이 외적 벡터의 세 성분이 됩니다.

왜 외적은 3D에서만 정의됩니까?

벡터 연산으로서의 외적은 3차원(및 7차원)에서만 정의됩니다. 왜냐하면 이러한 공간에서만 주어진 두 벡터에 수직인 고유한 벡터를 찾을 수 있기 때문입니다. 2D에는 평면 밖의 방향이 없으며, 더 높은 차원에서는 수직 공간이 1차원보다 큽니다.

외적 크기의 기하학적 의미는 무엇입니까?

크기 |a × b|는 벡터 a와 b에 의해 형성된 평행사변형의 면적과 같습니다. 이 값의 절반은 삼각형 면적이 됩니다. 이는 물리학(토크 = r × F) 및 컴퓨터 그래픽(조명을 위한 표면 법선 계산)에서 널리 사용됩니다.

외적에 대한 오른손 법칙은 무엇입니까?

오른손 법칙은 외적의 방향을 결정합니다. 오른손 손가락을 벡터 a 방향으로 향하게 하고 벡터 b 방향으로 감싸 쥐면 엄지손가락이 a × b의 방향을 가리킵니다. 이는 외적이 반교환 법칙을 따름을 의미합니다. 즉 a × b는 −(b × a)와 같습니다.

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"벡터 외적 계산기" - https://MiniWebtool.com/ko/벡터-외적-계산기/에서 MiniWebtool 인용, https://MiniWebtool.com/

by miniwebtool 팀. 업데이트 날짜: 2026-04-10

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주요 공식

외적 vs 내적

벡터 외적 (a × b)

벡터 내적 (a · b)

주요 속성

오른손 법칙 이해하기

벡터 외적 계산기 사용 방법

FAQ

선형 대수학:

주요 도구:

속성	공식	설명
벡터 외적	\(\vec{a} \times \vec{b} = \langle a_2 b_3 - a_3 b_2,\; a_3 b_1 - a_1 b_3,\; a_1 b_2 - a_2 b_1 \rangle\)	외적의 성분 형식
크기	\(\|\vec{a} \times \vec{b}\| = \|\vec{a}\|\|\vec{b}\|\sin\theta\)	평행사변형의 면적과 동일
반교환성	\(\vec{a} \times \vec{b} = -(\vec{b} \times \vec{a})\)	순서를 바꾸면 방향이 반대가 됨
수직성	\((\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{a} = 0\)	결과는 항상 두 입력 벡터에 수직임
평행 판별	\(\vec{a} \times \vec{b} = \vec{0} \iff \vec{a} \\| \vec{b}\)	외적이 0이면 두 벡터는 평행함
삼각형 면적	\(A = \frac{1}{2}\|\vec{a} \times \vec{b}\|\)	평행사변형 면적의 절반