Kalkulator Dekomposisi Cholesky

Tentang Kalkulator Dekomposisi Cholesky

Kalkulator Dekomposisi Cholesky memfaktorkan matriks simetris definit positif A menjadi produk dari matriks segitiga bawah L dan transposnya Lᵀ, sehingga A = LLᵀ. Faktorisasi ini sangat mendasar dalam aljabar linier numerik, menawarkan sekitar dua kali lipat efisiensi dari dekomposisi LU umum dengan memanfaatkan simetri dan sifat definit positif dari matriks input. Kalkulator ini menyediakan turunan langkah-demi-langkah animasi, penyorotan sel interaktif, dan verifikasi otomatis bahwa LLᵀ merekonstruksi A.

Cara Kerja Dekomposisi Cholesky

Diberikan matriks simetris definit positif A berukuran n×n, algoritma menghitung L kolom demi kolom. Untuk setiap kolom j:

Elemen diagonal:

$$L_{jj} = \sqrt{A_{jj} - \sum_{k=1}^{j-1} L_{jk}^2}$$

Elemen non-diagonal (untuk i > j):

$$L_{ij} = \frac{1}{L_{jj}} \left( A_{ij} - \sum_{k=1}^{j-1} L_{ik} L_{jk} \right)$$

Algoritma berjalan dari kiri ke kanan melintasi kolom. Setiap elemen diagonal melibatkan akar kuadrat, yang dijamin bernilai riil dan positif ketika A bersifat definit positif. Jika nilai negatif muncul di bawah akar kuadrat, matriks tersebut tidak definit positif.

Kondisi untuk Dekomposisi Cholesky

Properti Utama

Cara Menggunakan Kalkulator Dekomposisi Cholesky

1. Pilih ukuran matriks — Pilih dari 2×2 hingga 6×6. Dekomposisi Cholesky memerlukan matriks persegi.
2. Masukkan nilai — Isi sel matriks. Kalkulator secara otomatis menyalin entri secara simetris (mengedit A[i,j] secara otomatis mengatur A[j,i]).
3. Klik Dekomposisi — Tekan tombol "Dekomposisi A = LLᵀ" untuk menghitung faktorisasi.
4. Jelajahi hasil — Tinjau persamaan berkode warna A = L × Lᵀ. Klik sel mana saja di L untuk melihat rumus turunannya. Gunakan "Putar Semua" untuk melihat langkah setiap elemen secara otomatis.
5. Verifikasi — Kalkulator mengalikan L × Lᵀ kembali dan melaporkan kesalahan maksimum, mengonfirmasi bahwa dekomposisi sudah benar.

Aplikasi di Dunia Nyata

Cholesky vs Dekomposisi Lainnya

Pertanyaan yang Sering Diajukan

Apa itu dekomposisi Cholesky?

Dekomposisi Cholesky (dinamai sesuai Andre-Louis Cholesky) memfaktorkan matriks simetris definit positif A menjadi A = LLᵀ, di mana L adalah matriks segitiga bawah dengan entri diagonal positif. Ini adalah salah satu faktorisasi matriks yang paling efisien dan stabil secara numerik.

Kapan dekomposisi Cholesky dapat diterapkan?

Matriks harus simetris (A = Aᵀ) dan definit positif (semua nilai eigen benar-benar positif, atau setara, xᵀAx > 0 untuk setiap vektor bukan nol x). Contoh umum meliputi matriks kovarians, matriks korelasi, matriks Gram (XᵀX untuk X pangkat penuh), dan matriks kekakuan dalam teknik struktural.

Bagaimana jika matriks saya tidak definit positif?

Jika matriks tidak definit positif, Anda akan menemui nilai negatif di bawah akar kuadrat selama dekomposisi, yang bukan merupakan bilangan riil. Kalkulator akan melaporkan kesalahan yang menunjukkan dengan tepat langkah diagonal mana yang gagal. Anda mungkin perlu memeriksa kesalahan simetri pada matriks Anda, atau mempertimbangkan dekomposisi LDLᵀ untuk matriks semi-definit positif.

Bagaimana dekomposisi Cholesky digunakan untuk menyelesaikan sistem linier?

Untuk menyelesaikan Ax = b, pertama-tama lakukan dekomposisi A = LLᵀ. Kemudian selesaikan Ly = b dengan substitusi maju (karena L adalah segitiga bawah), lalu selesaikan Lᵀx = y dengan substitusi mundur. Ini sekitar dua kali lebih cepat daripada penyelesaian melalui dekomposisi LU karena L dan Lᵀ berbagi data yang sama.

Apa hubungan antara Cholesky dan determinan?

Karena A = LLᵀ, kita memiliki det(A) = det(L) × det(Lᵀ) = det(L)². Dan karena L adalah matriks segitiga, det(L) hanyalah hasil kali dari entri-entri diagonalnya. Ini memberikan cara yang efisien untuk menghitung determinan matriks definit positif.

Dapatkah dekomposisi Cholesky diterapkan pada matriks kompleks?

Ya, untuk matriks kompleks kondisinya adalah A harus bersifat Hermite definit positif (A = A*, di mana A* adalah transpos konjugasi). Dekomposisi menjadi A = LLᵀ di mana Lᵀ diganti dengan L* (transpos konjugasi dari L). Kalkulator ini menangani matriks bernilai riil.