外積電卓

外積電卓

外積計算機は、行列式公式を使用して 2つの3Dベクトルのベクトル積を計算します。2つのベクトルの成分を入力すると、即座に結果の垂直ベクトル、その大きさ（平行四辺形の面積）、入力ベクトル間の角度、行列式の詳細な展開手順、垂直性の検証、およびドラッグで回転可能なインタラクティブな3D図が表示されます。

外積の公式

2つの3Dベクトル \(\vec{a} = \langle a_1, a_2, a_3 \rangle\) と \(\vec{b} = \langle b_1, b_2, b_3 \rangle\) の外積は、以下の行列式として定義されます：

$$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \end{vmatrix}$$

第1行に沿って余因子展開を行うと、以下のようになります：

$$\vec{a} \times \vec{b} = \hat{i}(a_2 b_3 - a_3 b_2) - \hat{j}(a_1 b_3 - a_3 b_1) + \hat{k}(a_1 b_2 - a_2 b_1)$$

実世界での応用

主な公式

外積 vs. 内積

主な性質

右手の法則の理解

外積の方向は右手の法則に従います。右手の指を最初のベクトル \(\vec{a}\) に沿って向け、2番目のベクトル \(\vec{b}\) の方へ曲げると、親指が \(\vec{a} \times \vec{b}\) の方向を指します。これが外積が反交換律を持つ理由です。順序を逆にすると親指の向きが反転し、\(\vec{b} \times \vec{a} = -(\vec{a} \times \vec{b})\) となります。

大きさ \(|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}||\vec{b}|\sin\theta\) は、2つのベクトルによって形成される平行四辺形の面積を表します。ベクトルが平行な場合（\(\theta = 0°\) または \(180°\)）、面積はゼロになります。垂直な場合（\(\theta = 90°\)）、面積は \(|\vec{a}| \times |\vec{b}|\) で最大となります。

外積計算機の使い方

1. ベクトル a を入力: カンマで区切られた3つの成分 (x, y, z) を入力します（例: 2, 3, 4）。クイック例をクリックして両方のベクトルを自動入力することもできます。
2. ベクトル b を入力: 2番目のベクトルの3つの成分を同じ形式で入力します。
3. ライブプレビューを確認: 3Dプレビューはリアルタイムで更新され、両方のベクトル、外積ベクトル、および平行四辺形が表示されます。
4. 計算をクリック: ボタンを押すと、垂直な結果ベクトル、平行四辺形の面積、角度、行列式の展開手順、インタラクティブな3D図を含む完全な結果が表示されます。
5. 図を操作する: ドラッグして3Dビューを回転させたり、レイヤー（平行四辺形、外積ベクトル、軸、ラベル）を切り替えてさまざまな視覚化を確認したりできます。

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