旋度计算器

通过分步展开叉乘行列式，计算任何 2D 或 3D 向量场的旋度 ∇×F。输入分量函数 P、Q（以及 3D 的 R），获取符号旋度，在特定点求值，识别无旋场，并查看带有涡度叠加层的交互式向量场可视化。

旋度计算器

旋度计算器可以计算任何 2D 或 3D 向量场的旋度 ∇×F，并提供完整的叉积行列式逐步展开过程。输入您的向量场分量 P、Q（以及 3D 的 R），还可以在特定点进行数值计算。您将获得符号旋度、旋转分类，对于 2D 场，还提供带有涡度热图和粒子流动画的交互式可视化，直观展示场的旋转行为。

什么是旋度？

向量场 $\mathbf{F}$ 的旋度衡量了场在每个点处的无穷小旋转程度。对于 3D 场 $\mathbf{F} = \langle P, Q, R \rangle$，旋度通过叉积计算：

$$\nabla \times \mathbf{F} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ P & Q & R \end{vmatrix}$$

展开行列式可得到旋度向量：

$$\nabla \times \mathbf{F} = \left\langle \frac{\partial R}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial z},\; \frac{\partial P}{\partial z} - \frac{\partial R}{\partial x},\; \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right\rangle$$

对于 2D 场 $\mathbf{F} = \langle P, Q \rangle$，旋度简化为标量 $\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}$，它代表了 xy 平面内的旋转。

旋度的物理意义

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逆时针旋转 (旋度 > 0)

放置在此处的小叶轮会逆时针旋转。场沿正方向循环。

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顺时针旋转 (旋度 < 0)

放置在此处的小叶轮会顺时针旋转。场沿负方向循环。

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无旋 (旋度 = 0)

没有净旋转 — 该场是保守场。存在势函数 φ 满足 F = ∇φ。

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斯托克斯定理

旋度的面积分等于沿边界的线积分：环流 = 总旋转。

不同坐标系下的旋度公式

坐标系	旋度公式
直角坐标系 2D	$\text{curl}\,\mathbf{F} = \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}$ (标量)
直角坐标系 3D	$\nabla \times \mathbf{F} = \left\langle \frac{\partial R}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial z},\; \frac{\partial P}{\partial z} - \frac{\partial R}{\partial x},\; \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right\rangle$
柱坐标系	$\nabla \times \mathbf{F} = \left\langle \frac{1}{r}\frac{\partial F_z}{\partial \theta} - \frac{\partial F_\theta}{\partial z},\; \frac{\partial F_r}{\partial z} - \frac{\partial F_z}{\partial r},\; \frac{1}{r}\frac{\partial(rF_\theta)}{\partial r} - \frac{1}{r}\frac{\partial F_r}{\partial \theta} \right\rangle$
球坐标系	参见使用比例因子 $h_r=1, h_\theta=r, h_\phi=r\sin\theta$ 的完整展开式

涉及旋度的重要恒等式

恒等式	公式
梯度的旋度	$\nabla \times (\nabla f) = \mathbf{0}$ (始终为零 — 梯度场是无旋的)
旋度的散度	$\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf{F}) = 0$ (始终为零 — 旋度场是无源的)
线性	$\nabla \times (a\mathbf{F} + b\mathbf{G}) = a(\nabla \times \mathbf{F}) + b(\nabla \times \mathbf{G})$
乘法法则	$\nabla \times (f\mathbf{F}) = f(\nabla \times \mathbf{F}) + (\nabla f) \times \mathbf{F}$
斯托克斯定理	$\displaystyle\iint_S (\nabla \times \mathbf{F}) \cdot d\mathbf{S} = \oint_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r}$

旋度的应用

领域	应用	旋度代表的意义
电磁学	法拉第定律	$\nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}$ — 变化的磁场产生感生电场
电磁学	安培定律	$\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \mathbf{J}$ — 电流产生环绕磁场
流体动力学	涡度	$\boldsymbol{\omega} = \nabla \times \mathbf{v}$ — 衡量流体局部的旋转速度
力学	角速度	对于刚体旋转 $\mathbf{v} = \boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r}$，旋度给出 $2\boldsymbol{\omega}$
保守场	路径无关性	如果 $\nabla \times \mathbf{F} = 0$，则线积分与路径无关，且存在势函数

如何使用旋度计算器

选择维度： 使用切换按钮选择 2D 场 F = ⟨P, Q⟩（标量旋度）或 3D 场 F = ⟨P, Q, R⟩（向量旋度）。
输入分量函数： 使用标准记法输入每个分量函数（P、Q 以及可选的 R）。使用 ^ 表示指数，* 表示乘法，支持 sin(x)、cos(y)、exp(x)、ln(x)、sqrt(x) 等函数。支持隐式乘法（例如 2x = 2*x）。
输入计算点（可选）： 提供以逗号分隔的坐标，以便进行数值旋度计算并分类旋转方向。
点击“计算旋度”： 查看符号旋度结果、叉积行列式逐步展开过程、数值计算结果和旋转分类。
探索可视化： 对于 2D 场，查看带有涡度热图（橙色 = 逆时针，紫色 = 顺时针）的向量场箭头和粒子流动画。

示例解析

求向量场 $\mathbf{F}(x, y, z) = \langle y z,\; x z,\; x y \rangle$ 在点 $(1, 2, 3)$ 处的旋度：

第 1 步： 写出行列式： $\nabla \times \mathbf{F} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ \partial_x & \partial_y & \partial_z \\ yz & xz & xy \end{vmatrix}$

第 2 步： 展开：$\mathbf{i}(x - x) - \mathbf{j}(y - y) + \mathbf{k}(z - z) = \langle 0, 0, 0 \rangle$

第 3 步： 旋度恒为零 — 该场是无旋的（保守场）。实际上，$\mathbf{F} = \nabla(xyz)$，证实了势函数的存在。

旋度 vs. 散度

属性	旋度 (∇×F)	散度 (∇·F)
算子类型	与 ∇ 的叉积	与 ∇ 的点积
输出	向量 (3D) / 标量 (2D)	标量
衡量指标	旋转 / 环流	膨胀 / 收缩
结果为零意味着	无旋 / 保守	无源 / 不可压缩
相关定理	斯托克斯定理	散度（高斯）定理

常见问题解答

什么是向量场的旋度？

向量场的旋度衡量每个点处的旋转或环流倾向。对于 3D 场 F = (P, Q, R)，旋度是通过 Nabla 算子与 F 的叉积计算出的向量：∇×F = (∂R/∂y − ∂Q/∂z, ∂P/∂z − ∂R/∂x, ∂Q/∂x − ∂P/∂y)。正旋度表示逆时针旋转，负旋度表示顺时针旋转。

如何计算旋度？

要计算 3D 向量场的旋度，需要建立一个 3×3 行列式：第一行为单位向量 i, j, k，第二行为偏导数算子 ∂/∂x, ∂/∂y, ∂/∂z，第三行为场分量 P, Q, R。沿第一行使用代数余子式展开行列式，即可得到旋度向量的各个分量。

旋度为零意味着什么？

当旋度处处为零时，该向量场被称为无旋场或保守场。这意味着存在一个标量势函数 φ 使得 F = ∇φ，且 F 沿任何闭合回路的线积分为零。引力场和静电场是无旋场的典型例子。

旋度和散度有什么区别？

旋度衡量旋转并产生一个向量（在 3D 中），而散度衡量膨胀或收缩并产生一个标量。旋度使用 Nabla 与 F 的叉积 (∇×F)，而散度使用点积 (∇·F)。一个场可以有非零旋度但零散度（如 F = (−y, x, 0)），也可以有零旋度但非零散度（如 F = (x, y, z)）。

旋度的物理意义是什么？

物理上，旋度衡量向量场绕某一点循环或旋转的倾向。想象在流体中放置一个小叶轮 — 旋度会告诉你叶轮旋转的速度和方向。在电磁学中，旋度出现在法拉第定律（变化的磁场产生感生电场）和安培定律（电流产生环绕磁场）中。在流体动力学中，速度的旋度被称为涡度。

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