Calculadora da Regra de Simpson

Aproxime integrais definidas usando a regra de Simpson 1/3, a regra 3/8 e a regra de Simpson composta. Apresenta visualização parabólica interativa, estimativa de erro, análise de convergência, comparação de métodos e soluções detalhadas passo a passo com MathJax.

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Calculadora da Regra de Simpson

A Calculadora da Regra de Simpson é uma poderosa ferramenta de integração numérica que aproxima integrais definidas ajustando curvas parabólicas (regra de 1/3) ou curvas cúbicas (regra de 3/8) através de pontos de amostragem. Diferente da regra do trapézio que usa linhas retas entre os pontos, a regra de Simpson captura a curvatura da função, entregando uma precisão de O(h⁴) — tornando-a um dos métodos mais utilizados em cálculo, engenharia e computação científica.

Recursos Principais

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Suporte a Regra Dupla

Escolha entre a regra de 1/3 de Simpson (interpolação quadrática, n par) e a regra de 3/8 (interpolação cúbica, n divisível por 3). Ambas são calculadas com soluções passo a passo completas em MathJax.

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Visualização Interativa

Veja os segmentos parabólicos desenhados sob a curva. Passe o mouse para destacar segmentos individuais e ver suas áreas. Anime a convergência ou use o controle deslizante para explorar diferentes valores de n.

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Comparação de Métodos

Compare automaticamente os resultados de 1/3 de Simpson, 3/8 de Simpson, trapézio e ponto médio lado a lado para a mesma função e limites. Veja qual método oferece a melhor aproximação.

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Análise de Erro

Cálculo automático do limite de erro usando a quarta derivada. A fórmula de erro $ |E_S| \leq \frac{(b-a)^5}{180n^4} \max|f^{(4)}| $ informa exatamente quão precisa é a sua aproximação.

Como usar a Calculadora da Regra de Simpson

Insira sua função — Digite uma expressão matemática f(x) como x^2, sin(x), exp(-x^2) ou qualquer combinação de funções suportadas.
Defina os limites de integração — Insira o limite inferior (a) e o limite superior (b), e escolha o número de subintervalos (n).
Escolha uma regra — Selecione a Regra de 1/3 de Simpson (requer n par, ajustado automaticamente se for ímpar) ou a Regra de 3/8 (requer n divisível por 3, ajustado automaticamente).
Clique em Calcular — A ferramenta computa a aproximação com uma solução passo a passo completa renderizada em MathJax.
Explore os resultados — Interaja com a visualização parabólica, revise as áreas de cada segmento, compare métodos e estude a análise de convergência.

Explicação da Regra de 1/3 de Simpson

A regra composta de 1/3 de Simpson divide [a, b] em n subintervalos iguais (n deve ser par) e ajusta uma parábola através de cada três pontos consecutivos:

$$S_n = \frac{\Delta x}{3} \left[ f(x_0) + 4f(x_1) + 2f(x_2) + 4f(x_3) + 2f(x_4) + \cdots + 4f(x_{n-1}) + f(x_n) \right]$$

onde $ \Delta x = \frac{b - a}{n} $. Os coeficientes seguem o padrão 1, 4, 2, 4, 2, ..., 4, 1. Cada par de subintervalos usa um polinômio quadrático que passa por três pontos, capturando a curvatura da função muito melhor do que a interpolação linear.

Explicação da Regra de 3/8 de Simpson

A regra de 3/8 usa interpolação cúbica sobre grupos de três subintervalos (n deve ser divisível por 3):

$$S_{3/8} = \frac{3\Delta x}{8} \left[ f(x_0) + 3f(x_1) + 3f(x_2) + 2f(x_3) + 3f(x_4) + \cdots + f(x_n) \right]$$

Os coeficientes seguem o padrão 1, 3, 3, 2, 3, 3, 2, ..., 3, 3, 1. Embora ambas as regras alcancem precisão de O(h⁴), a regra de 3/8 é útil quando n não é par.

Comparação de Erro

Método	Ordem do Erro	Limite de Erro	Exato Para
Trapézio	$ O(h^2) $	$ \frac{(b-a)^3}{12n^2} \max\|f''\| $	Funções lineares
1/3 de Simpson	$ O(h^4) $	$ \frac{(b-a)^5}{180n^4} \max\|f^{(4)}\| $	Cúbicas e inferiores
3/8 de Simpson	$ O(h^4) $	$ \frac{(b-a)^5}{80n^4} \max\|f^{(4)}\| $	Cúbicas e inferiores

Dobrar n reduz o erro da regra de Simpson em aproximadamente 16×, comparado a apenas 4× para a regra do trapézio. Isso faz com que a regra de Simpson convirja muito mais rápido para funções suaves.

Quando usar cada regra

Regra de 1/3 de Simpson — Melhor para a maioria das aplicações. Use quando n for par (ou puder ser tornado par). É a mais precisa por avaliação de função entre as três fórmulas básicas de Newton-Cotes.
Regra de 3/8 de Simpson — Use quando n for um múltiplo de 3, mas não par. Também é útil em fórmulas compostas ao combinar com a regra de 1/3 para lidar com contagens ímpares de subintervalos.
Regra do Trapézio — Prefira quando os dados tiverem espaçamento irregular, n for ímpar e pequeno, ou a simplicidade importar mais que a precisão. Também é melhor para funções com descontinuidades em derivadas superiores.

Funções Suportadas

Esta calculadora suporta uma ampla gama de funções matemáticas:

Polinômios: x^2, x^3 + 2x - 1, x^5 - 3x^3 + 2
Trigonométricas: sin(x), cos(x), tan(x), asin(x), acos(x)
Exponenciais/Logarítmicas: exp(x), ln(x), log(x)
Raízes: sqrt(x)
Constantes: pi, e
Combinações: sin(x)*exp(-x), x^2/(1+x^2), sqrt(1+x^3)

Perguntas Frequentes

O que é a regra de Simpson?

A regra de Simpson é um método de integração numérica que aproxima integrais definidas ajustando parábolas (ou curvas cúbicas) através de pontos de amostragem. É significativamente mais precisa que a regra do trapézio para funções suaves, com um erro de ordem O(h⁴) comparado a O(h²).

Qual é a diferença entre as regras de 1/3 e 3/8 de Simpson?

A regra de 1/3 de Simpson usa interpolação quadrática (parabólica) sobre pares de subintervalos e requer um número par de subintervalos. A regra de 3/8 de Simpson usa interpolação cúbica sobre trios de subintervalos e requer n divisível por 3. A regra de 1/3 é geralmente mais precisa para o mesmo n, mas a regra de 3/8 é útil quando n não é par.

Por que a regra de 1/3 de Simpson requer um número par de subintervalos?

A regra de 1/3 de Simpson funciona ajustando uma parábola através de três pontos consecutivos (dois subintervalos por vez). Como cada segmento parabólico abrange exatamente 2 subintervalos, o número total de subintervalos deve ser par para uma cobertura completa.

Quão precisa é a regra de Simpson comparada à regra do trapézio?

A regra de 1/3 de Simpson tem um erro de O(h⁴), enquanto a regra do trapézio tem O(h²). Isso significa que dobrar o número de subintervalos reduz o erro de Simpson em cerca de 16 vezes, comparado a apenas 4 vezes para a regra do trapézio. Para funções suaves, a regra de Simpson é significativamente mais precisa.

Quais funções posso inserir na calculadora?

Você pode inserir polinômios como x^2 ou x^3-2x+1, funções trigonométricas como sin(x) e cos(x), funções exponenciais e logarítmicas como exp(x) e ln(x), raízes como sqrt(x) e combinações. As constantes pi e e também são suportadas. Use ^ para expoentes e notação de função padrão.

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"Calculadora da Regra de Simpson" em https://MiniWebtool.com/br/calculadora-da-regra-de-simpson/ de MiniWebtool, https://MiniWebtool.com/

pela equipe miniwebtool. Atualizado em: 2026-04-05

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Recursos Principais

Como usar a Calculadora da Regra de Simpson

Explicação da Regra de 1/3 de Simpson

Explicação da Regra de 3/8 de Simpson

Comparação de Erro

Quando usar cada regra

Funções Suportadas

Perguntas Frequentes

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Cálculo:

Ferramentas em destaque:

Método	Ordem do Erro	Limite de Erro	Exato Para
Trapézio	\( O(h^2) \)	\( \frac{(b-a)^3}{12n^2} \max\|f''\| \)	Funções lineares
1/3 de Simpson	\( O(h^4) \)	\( \frac{(b-a)^5}{180n^4} \max\|f^{(4)}\| \)	Cúbicas e inferiores
3/8 de Simpson	\( O(h^4) \)	\( \frac{(b-a)^5}{80n^4} \max\|f^{(4)}\| \)	Cúbicas e inferiores