Máy Tính cURL

Tính toán curl ∇×F của bất kỳ trường vector 2D hoặc 3D nào với phần khai triển định thức tích có hướng từng bước. Nhập các hàm thành phần P, Q (và R cho 3D), nhận curl dưới dạng biểu thức, đánh giá tại một điểm, xác định các trường không xoáy và xem hình ảnh trực quan trường vector tương tác với lớp phủ độ xoáy (vorticity).

Máy Tính cURL

Embed Máy Tính cURL Widget

Giới thiệu về Máy Tính cURL

Máy tính Curl tính toán curl ∇×F của bất kỳ trường vectơ 2D hoặc 3D nào với phần khai triển định thức tích có hướng đầy đủ từng bước. Nhập các thành phần trường vectơ của bạn P, Q (và R cho 3D), tùy chọn đánh giá tại một điểm cụ thể và nhận curl ký hiệu, phân loại vòng quay và đối với các trường 2D, một hình ảnh trực quan tương tác với bản đồ nhiệt độ xoáy và dòng hạt hoạt hình hiển thị hành vi xoay của trường.

Curl là gì?

Curl của một trường vectơ $\mathbf{F}$ đo lường vòng quay vô cùng bé của trường tại mỗi điểm. Đối với trường 3D $\mathbf{F} = \langle P, Q, R \rangle$, curl được tính dưới dạng tích có hướng:

$$\nabla \times \mathbf{F} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ P & Q & R \end{vmatrix}$$

Khai triển định thức ta được vectơ curl:

$$\nabla \times \mathbf{F} = \left\langle \frac{\partial R}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial z},\; \frac{\partial P}{\partial z} - \frac{\partial R}{\partial x},\; \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right\rangle$$

Đối với trường 2D $\mathbf{F} = \langle P, Q \rangle$, curl rút gọn thành đại lượng vô hướng $\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}$, đại diện cho vòng quay trong mặt phẳng xy.

Ý nghĩa vật lý của Curl

↺

Xoay CCW (curl > 0)

Một bánh xe nhỏ đặt ở đây sẽ quay ngược chiều kim đồng hồ. Trường lưu thông theo hướng dương.

↻

Xoay CW (curl < 0)

Một bánh xe nhỏ đặt ở đây sẽ quay cùng chiều kim đồng hồ. Trường lưu thông theo hướng âm.

⊘

Không xoáy (curl = 0)

Không có vòng quay thuần — trường là bảo toàn. Tồn tại một hàm thế năng φ với F = ∇φ.

♻

Định lý Stokes

Tích phân mặt của curl bằng tích phân đường quanh biên: lưu thông = tổng vòng quay.

Công thức Curl trong các hệ tọa độ khác nhau

Hệ tọa độ	Công thức Curl
Descartes 2D	$\text{curl}\,\mathbf{F} = \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}$ (vô hướng)
Descartes 3D	$\nabla \times \mathbf{F} = \left\langle \frac{\partial R}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial z},\; \frac{\partial P}{\partial z} - \frac{\partial R}{\partial x},\; \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right\rangle$
Trụ	$\nabla \times \mathbf{F} = \left\langle \frac{1}{r}\frac{\partial F_z}{\partial \theta} - \frac{\partial F_\theta}{\partial z},\; \frac{\partial F_r}{\partial z} - \frac{\partial F_z}{\partial r},\; \frac{1}{r}\frac{\partial(rF_\theta)}{\partial r} - \frac{1}{r}\frac{\partial F_r}{\partial \theta} \right\rangle$
Cầu	Xem khai triển đầy đủ bằng cách sử dụng các hệ số tỉ lệ $h_r=1, h_\theta=r, h_\phi=r\sin\theta$

Các đồng nhất thức quan trọng liên quan đến Curl

Đồng nhất thức	Công thức
Curl của gradient	$\nabla \times (\nabla f) = \mathbf{0}$ (luôn bằng không — các gradient là không xoáy)
Độ phân kỳ của curl	$\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf{F}) = 0$ (luôn bằng không — các curl là solenoidal)
Tính tuyến tính	$\nabla \times (a\mathbf{F} + b\mathbf{G}) = a(\nabla \times \mathbf{F}) + b(\nabla \times \mathbf{G})$
Quy tắc tích	$\nabla \times (f\mathbf{F}) = f(\nabla \times \mathbf{F}) + (\nabla f) \times \mathbf{F}$
Định lý Stokes	$\displaystyle\iint_S (\nabla \times \mathbf{F}) \cdot d\mathbf{S} = \oint_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r}$

Ứng dụng của Curl

Trường	Ứng dụng	Curl đại diện cho điều gì
Điện từ học	Định luật Faraday	$\nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}$ — từ trường thay đổi tạo ra điện trường xoáy
Điện từ học	Định luật Ampere	$\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \mathbf{J}$ — dòng điện tạo ra từ trường xoáy
Động lực học chất lưu	Độ xoáy (Vorticity)	$\boldsymbol{\omega} = \nabla \times \mathbf{v}$ — đo lường cách chất lưu quay cục bộ
Cơ học	Vận tốc góc	Đối với vòng quay vật rắn $\mathbf{v} = \boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r}$, curl cho $2\boldsymbol{\omega}$
Trường bảo toàn	Tính độc lập đường đi	Nếu $\nabla \times \mathbf{F} = 0$, tích phân đường độc lập với đường đi và tồn tại một hàm thế

Cách sử dụng Máy tính Curl

Chọn số chiều: Chọn 2D cho các trường F = ⟨P, Q⟩ (curl vô hướng) hoặc 3D cho F = ⟨P, Q, R⟩ (curl vectơ) bằng cách sử dụng các nút chuyển đổi.
Nhập các hàm thành phần: Nhập từng hàm thành phần (P, Q và tùy chọn R) bằng ký hiệu tiêu chuẩn. Sử dụng ^ cho lũy thừa, * cho phép nhân và các hàm như sin(x), cos(y), exp(x), ln(x), sqrt(x). Phép nhân ẩn được hỗ trợ (ví dụ: 2x = 2*x).
Nhập một điểm đánh giá (tùy chọn): Cung cấp các tọa độ cách nhau bởi dấu phẩy để đánh giá curl bằng số và phân loại hướng quay.
Nhấp vào Tính toán Curl: Xem curl ký hiệu, khai triển định thức tích có hướng từng bước, đánh giá số và phân loại vòng quay.
Khám phá hình ảnh trực quan: Đối với các trường 2D, hãy xem các mũi tên trường vectơ với bản đồ nhiệt độ xoáy (cam = ngược chiều kim đồng hồ, tím = cùng chiều kim đồng hồ) và dòng hạt hoạt hình.

Ví dụ minh họa

Tìm curl của $\mathbf{F}(x, y, z) = \langle y z,\; x z,\; x y \rangle$ tại điểm $(1, 2, 3)$:

Bước 1: Viết định thức: $\nabla \times \mathbf{F} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ \partial_x & \partial_y & \partial_z \\ yz & xz & xy \end{vmatrix}$

Bước 2: Khai triển: $\mathbf{i}(x - x) - \mathbf{j}(y - y) + \mathbf{k}(z - z) = \langle 0, 0, 0 \rangle$

Bước 3: Curl bằng không hoàn toàn — trường này là không xoáy (bảo toàn). Trên thực tế, $\mathbf{F} = \nabla(xyz)$, xác nhận sự tồn tại của hàm thế.

Curl so với Độ phân kỳ (Divergence)

Thuộc tính	Curl (∇×F)	Độ phân kỳ (∇·F)
Loại toán tử	Tích có hướng với ∇	Tích vô hướng với ∇
Kết quả	Vectơ (3D) / Vô hướng (2D)	Vô hướng
Số đo	Vòng quay / lưu thông	Giãn nở / co lại
Bằng không nghĩa là	Không xoáy / bảo toàn	Solenoidal / không nén được
Định lý	Định lý Stokes	Định lý phân kỳ (Gauss)

Câu hỏi thường gặp

Curl của một trường vectơ là gì?

Curl của một trường vectơ đo lường xu hướng xoay hoặc lưu thông tại mỗi điểm. Đối với trường 3D F = (P, Q, R), curl là một vectơ được tính thông qua tích có hướng của toán tử nabla với F: ∇×F = (∂R/∂y − ∂Q/∂z, ∂P/∂z − ∂R/∂x, ∂Q/∂x − ∂P/∂y). Curl dương biểu thị sự quay ngược chiều kim đồng hồ, âm biểu thị sự quay cùng chiều kim đồng hồ.

Làm thế nào để tính curl?

Để tính curl của một trường vectơ 3D, hãy thiết lập một định thức 3×3 với các vectơ đơn vị i, j, k ở hàng đầu tiên, các toán tử đạo hàm riêng ∂/∂x, ∂/∂y, ∂/∂z ở hàng thứ hai và các thành phần trường P, Q, R ở hàng thứ ba. Khai triển định thức bằng cách sử dụng khai triển phần bù đại số dọc theo hàng đầu tiên để có được từng thành phần của vectơ curl.

Điều đó có nghĩa là gì khi curl bằng không?

Khi curl bằng không ở mọi nơi, trường vectơ được gọi là không xoáy hoặc bảo toàn. Điều này có nghĩa là tồn tại một hàm thế vô hướng φ sao cho F = ∇φ, và tích phân đường của F quanh bất kỳ vòng kín nào cũng bằng không. Trường trọng lực và trường tĩnh điện là những ví dụ về trường không xoáy.

Sự khác biệt giữa curl và độ phân kỳ là gì?

Curl đo lường sự xoay và tạo ra một vectơ (trong 3D), trong khi độ phân kỳ đo lường sự giãn nở hoặc co lại và tạo ra một đại lượng vô hướng. Curl sử dụng tích có hướng của nabla với F (∇×F), trong khi độ phân kỳ sử dụng tích vô hướng (∇·F). Một trường có thể có curl khác không nhưng độ phân kỳ bằng không (như F = (−y, x, 0)), hoặc curl bằng không nhưng độ phân kỳ khác không (như F = (x, y, z)).

Ý nghĩa vật lý của curl là gì?

Về mặt vật lý, curl đo lường xu hướng của một trường vectơ lưu thông hoặc quay quanh một điểm. Hãy tưởng tượng việc đặt một bánh xe nhỏ trong một dòng chất lưu — curl cho bạn biết bánh xe đó sẽ quay nhanh như thế nào và theo hướng nào. Trong điện từ học, curl xuất hiện trong định luật Faraday (từ trường thay đổi tạo ra điện trường xoáy) và định luật Ampere (dòng điện tạo ra từ trường xoáy). Trong động lực học chất lưu, curl của vận tốc được gọi là độ xoáy.

Tham khảo nội dung, trang hoặc công cụ này như sau:

"Máy Tính cURL" tại https://MiniWebtool.com/vi// từ MiniWebtool, https://MiniWebtool.com/

bởi đội ngũ MiniWebtool. Cập nhật: 2026-04-08

Bạn cũng có thể thử AI Giải Toán GPT của chúng tôi để giải quyết các vấn đề toán học của bạn thông qua câu hỏi và trả lời bằng ngôn ngữ tự nhiên.

Hệ tọa độ	Công thức Curl
Descartes 2D	\(\text{curl}\,\mathbf{F} = \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\) (vô hướng)
Descartes 3D	\(\nabla \times \mathbf{F} = \left\langle \frac{\partial R}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial z},\; \frac{\partial P}{\partial z} - \frac{\partial R}{\partial x},\; \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right\rangle\)
Trụ	\(\nabla \times \mathbf{F} = \left\langle \frac{1}{r}\frac{\partial F_z}{\partial \theta} - \frac{\partial F_\theta}{\partial z},\; \frac{\partial F_r}{\partial z} - \frac{\partial F_z}{\partial r},\; \frac{1}{r}\frac{\partial(rF_\theta)}{\partial r} - \frac{1}{r}\frac{\partial F_r}{\partial \theta} \right\rangle\)
Cầu	Xem khai triển đầy đủ bằng cách sử dụng các hệ số tỉ lệ \(h_r=1, h_\theta=r, h_\phi=r\sin\theta\)

Đồng nhất thức	Công thức
Curl của gradient	\(\nabla \times (\nabla f) = \mathbf{0}\) (luôn bằng không — các gradient là không xoáy)
Độ phân kỳ của curl	\(\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf{F}) = 0\) (luôn bằng không — các curl là solenoidal)
Tính tuyến tính	\(\nabla \times (a\mathbf{F} + b\mathbf{G}) = a(\nabla \times \mathbf{F}) + b(\nabla \times \mathbf{G})\)
Quy tắc tích	\(\nabla \times (f\mathbf{F}) = f(\nabla \times \mathbf{F}) + (\nabla f) \times \mathbf{F}\)
Định lý Stokes	\(\displaystyle\iint_S (\nabla \times \mathbf{F}) \cdot d\mathbf{S} = \oint_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r}\)

Trường	Ứng dụng	Curl đại diện cho điều gì
Điện từ học	Định luật Faraday	\(\nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}\) — từ trường thay đổi tạo ra điện trường xoáy
Điện từ học	Định luật Ampere	\(\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \mathbf{J}\) — dòng điện tạo ra từ trường xoáy
Động lực học chất lưu	Độ xoáy (Vorticity)	\(\boldsymbol{\omega} = \nabla \times \mathbf{v}\) — đo lường cách chất lưu quay cục bộ
Cơ học	Vận tốc góc	Đối với vòng quay vật rắn \(\mathbf{v} = \boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r}\), curl cho \(2\boldsymbol{\omega}\)
Trường bảo toàn	Tính độc lập đường đi	Nếu \(\nabla \times \mathbf{F} = 0\), tích phân đường độc lập với đường đi và tồn tại một hàm thế

Máy Tính cURL

Giới thiệu về Máy Tính cURL

Curl là gì?

Ý nghĩa vật lý của Curl

Công thức Curl trong các hệ tọa độ khác nhau

Các đồng nhất thức quan trọng liên quan đến Curl

Ứng dụng của Curl

Cách sử dụng Máy tính Curl

Ví dụ minh họa

Curl so với Độ phân kỳ (Divergence)

Câu hỏi thường gặp

Công cụ nổi bật: