Calculadora de Divergência

Calcule a divergencia de qualquer campo vetorial 2D ou 3D com derivadas parciais passo a passo. Informe as funcoes componentes, obtenha a divergencia simbolica, avalie em um ponto e identifique fontes e sumidouros.

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Calculadora de Divergência

A Calculadora de Divergência computa a divergência ∇·F de qualquer campo vetorial 2D ou 3D com computação completa de derivada parcial passo a passo. Insira os componentes do seu campo vetorial P, Q (e R para 3D), opcionalmente avalie em um ponto específico e obtenha a divergência simbólica, a classificação de fonte/sumidouro e, para campos 2D, uma visualização interativa com um mapa de calor de divergência e fluxo de partículas animado.

O Que é Divergência?

A divergência de um campo vetorial $\mathbf{F}$ é um operador de valor escalar que mede a taxa na qual o campo se "espalha" a partir de um ponto. Para um campo vetorial 3D $\mathbf{F} = \langle P, Q, R \rangle$:

$$\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z}$$

Para um campo 2D $\mathbf{F} = \langle P, Q \rangle$, a divergência é $\frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y}$. A divergência é um conceito fundamental no cálculo vetorial, dinâmica de fluidos, eletromagnetismo e equações diferenciais.

Significado Físico da Divergência

🔴

Fonte (∇·F > 0)

O fluido flui para fora — sai mais do que entra. Como a água jorrando de uma fonte.

🔵

Sumidouro (∇·F < 0)

O fluido flui para dentro — entra mais do que sai. Como a água escoando por um ralo.

🟢

Zero (∇·F = 0)

Fluxo incompressível — o que entra é igual ao que sai. O campo é solenoidal.

🔄

Teorema da Divergência

A divergência total dentro de um volume é igual ao fluxo líquido através de sua superfície limite.

Fórmulas de Divergência e Sistemas de Coordenadas

Sistema de Coordenadas	Fórmula da Divergência
Cartesiano 2D	$\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y}$
Cartesiano 3D	$\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z}$
Cilíndrico	$\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{1}{r}\frac{\partial(rF_r)}{\partial r} + \frac{1}{r}\frac{\partial F_\theta}{\partial \theta} + \frac{\partial F_z}{\partial z}$
Esférico	$\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{1}{r^2}\frac{\partial(r^2 F_r)}{\partial r} + \frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial(\sin\theta\, F_\theta)}{\partial \theta} + \frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial F_\phi}{\partial \phi}$

Identidades Importantes Envolvendo Divergência

Identidade	Fórmula
Linearidade	$\nabla \cdot (a\mathbf{F} + b\mathbf{G}) = a(\nabla \cdot \mathbf{F}) + b(\nabla \cdot \mathbf{G})$
Regra do produto (escalar × vetor)	$\nabla \cdot (f\mathbf{F}) = f(\nabla \cdot \mathbf{F}) + \mathbf{F} \cdot (\nabla f)$
Divergência do rotacional	$\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf{F}) = 0$ (sempre)
Laplaciano	$\nabla \cdot (\nabla f) = \nabla^2 f$ (divergência do gradiente = Laplaciano)
Teorema da divergência	$\displaystyle\iiint_V (\nabla \cdot \mathbf{F})\,dV = \unicode{x222F}_S \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S}$

Aplicações da Divergência

Campo	Aplicação	O Que a Divergência Representa
Eletromagnetismo	Lei de Gauss	$\nabla \cdot \mathbf{E} = \rho/\varepsilon_0$ — densidade de carga cria divergência no campo elétrico
Eletromagnetismo	Campo magnético	$\nabla \cdot \mathbf{B} = 0$ — não existem monopolos magnéticos
Dinâmica de Fluidos	Equação da continuidade	$\nabla \cdot \mathbf{v} = 0$ para fluxo incompressível
Transferência de Calor	Equação do calor	A divergência do fluxo de calor relaciona-se à mudança de temperatura
Relatividade Geral	Equações de campo de Einstein	Condição de livre divergência no tensor de energia-momento

Como Usar a Calculadora de Divergência

Escolha a dimensão: Selecione 2D para campos F = ⟨P, Q⟩ ou 3D para F = ⟨P, Q, R⟩ usando os botões de alternância.
Insira as funções componentes: Digite cada função componente (P, Q e, opcionalmente, R) usando a notação padrão. Use ^ para expoentes, * para multiplicação e funções como sin(x), cos(y), exp(x), ln(x), sqrt(x). A multiplicação implícita é suportada (ex: 2x = 2*x).
Insira um ponto de avaliação (opcional): Forneça coordenadas separadas por vírgulas para avaliar a divergência numericamente e classificar o ponto como fonte, sumidouro ou incompressível.
Clique em Calcular Divergência: Visualize a fórmula da divergência simbólica, o cálculo da derivada parcial passo a passo, a avaliação numérica e a classificação de fonte/sumidouro.
Explore a visualização: Para campos 2D, veja as setas do campo vetorial com um mapa de calor de divergência codificado por cores (vermelho = fonte, azul = sumidouro) e fluxo de partículas animado mostrando o comportamento do campo.

Exemplo Prático

Encontre a divergência de $\mathbf{F}(x, y) = \langle x, y \rangle$ no ponto $(1, 1)$:

Passo 1: Identifique os componentes: $P = x$, $Q = y$.

Passo 2: Calcule as derivadas parciais: $\frac{\partial P}{\partial x} = 1$, $\frac{\partial Q}{\partial y} = 1$.

Passo 3: Some-as: $\nabla \cdot \mathbf{F} = 1 + 1 = 2$.

Interpretação: Como $\nabla \cdot \mathbf{F} = 2 > 0$, cada ponto é uma fonte. O campo se expande uniformemente para fora — imagine o fluido sendo bombeado para fora em todos os lugares do plano.

FAQ

O que é divergência de um campo vetorial?

A divergência é um operador diferencial de valor escalar que mede a taxa na qual um campo vetorial se expande ou se contrai em um determinado ponto. Para um campo 3D F = (P, Q, R), a divergência é a soma das derivadas parciais: ∇·F = ∂P/∂x + ∂Q/∂y + ∂R/∂z. Divergência positiva indica uma fonte (fluxo de saída), negativa indica um sumidouro (fluxo de entrada) e zero significa fluxo incompressível.

Como se calcula a divergência?

Para calcular a divergência, tire a derivada parcial de cada função componente em relação à sua variável correspondente e, em seguida, some todas elas. Para um campo 2D F = (P, Q), calcule ∂P/∂x + ∂Q/∂y. Para 3D, adicione ∂R/∂z. O resultado é uma função escalar (não um vetor), que informa o quanto o campo está se expandindo ou se comprimindo em cada ponto.

O que significa quando a divergência é zero?

Quando a divergência é zero em todos os lugares, o campo vetorial é chamado de solenoidal ou livre de divergência. Na dinâmica dos fluidos, isso significa que o fluido é incompressível — não há expansão ou contração líquida em nenhum ponto. Campos magnéticos sempre têm divergência zero (Lei de Gauss para o magnetismo: ∇·B = 0), e o rotacional de qualquer campo vetorial é sempre livre de divergência (∇·(∇×F) = 0).

Qual é o significado físico da divergência?

Fisicamente, a divergência mede o fluxo externo líquido por unidade de volume em um ponto. Imagine uma pequena caixa em um fluido: se mais fluido sai da caixa do que entra, a divergência é positiva (fonte). Se entrar mais do que sair, é negativa (sumidouro). Este conceito é central para as leis de conservação na física, aparecendo na equação da continuidade, nas equações de Maxwell e na equação do calor.

Qual é a diferença entre divergência e rotacional?

Divergência e rotacional são ambos operadores diferenciais em campos vetoriais, mas medem coisas diferentes. A divergência (∇·F) mede expansão ou contração e produz um escalar. O rotacional (∇×F) mede a rotação ou circulação e produz um vetor. Um campo pode ter divergência diferente de zero, mas rotacional zero (como F = (x, y)), ou divergência zero, mas rotacional diferente de zero (como F = (−y, x)), ou ambos, ou nenhum.

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O Que é Divergência?

Significado Físico da Divergência

Fórmulas de Divergência e Sistemas de Coordenadas

Identidades Importantes Envolvendo Divergência

Aplicações da Divergência

Como Usar a Calculadora de Divergência

Exemplo Prático

FAQ

Cálculo:

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Frações e divisão

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Cálculo

Geometria e trigonometria

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Sistema de Coordenadas	Fórmula da Divergência
Cartesiano 2D	\(\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y}\)
Cartesiano 3D	\(\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z}\)
Cilíndrico	\(\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{1}{r}\frac{\partial(rF_r)}{\partial r} + \frac{1}{r}\frac{\partial F_\theta}{\partial \theta} + \frac{\partial F_z}{\partial z}\)
Esférico	\(\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{1}{r^2}\frac{\partial(r^2 F_r)}{\partial r} + \frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial(\sin\theta\, F_\theta)}{\partial \theta} + \frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial F_\phi}{\partial \phi}\)

Identidade	Fórmula
Linearidade	\(\nabla \cdot (a\mathbf{F} + b\mathbf{G}) = a(\nabla \cdot \mathbf{F}) + b(\nabla \cdot \mathbf{G})\)
Regra do produto (escalar × vetor)	\(\nabla \cdot (f\mathbf{F}) = f(\nabla \cdot \mathbf{F}) + \mathbf{F} \cdot (\nabla f)\)
Divergência do rotacional	\(\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf{F}) = 0\) (sempre)
Laplaciano	\(\nabla \cdot (\nabla f) = \nabla^2 f\) (divergência do gradiente = Laplaciano)
Teorema da divergência	\(\displaystyle\iiint_V (\nabla \cdot \mathbf{F})\,dV = \unicode{x222F}_S \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S}\)

Campo	Aplicação	O Que a Divergência Representa
Eletromagnetismo	Lei de Gauss	\(\nabla \cdot \mathbf{E} = \rho/\varepsilon_0\) — densidade de carga cria divergência no campo elétrico
Eletromagnetismo	Campo magnético	\(\nabla \cdot \mathbf{B} = 0\) — não existem monopolos magnéticos
Dinâmica de Fluidos	Equação da continuidade	\(\nabla \cdot \mathbf{v} = 0\) para fluxo incompressível
Transferência de Calor	Equação do calor	A divergência do fluxo de calor relaciona-se à mudança de temperatura
Relatividade Geral	Equações de campo de Einstein	Condição de livre divergência no tensor de energia-momento