Calculadora de Divergência

Examine fontes e sumidouros com a Calculadora de Divergência do MiniWebtool. As componentes de um campo vetorial 2D ou 3D fornecem ∇·F simbólico e avaliação opcional em um ponto, com etapas das derivadas e uma visualização de fluxo 2D.

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Divergência é fluxo para fora: ∂P/∂x + ∂Q/∂y = 2 em ⟨x, y⟩, 0 em ⟨−y, x⟩

Insira as componentes de um campo vetorial 2D ou 3D e, opcionalmente, um ponto para obter a divergência, com as derivadas parciais passo a passo.

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Calculadora de Divergência

A Calculadora de Divergência computa a divergência ∇·F de qualquer campo vetorial 2D ou 3D com computação completa de derivada parcial passo a passo. Insira os componentes do seu campo vetorial P, Q (e R para 3D), opcionalmente avalie em um ponto específico e obtenha a divergência simbólica, a classificação de fonte/sumidouro e, para campos 2D, uma visualização interativa com um mapa de calor de divergência e fluxo de partículas animado.

Resumo rápido

A Calculadora de Divergência calcula o divergente de um campo vetorial 2D ou 3D a partir de suas funções componentes. Fornece o resultado simbólico com as etapas de derivadas parciais e pode classificar um ponto escolhido como fonte, sumidouro ou nenhum dos dois.

Calculadora de Divergência: recursos em resumo
Recurso	O que você obtém	Indicado para
Campos 2D e 3D	Alterne entre F = (P, Q) e F = (P, Q, R) e digite cada componente em função de x, y e z.	Trabalhos de cálculo vetorial e física
Sintaxe da função	Use ^ para potências, * para multiplicação, sin, cos, exp, ln e sqrt. Multiplicação implícita, como 2x, é lida como 2*x.	Digitar campos da forma como aparecem em um livro didático
Divergente simbólico	Retorna o divergente como a soma das derivadas parciais, com cada etapa de derivação mostrada.	Conferir um cálculo do divergente feito à mão
Ponto de avaliação	Informe coordenadas opcionais para obter um valor numérico e uma classificação como fonte, sumidouro ou incompressível naquele ponto.	Decidir se um campo se expande ou se contrai em um local
Visão de fluxo 2D	Para campos 2D, setas vetoriais aparecem sobre um mapa de calor (vermelho para fonte, azul para sumidouro) com fluxo animado de partículas.	Ver o comportamento do campo, não apenas a fórmula
Campos de exemplo	Botões carregam campos como fonte, sumidouro e rotação, além de x^2y, xy^2, um exemplo 3D e um exemplo seno-cosseno.	Começar de um campo padrão

O Que é Divergência?

A divergência de um campo vetorial $\mathbf{F}$ é um operador de valor escalar que mede a taxa na qual o campo se "espalha" a partir de um ponto. Para um campo vetorial 3D $\mathbf{F} = \langle P, Q, R \rangle$:

$$\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z}$$

Para um campo 2D $\mathbf{F} = \langle P, Q \rangle$, a divergência é $\frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y}$. A divergência é um conceito fundamental no cálculo vetorial, dinâmica de fluidos, eletromagnetismo e equações diferenciais.

Significado Físico da Divergência

🔴

Fonte (∇·F > 0)

O fluido flui para fora — sai mais do que entra. Como a água jorrando de uma fonte.

🔵

Sumidouro (∇·F < 0)

O fluido flui para dentro — entra mais do que sai. Como a água escoando por um ralo.

🟢

Zero (∇·F = 0)

Fluxo incompressível — o que entra é igual ao que sai. O campo é solenoidal.

🔄

Teorema da Divergência

A divergência total dentro de um volume é igual ao fluxo líquido através de sua superfície limite.

Fórmulas de Divergência e Sistemas de Coordenadas

Calculadora de Divergência: Fórmulas de Divergência e Sistemas de Coordenadas
Sistema de Coordenadas	Fórmula da Divergência
Cartesiano 2D	$\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y}$
Cartesiano 3D	$\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z}$
Cilíndrico	$\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{1}{r}\frac{\partial(rF_r)}{\partial r} + \frac{1}{r}\frac{\partial F_\theta}{\partial \theta} + \frac{\partial F_z}{\partial z}$
Esférico	$\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{1}{r^2}\frac{\partial(r^2 F_r)}{\partial r} + \frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial(\sin\theta\, F_\theta)}{\partial \theta} + \frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial F_\phi}{\partial \phi}$

Identidades Importantes Envolvendo Divergência

Calculadora de Divergência: Identidades Importantes Envolvendo Divergência
Identidade	Fórmula
Linearidade	$\nabla \cdot (a\mathbf{F} + b\mathbf{G}) = a(\nabla \cdot \mathbf{F}) + b(\nabla \cdot \mathbf{G})$
Regra do produto (escalar × vetor)	$\nabla \cdot (f\mathbf{F}) = f(\nabla \cdot \mathbf{F}) + \mathbf{F} \cdot (\nabla f)$
Divergência do rotacional	$\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf{F}) = 0$ (sempre)
Laplaciano	$\nabla \cdot (\nabla f) = \nabla^2 f$ (divergência do gradiente = Laplaciano)
Teorema da divergência	$\displaystyle\iiint_V (\nabla \cdot \mathbf{F})\,dV = \unicode{x222F}_S \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S}$

Aplicações da Divergência

Calculadora de Divergência: Aplicações da Divergência
Campo	Aplicação	O Que a Divergência Representa
Eletromagnetismo	Lei de Gauss	$\nabla \cdot \mathbf{E} = \rho/\varepsilon_0$ — densidade de carga cria divergência no campo elétrico
Eletromagnetismo	Campo magnético	$\nabla \cdot \mathbf{B} = 0$ — não existem monopolos magnéticos
Dinâmica de Fluidos	Equação da continuidade	$\nabla \cdot \mathbf{v} = 0$ para fluxo incompressível
Transferência de Calor	Equação do calor	A divergência do fluxo de calor relaciona-se à mudança de temperatura
Relatividade Geral	Equações de campo de Einstein	Condição de livre divergência no tensor de energia-momento

Como Usar a Calculadora de Divergência

Escolha a dimensão: Selecione 2D para campos F = ⟨P, Q⟩ ou 3D para F = ⟨P, Q, R⟩ usando os botões de alternância.
Insira as funções componentes: Digite cada função componente (P, Q e, opcionalmente, R) usando a notação padrão. Use ^ para expoentes, * para multiplicação e funções como sin(x), cos(y), exp(x), ln(x), sqrt(x). A multiplicação implícita é suportada (ex: 2x = 2*x).
Insira um ponto de avaliação (opcional): Forneça coordenadas separadas por vírgulas para avaliar a divergência numericamente e classificar o ponto como fonte, sumidouro ou incompressível.
Clique em Calcular Divergência: Visualize a fórmula da divergência simbólica, o cálculo da derivada parcial passo a passo, a avaliação numérica e a classificação de fonte/sumidouro.
Explore a visualização: Para campos 2D, veja as setas do campo vetorial com um mapa de calor de divergência codificado por cores (vermelho = fonte, azul = sumidouro) e fluxo de partículas animado mostrando o comportamento do campo.

Exemplo Prático

Encontre a divergência de $\mathbf{F}(x, y) = \langle x, y \rangle$ no ponto $(1, 1)$:

Passo 1: Identifique os componentes: $P = x$, $Q = y$.

Passo 2: Calcule as derivadas parciais: $\frac{\partial P}{\partial x} = 1$, $\frac{\partial Q}{\partial y} = 1$.

Passo 3: Some-as: $\nabla \cdot \mathbf{F} = 1 + 1 = 2$.

Interpretação: Como $\nabla \cdot \mathbf{F} = 2 > 0$, cada ponto é uma fonte. O campo se expande uniformemente para fora — imagine o fluido sendo bombeado para fora em todos os lugares do plano.

FAQ

O que é divergência de um campo vetorial?

A divergência é um operador diferencial de valor escalar que mede a taxa na qual um campo vetorial se expande ou se contrai em um determinado ponto. Para um campo 3D F = (P, Q, R), a divergência é a soma das derivadas parciais: ∇·F = ∂P/∂x + ∂Q/∂y + ∂R/∂z. Divergência positiva indica uma fonte (fluxo de saída), negativa indica um sumidouro (fluxo de entrada) e zero significa fluxo incompressível.

Como se calcula a divergência?

Para calcular a divergência, tire a derivada parcial de cada função componente em relação à sua variável correspondente e, em seguida, some todas elas. Para um campo 2D F = (P, Q), calcule ∂P/∂x + ∂Q/∂y. Para 3D, adicione ∂R/∂z. O resultado é uma função escalar (não um vetor), que informa o quanto o campo está se expandindo ou se comprimindo em cada ponto.

O que significa quando a divergência é zero?

Quando a divergência é zero em todos os lugares, o campo vetorial é chamado de solenoidal ou livre de divergência. Na dinâmica dos fluidos, isso significa que o fluido é incompressível — não há expansão ou contração líquida em nenhum ponto. Campos magnéticos sempre têm divergência zero (Lei de Gauss para o magnetismo: ∇·B = 0), e o rotacional de qualquer campo vetorial é sempre livre de divergência (∇·(∇×F) = 0).

Qual é o significado físico da divergência?

Fisicamente, a divergência mede o fluxo externo líquido por unidade de volume em um ponto. Imagine uma pequena caixa em um fluido: se mais fluido sai da caixa do que entra, a divergência é positiva (fonte). Se entrar mais do que sair, é negativa (sumidouro). Este conceito é central para as leis de conservação na física, aparecendo na equação da continuidade, nas equações de Maxwell e na equação do calor.

Qual é a diferença entre divergência e rotacional?

Divergência e rotacional são ambos operadores diferenciais em campos vetoriais, mas medem coisas diferentes. A divergência (∇·F) mede expansão ou contração e produz um escalar. O rotacional (∇×F) mede a rotação ou circulação e produz um vetor. Um campo pode ter divergência diferente de zero, mas rotacional zero (como F = (x, y)), ou divergência zero, mas rotacional diferente de zero (como F = (−y, x)), ou ambos, ou nenhum.

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"Calculadora de Divergência" em https://MiniWebtool.com/br/calculadora-de-divergencia/ de MiniWebtool, https://MiniWebtool.com/

pela equipe MiniWebtool. Atualizado em: 2026-04-08

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Sistema de Coordenadas	Fórmula da Divergência
Cartesiano 2D	\(\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y}\)
Cartesiano 3D	\(\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z}\)
Cilíndrico	\(\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{1}{r}\frac{\partial(rF_r)}{\partial r} + \frac{1}{r}\frac{\partial F_\theta}{\partial \theta} + \frac{\partial F_z}{\partial z}\)
Esférico	\(\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{1}{r^2}\frac{\partial(r^2 F_r)}{\partial r} + \frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial(\sin\theta\, F_\theta)}{\partial \theta} + \frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial F_\phi}{\partial \phi}\)

Identidade	Fórmula
Linearidade	\(\nabla \cdot (a\mathbf{F} + b\mathbf{G}) = a(\nabla \cdot \mathbf{F}) + b(\nabla \cdot \mathbf{G})\)
Regra do produto (escalar × vetor)	\(\nabla \cdot (f\mathbf{F}) = f(\nabla \cdot \mathbf{F}) + \mathbf{F} \cdot (\nabla f)\)
Divergência do rotacional	\(\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf{F}) = 0\) (sempre)
Laplaciano	\(\nabla \cdot (\nabla f) = \nabla^2 f\) (divergência do gradiente = Laplaciano)
Teorema da divergência	\(\displaystyle\iiint_V (\nabla \cdot \mathbf{F})\,dV = \unicode{x222F}_S \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S}\)

Campo	Aplicação	O Que a Divergência Representa
Eletromagnetismo	Lei de Gauss	\(\nabla \cdot \mathbf{E} = \rho/\varepsilon_0\) — densidade de carga cria divergência no campo elétrico
Eletromagnetismo	Campo magnético	\(\nabla \cdot \mathbf{B} = 0\) — não existem monopolos magnéticos
Dinâmica de Fluidos	Equação da continuidade	\(\nabla \cdot \mathbf{v} = 0\) para fluxo incompressível
Transferência de Calor	Equação do calor	A divergência do fluxo de calor relaciona-se à mudança de temperatura
Relatividade Geral	Equações de campo de Einstein	Condição de livre divergência no tensor de energia-momento