旋度計算機

計算任何 2D 或 3D 向量場的旋度 ∇×F，提供逐步的外積行列式展開。輸入分量函數 P、Q（以及 3D 的 R），獲取符號旋度、在特定點求值、識別無旋場，並查看帶有渦量疊加層的互動式向量場視覺化。

旋度計算機

這款旋度計算機可以計算任何 2D 或 3D 向量場的旋度 ∇×F，並提供完整的外積行列式展開步驟。輸入您的向量場分量 P, Q（3D 場則增加 R），可選擇在特定點進行評估，即可獲得符號形式的旋度、旋轉分類。對於 2D 場，還提供了帶有渦度熱圖和動畫粒子流的互動式視覺化，展示場的旋轉行為。

什麼是旋度？

向量場 $\mathbf{F}$ 的旋度衡量場中每一點的無窮小旋轉。對於 3D 場 $\mathbf{F} = \langle P, Q, R \rangle$，旋度是透過外積計算的：

$$\nabla \times \mathbf{F} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ P & Q & R \end{vmatrix}$$

展開行列式即可得到旋度向量：

$$\nabla \times \mathbf{F} = \left\langle \frac{\partial R}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial z},\; \frac{\partial P}{\partial z} - \frac{\partial R}{\partial x},\; \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right\rangle$$

對於 2D 場 $\mathbf{F} = \langle P, Q \rangle$，旋度簡化為純量 $\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}$，代表 xy 平面上的旋轉。

旋度的物理意義

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逆時針旋轉 (旋度 > 0)

放置在該點的小葉輪會逆時針旋轉。場沿正方向循環。

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順時針旋轉 (旋度 < 0)

放置在該點的小葉輪會順時針旋轉。場沿負方向循環。

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無旋 (旋度 = 0)

無淨旋轉 — 此場為保守場。存在位能函數 φ 使得 F = ∇φ。

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斯托克斯定理 (Stokes' Theorem)

旋度的面積分等於邊界的線積分：循環量 = 總旋轉量。

不同座標系中的旋度公式

座標系	旋度公式
笛卡爾 2D	$\text{curl}\,\mathbf{F} = \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}$ (純量)
笛卡爾 3D	$\nabla \times \mathbf{F} = \left\langle \frac{\partial R}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial z},\; \frac{\partial P}{\partial z} - \frac{\partial R}{\partial x},\; \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right\rangle$
柱座標	$\nabla \times \mathbf{F} = \left\langle \frac{1}{r}\frac{\partial F_z}{\partial \theta} - \frac{\partial F_\theta}{\partial z},\; \frac{\partial F_r}{\partial z} - \frac{\partial F_z}{\partial r},\; \frac{1}{r}\frac{\partial(rF_\theta)}{\partial r} - \frac{1}{r}\frac{\partial F_r}{\partial \theta} \right\rangle$
球座標	參見使用比例因子 $h_r=1, h_\theta=r, h_\phi=r\sin\theta$ 的完整展開式

涉及旋度的重要恆等式

恆等式	公式
梯度的旋度	$\nabla \times (\nabla f) = \mathbf{0}$ (恆為零 — 梯度場是無旋的)
旋度的散度	$\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf{F}) = 0$ (恆為零 — 旋度場是螺線管場)
線性性質	$\nabla \times (a\mathbf{F} + b\mathbf{G}) = a(\nabla \times \mathbf{F}) + b(\nabla \times \mathbf{G})$
乘法法則	$\nabla \times (f\mathbf{F}) = f(\nabla \times \mathbf{F}) + (\nabla f) \times \mathbf{F}$
斯托克斯定理	$\displaystyle\iint_S (\nabla \times \mathbf{F}) \cdot d\mathbf{S} = \oint_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r}$

旋度的應用

領域	應用	旋度代表的意義
電磁學	法拉第定律	$\nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}$ — 變化的磁場產生循環電場
電磁學	安培定律	$\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \mathbf{J}$ — 電流產生循環磁場
流體力學	渦度	$\boldsymbol{\omega} = \nabla \times \mathbf{v}$ — 衡量流體在局部的旋轉情況
力學	角速度	對於剛體旋轉 $\mathbf{v} = \boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r}$，旋度等於 $2\boldsymbol{\omega}$
保守場	路徑獨立性	如果 $\nabla \times \mathbf{F} = 0$，則線積分與路徑無關，且存在位能

如何使用旋度計算機

選擇維度： 使用切換按鈕選擇 2D 場 F = ⟨P, Q⟩（純量旋度）或 3D 場 F = ⟨P, Q, R⟩（向量旋度）。
輸入分量函數： 使用標準記法輸入每個分量函數（P、Q，以及可選的 R）。使用 ^ 表示指數，* 表示乘法，並可使用 sin(x), cos(y), exp(x), ln(x), sqrt(x) 等函數。支援隱式乘法（例如 2x = 2*x）。
輸入評估點（可選）： 提供以逗號分隔的座標，以數值化評估旋度並分類旋轉方向。
點擊「計算旋度」： 查看符號形式旋度、逐步的外積行列式展開、數值評估及旋轉分類。
探索視覺化： 對於 2D 場，可以查看帶有渦度熱圖（橙色 = 逆時針，紫色 = 順時針）和動畫粒子流的向量場箭頭圖。

解題範例

求向量場 $\mathbf{F}(x, y, z) = \langle y z,\; x z,\; x y \rangle$ 在點 $(1, 2, 3)$ 處的旋度：

第 1 步： 寫出行列式： $\nabla \times \mathbf{F} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ \partial_x & \partial_y & \partial_z \\ yz & xz & xy \end{vmatrix}$

第 2 步： 展開：$\mathbf{i}(x - x) - \mathbf{j}(y - y) + \mathbf{k}(z - z) = \langle 0, 0, 0 \rangle$

第 3 步： 旋度恆為零 — 該場為無旋場（保守場）。事實上，$\mathbf{F} = \nabla(xyz)$，證實了位能函數的存在。

旋度 vs. 散度

屬性	旋度 (∇×F)	散度 (∇·F)
運算子類型	與 ∇ 的外積	與 ∇ 的內積
輸出	向量 (3D) / 純量 (2D)	純量
衡量	旋轉 / 循環	擴張 / 收縮
值為零代表	無旋 / 保守	無散 / 不可壓縮
定理	斯托克斯定理	散度（高斯）定理

常見問題 (FAQ)

什麼是向量場的旋度？

向量場的旋度衡量每一點的旋轉或循環傾向。對於 3D 場 F = (P, Q, R)，旋度是透過 Nabla 運算子與 F 的外積計算出的向量：∇×F = (∂R/∂y − ∂Q/∂z, ∂P/∂z − ∂R/∂x, ∂Q/∂x − ∂P/∂y)。正旋度表示逆時針旋轉，負旋度表示順時針旋轉。

如何計算旋度？

要計算 3D 向量場的旋度，請建立一個 3×3 行列式：第一行為單位向量 i, j, k，第二行為偏導數運算子 ∂/∂x, ∂/∂y, ∂/∂z，第三行為場分量 P, Q, R。沿第一行進行餘因子展開，即可得到旋度向量的各個分量。

旋度為零代表什麼？

當旋度處處為零時，該向量場被稱為無旋場或保守場。這意味著存在一個純量位能函數 φ，使得 F = ∇φ，且 F 繞任何閉合迴路的線積分為零。重力場和靜電場都是無旋場的例子。

旋度與散度有什麼區別？

旋度衡量旋轉並產生一個向量（在 3D 中），而散度衡量擴張或收縮並產生一個純量。旋度使用 Nabla 與 F 的外積 (∇×F)，而散度使用內積 (∇·F)。一個場可以有非零旋度但零散度（如 F = (−y, x, 0)），或零旋度但非零散度（如 F = (x, y, z)）。

旋度的物理意義是什麼？

在物理上，旋度衡量向量場繞某一點循環或旋轉的傾向。想像在流體中放置一個微小的葉輪 — 旋度會告訴你葉輪旋轉的速度和方向。在電磁學中，旋度出現在法拉第定律（變化的磁場產生循環電場）和安培定律（電流產生循環磁場）中。在流體力學中，速度的旋度稱為渦度。

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