Kalkulator Dekomposisi QR

Tentang Kalkulator Dekomposisi QR

Kalkulator Dekomposisi QR memfaktorkan matriks A apa pun menjadi produk matriks ortogonal Q dan matriks segitiga atas R, sehingga A = QR. Masukkan matriks 2×2 hingga 5×5 (termasuk matriks non-persegi di mana baris ≥ kolom) dan dapatkan ortogonalisasi Gram-Schmidt lengkap dengan solusi langkah demi langkah, animasi interaktif, verifikasi keortogonalan QᵀQ = I, dan wawasan edukasi yang mendalam.

Apa Itu Dekomposisi QR?

Dekomposisi QR (juga disebut faktorisasi QR) menulis matriks A sebagai:

$$A = QR$$

di mana Q adalah matriks ortogonal (kolom-kolomnya adalah vektor ortonormal yang memenuhi QᵀQ = I), dan R adalah matriks segitiga atas. Untuk matriks m×n dengan m ≥ n dan rank kolom penuh, QR tereduksi menghasilkan Q sebagai m×n dan R sebagai n×n.

Penjelasan Proses Gram-Schmidt

Diberikan vektor kolom a₁, a₂, …, aₙ dari A, algoritma Gram-Schmidt klasik menghasilkan vektor ortonormal e₁, e₂, …, eₙ:

Langkah 1. Tetapkan u₁ = a₁, lalu normalkan: e₁ = u₁ / ‖u₁‖.

Langkah 2. Untuk setiap kolom berikutnya aⱼ, kurangi proyeksinya ke semua eₖ sebelumnya:

$$\mathbf{u}_j = \mathbf{a}_j - \sum_{k=1}^{j-1} (\mathbf{a}_j \cdot \mathbf{e}_k) \, \mathbf{e}_k$$

Lalu normalkan: eⱼ = uⱼ / ‖uⱼ‖.

Langkah 3. Matriks Q memiliki e₁, …, eₙ sebagai kolom. R adalah segitiga atas dengan entri rᵢⱼ = eᵢ · aⱼ.

Cara Menggunakan Kalkulator Ini

Langkah 1. Atur dimensi matriks (baris × kolom). Baris harus ≥ kolom untuk dekomposisi QR.

Langkah 2. Masukkan nilai ke dalam kisi, atau klik contoh cepat untuk memuat preset. Gunakan Tab atau tombol panah untuk menavigasi.

Langkah 3. Klik Dekomposisi A = QR. Kalkulator menjalankan proses Gram-Schmidt dan menampilkan Q dan R.

Langkah 4. Tonton animasi Gram-Schmidt untuk melihat bagaimana setiap kolom diortogonalkan: vektor asli → kurangi proyeksi → hasil yang belum dinormalkan → vektor ortonormal yang dinormalkan.

Langkah 5. Verifikasi hasilnya: periksa bahwa QR = A dan QᵀQ = I (matriks identitas). Ikuti seluruh langkah penurunan menggunakan navigator langkah.

Aplikasi Dekomposisi QR

QR vs. Dekomposisi Matriks Lainnya

Pertanyaan yang Sering Diajukan

Apa itu dekomposisi QR?

Dekomposisi QR memfaktorkan matriks A menjadi produk matriks ortogonal Q (yang kolom-kolomnya ortonormal) dan matriks segitiga atas R. Setiap matriks riil dengan kolom-kolom yang bebas linier memiliki faktorisasi QR yang unik ketika kita mensyaratkan R memiliki entri diagonal positif.

Apa itu proses Gram-Schmidt?

Proses Gram-Schmidt adalah algoritma yang mengambil sekumpulan vektor yang bebas linier dan menghasilkan kumpulan ortonormal yang merentang subruang yang sama. Ini bekerja dengan mengurangkan secara iteratif proyeksi ke semua vektor ortonormal yang dihitung sebelumnya dan kemudian menormalkan residunya.

Apakah dekomposisi QR berfungsi untuk matriks non-persegi?

Ya. Untuk matriks m×n di mana m ≥ n, dekomposisi QR tereduksi (atau tipis) menghasilkan Q sebagai m×n dengan kolom ortonormal dan R sebagai n×n segitiga atas. Ini adalah bentuk yang paling sering digunakan dalam praktik, terutama untuk masalah kuadrat terkecil.

Kapan saya harus menggunakan QR daripada dekomposisi LU?

Gunakan QR ketika stabilitas numerik lebih penting daripada kecepatan — misalnya, dengan matriks yang berkondisi buruk, masalah kuadrat terkecil, atau penghitungan nilai eigen. LU lebih cepat (kira-kira 2× untuk sistem persegi) tetapi dapat memperbesar kesalahan pembulatan. QR mempertahankan norma vektor karena Q bersifat ortogonal.

Apa perbedaan antara QR dan SVD?

Keduanya menghasilkan faktor ortogonal, tetapi SVD mendekomposisi A menjadi tiga matriks (UΣVᵀ) yang mengungkapkan nilai singular dan rank, sedangkan QR memberikan dua matriks (QR) dan lebih cepat untuk dihitung. SVD lebih disukai untuk masalah kurang rank dan penghitungan pseudoinvers; QR lebih disukai untuk menyelesaikan sistem rank penuh dan algoritma nilai eigen.