Calculadora de Rotacional

A Calculadora de Rotacional do MiniWebtool deriva um campo vetorial 2D ou 3D para encontrar ∇×F. Informe as componentes e, se quiser, um ponto de avaliação para ver as etapas simbólicas, com uma visualização do fluxo rotacional para campos 2D.

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O rotacional é o giro do campo: para F = ⟨−y, x⟩, ∂Q/∂x − ∂P/∂y = 2

Insira as componentes de um campo vetorial 2D ou 3D e, opcionalmente, um ponto para obter o rotacional passo a passo e ver se o campo é irrotacional.

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Calculadora de Rotacional

A Calculadora de Rotacional computa o rotacional ∇×F de qualquer campo vetorial 2D ou 3D com expansão completa do determinante do produto vetorial passo a passo. Insira as componentes do seu campo vetorial P, Q (e R para 3D), opcionalmente avalie em um ponto específico, e obtenha o rotacional simbólico, a classificação da rotação e, para campos 2D, uma visualização interativa com um mapa de calor de vorticidade e fluxo de partículas animado mostrando o comportamento rotacional do campo.

O Que É Rotacional?

O rotacional de um campo vetorial $\mathbf{F}$ mede a rotação infinitesimal do campo em cada ponto. Para um campo 3D $\mathbf{F} = \langle P, Q, R \rangle$, o rotacional é calculado como um produto vetorial:

$$\nabla \times \mathbf{F} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ P & Q & R \end{vmatrix}$$

A expansão do determinante resulta no vetor rotacional:

$$\nabla \times \mathbf{F} = \left\langle \frac{\partial R}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial z},\; \frac{\partial P}{\partial z} - \frac{\partial R}{\partial x},\; \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right\rangle$$

Para um campo 2D $\mathbf{F} = \langle P, Q \rangle$, o rotacional se reduz ao escalar $\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}$, que representa a rotação no plano xy.

Significado Físico do Rotacional

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Rotação Anti-horária (rot > 0)

Uma minúscula roda de pás colocada aqui giraria no sentido anti-horário. O campo circula na direção positiva.

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Rotação Horária (rot < 0)

Uma minúscula roda de pás colocada aqui giraria no sentido horário. O campo circula na direção negativa.

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Irrotacional (rot = 0)

Sem rotação líquida — o campo é conservativo. Existe uma função potencial φ tal que F = ∇φ.

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Teorema de Stokes

A integral de superfície do rotacional é igual à integral de linha ao redor da fronteira: circulação = rotação total.

Fórmulas de Rotacional em Diferentes Sistemas de Coordenadas

Sistema de Coordenadas	Fórmula do Rotacional
Cartesiano 2D	$\text{rot}\,\mathbf{F} = \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}$ (escalar)
Cartesiano 3D	$\nabla \times \mathbf{F} = \left\langle \frac{\partial R}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial z},\; \frac{\partial P}{\partial z} - \frac{\partial R}{\partial x},\; \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right\rangle$
Cilíndrico	$\nabla \times \mathbf{F} = \left\langle \frac{1}{r}\frac{\partial F_z}{\partial \theta} - \frac{\partial F_\theta}{\partial z},\; \frac{\partial F_r}{\partial z} - \frac{\partial F_z}{\partial r},\; \frac{1}{r}\frac{\partial(rF_\theta)}{\partial r} - \frac{1}{r}\frac{\partial F_r}{\partial \theta} \right\rangle$
Esférico	Veja a expansão completa usando fatores de escala $h_r=1, h_\theta=r, h_\phi=r\sin\theta$

Identidades Importantes Envolvendo Rotacional

Identidade	Fórmula
Rotacional do gradiente	$\nabla \times (\nabla f) = \mathbf{0}$ (sempre zero — gradientes são irrotacionais)
Divergência do rotacional	$\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf{F}) = 0$ (sempre zero — rotacionais são solenoidais)
Linearidade	$\nabla \times (a\mathbf{F} + b\mathbf{G}) = a(\nabla \times \mathbf{F}) + b(\nabla \times \mathbf{G})$
Regra do produto	$\nabla \times (f\mathbf{F}) = f(\nabla \times \mathbf{F}) + (\nabla f) \times \mathbf{F}$
Teorema de Stokes	$\displaystyle\iint_S (\nabla \times \mathbf{F}) \cdot d\mathbf{S} = \oint_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r}$

Aplicações do Rotacional

Campo	Aplicação	O Que o Rotacional Representa
Eletromagnetismo	Lei de Faraday	$\nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}$ — campos magnéticos variáveis criam campos elétricos circulantes
Eletromagnetismo	Lei de Ampère	$\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \mathbf{J}$ — correntes elétricas criam campos magnéticos circulantes
Dinâmica de Fluidos	Vorticidade	$\boldsymbol{\omega} = \nabla \times \mathbf{v}$ — mede como o fluido gira localmente
Mecânica	Velocidade angular	Para rotação de corpo rígido $\mathbf{v} = \boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r}$, o rotacional resulta em $2\boldsymbol{\omega}$
Campos conservativos	Independência do caminho	Se $\nabla \times \mathbf{F} = 0$, as integrais de linha são independentes do caminho e existe um potencial

Como Usar a Calculadora de Rotacional

Escolha a dimensão: Selecione 2D para campos F = ⟨P, Q⟩ (rotacional escalar) ou 3D para F = ⟨P, Q, R⟩ (rotacional vetorial) usando os botões de alternância.
Insira as funções componentes: Digite cada função componente (P, Q e opcionalmente R) usando notação padrão. Use ^ para expoentes, * para multiplicação e funções como sin(x), cos(y), exp(x), ln(x), sqrt(x). A multiplicação implícita é suportada (ex: 2x = 2*x).
Insira um ponto de avaliação (opcional): Forneça coordenadas separadas por vírgulas para avaliar o rotacional numericamente e classificar a direção da rotação.
Clique em Calcular Rotacional: Visualize o rotacional simbólico, a expansão do determinante do produto vetorial passo a passo, a avaliação numérica e a classificação da rotação.
Explore a visualização: Para campos 2D, veja as setas do campo vetorial com um mapa de calor de vorticidade (laranja = anti-horário, roxo = horário) e fluxo de partículas animado.

Exemplo Resolvido

Encontre o rotacional de $\mathbf{F}(x, y, z) = \langle y z,\; x z,\; x y \rangle$ no ponto $(1, 2, 3)$:

Passo 1: Escreva o determinante: $\nabla \times \mathbf{F} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ \partial_x & \partial_y & \partial_z \\ yz & xz & xy \end{vmatrix}$

Passo 2: Expanda: $\mathbf{i}(x - x) - \mathbf{j}(y - y) + \mathbf{k}(z - z) = \langle 0, 0, 0 \rangle$

Passo 3: O rotacional é identicamente zero — este campo é irrotacional (conservativo). De fato, $\mathbf{F} = \nabla(xyz)$, confirmando que existe uma função potencial.

Rotacional vs. Divergência

Propriedade	Rotacional (∇×F)	Divergência (∇·F)
Tipo de operador	Produto vetorial com ∇	Produto escalar com ∇
Resultado	Vetor (3D) / Escalar (2D)	Escalar
Mede	Rotação / circulação	Expansão / contração
Zero significa	Irrotacional / conservativo	Solenoidal / incompressível
Teorema	Teorema de Stokes	Teorema da Divergência (Gauss)

Perguntas Frequentes

O que é o rotacional de um campo vetorial?

O rotacional de um campo vetorial mede a tendência de rotação ou circulação em cada ponto. Para um campo 3D F = (P, Q, R), o rotacional é um vetor computado via produto vetorial do operador nabla com F: ∇×F = (∂R/∂y − ∂Q/∂z, ∂P/∂z − ∂R/∂x, ∂Q/∂x − ∂P/∂y). Rotacional positivo indica rotação anti-horária, enquanto rotacional negativo indica rotação horária.

Como se calcula o rotacional?

Para calcular o rotacional de um campo vetorial 3D, configure um determinante 3×3 com vetores unitários i, j, k na primeira linha, operadores de derivada parcial ∂/∂x, ∂/∂y, ∂/∂z na segunda linha e as componentes do campo P, Q, R na terceira linha. Expanda o determinante usando a expansão por cofatores ao longo da primeira linha para obter cada componente do vetor rotacional.

O que significa quando o rotacional é zero?

Quando o rotacional é zero em todos os pontos, o campo vetorial é chamado de irrotacional ou conservativo. Isso significa que existe uma função potencial escalar φ tal que F = ∇φ, e a integral de linha de F ao longo de qualquer curva fechada é zero. Campos gravitacionais e campos eletrostáticos são exemplos de campos irrotacionais.

Qual é a diferença entre rotacional e divergência?

O rotacional mede a rotação e produz um vetor (em 3D), enquanto a divergência mede a expansão ou contração e produz um escalar. O rotacional usa o produto vetorial de nabla com F (∇×F), enquanto a divergência usa o produto escalar (∇·F). Um campo pode ter rotacional diferente de zero mas divergência zero (como F = (−y, x, 0)), ou rotacional zero mas divergência diferente de zero (como F = (x, y, z)).

Qual é o significado físico do rotacional?

Fisicamente, o rotacional mede a tendência de um campo vetorial de circular ou girar em torno de um ponto. Imagine colocar uma minúscula roda de pás em um fluxo de fluido — o rotacional indica quão rápido e em qual direção a roda giraria. No eletromagnetismo, o rotacional aparece na lei de Faraday (campos magnéticos variáveis criam campos elétricos circulantes) e na lei de Ampère (correntes criam campos magnéticos circulantes). Na dinâmica dos fluidos, o rotacional da velocidade é chamado de vorticidade.

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pela equipe miniwebtool. Atualizado: 2026-04-08

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O Que É Rotacional?

Significado Físico do Rotacional

Fórmulas de Rotacional em Diferentes Sistemas de Coordenadas

Identidades Importantes Envolvendo Rotacional

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Rotacional vs. Divergência

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Sistema de Coordenadas	Fórmula do Rotacional
Cartesiano 2D	\(\text{rot}\,\mathbf{F} = \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\) (escalar)
Cartesiano 3D	\(\nabla \times \mathbf{F} = \left\langle \frac{\partial R}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial z},\; \frac{\partial P}{\partial z} - \frac{\partial R}{\partial x},\; \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right\rangle\)
Cilíndrico	\(\nabla \times \mathbf{F} = \left\langle \frac{1}{r}\frac{\partial F_z}{\partial \theta} - \frac{\partial F_\theta}{\partial z},\; \frac{\partial F_r}{\partial z} - \frac{\partial F_z}{\partial r},\; \frac{1}{r}\frac{\partial(rF_\theta)}{\partial r} - \frac{1}{r}\frac{\partial F_r}{\partial \theta} \right\rangle\)
Esférico	Veja a expansão completa usando fatores de escala \(h_r=1, h_\theta=r, h_\phi=r\sin\theta\)

Identidade	Fórmula
Rotacional do gradiente	\(\nabla \times (\nabla f) = \mathbf{0}\) (sempre zero — gradientes são irrotacionais)
Divergência do rotacional	\(\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf{F}) = 0\) (sempre zero — rotacionais são solenoidais)
Linearidade	\(\nabla \times (a\mathbf{F} + b\mathbf{G}) = a(\nabla \times \mathbf{F}) + b(\nabla \times \mathbf{G})\)
Regra do produto	\(\nabla \times (f\mathbf{F}) = f(\nabla \times \mathbf{F}) + (\nabla f) \times \mathbf{F}\)
Teorema de Stokes	\(\displaystyle\iint_S (\nabla \times \mathbf{F}) \cdot d\mathbf{S} = \oint_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r}\)

Campo	Aplicação	O Que o Rotacional Representa
Eletromagnetismo	Lei de Faraday	\(\nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}\) — campos magnéticos variáveis criam campos elétricos circulantes
Eletromagnetismo	Lei de Ampère	\(\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \mathbf{J}\) — correntes elétricas criam campos magnéticos circulantes
Dinâmica de Fluidos	Vorticidade	\(\boldsymbol{\omega} = \nabla \times \mathbf{v}\) — mede como o fluido gira localmente
Mecânica	Velocidade angular	Para rotação de corpo rígido \(\mathbf{v} = \boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r}\), o rotacional resulta em \(2\boldsymbol{\omega}\)
Campos conservativos	Independência do caminho	Se \(\nabla \times \mathbf{F} = 0\), as integrais de linha são independentes do caminho e existe um potencial